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奇偶性 幻灯片


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复习
平面直角坐标系中的任意一点 P(a,b) 关于 X轴、 Y轴及原点对称的点的坐标各是什么? ? (1)点P( a, b)关于 x轴的对称点的坐标为P(a,-b) . 其坐标特征为:横坐标不变,纵坐标变为相反数;

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? (2)点P( a, b)关于 y轴的对称点的坐标为P( - a, b) , 其坐标特征为:纵坐标不变,横坐标变为相反数; ? (3)点P( a, b) 关于原点 对称点的坐标为P(-a,-b) , 其坐标特征为:横坐标变为相反数,纵坐标也变为相 反数.

观察下列函数图象,总结这些函数图象的共性
y y

1 -1 O 1 x -1 -1 0 1 x

f (x)=x2

f (x)=︱x︱-1

图象关于y轴对称

y
8 7 6 5 4 3 2

f(1)=_____ 1 f(-1)=_____ 1 f(2)=_____ 4 f(-2)=_____ 4
1 2 3

1
-3 -2 -1 0

f(x)=x2

2 f(x0)=_____ 0

x

x x

2 f(-x0)=_____ 0

f(x0)= f(-x0)

偶函数定义:一般地,如果对于函数f(x) 定义域内的任意一个x ,都有f(-x)=f(x), 那么函数f(x)就叫偶函数。

例1、 判断下列函数是否为偶函数 4 (1)f(x) = x



f(x) =

4 x

f(-x) =(-x)4=x4

∴ f(-x)= f(x) ∴ f(x) 为偶函数

( 2) f ( x ) ? x

3

1 x

1 ( 4) f ( x ) ? 2 3 ∵ f(x) = x x
f(-x) = (-X)3 =-X3
∴ f(-x) ≠f(x) ∴ f(x) 不为偶函数

例2、已知g(x)是偶函数,如图(1) 是它的局部图象,把这个函数的图 象补充完整。
y g (x) 4 3 2 1

-3

-2

-1 -1 -2 -3

0

1

2

3

x

(1)

y

g (x)

4
3

2 1

-3

-2

-1
-1

0

1

2

3

x

-2

-3

(1)

观察下列两个函数图象并思考以下问题: (1)这两个函数图象有什么共同特征吗? (2)相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的? y y

y?x

1 y? x

-x

x

x

-x

x

x

x
f ( x) ? x

-3
-3

-2
-2

-1
-1

0
0

1
1

2
2

3
3

1 f ( x) ? x

x

-3
-1/3

-2
-1/2

-1
-1

0
0

1
1

2
1/2

3
1/3

奇函数定义:一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内的任意一个x ,都有f(x)=-f(x),那么函数f(x)就叫奇函数。

例3. 判断下列函数的奇偶性

(1) f(x)=x3+2x (2) f(x)=2x4+3x2 解: 定义域为R 解: 定义域为R ∵f(-x)=(-x)3+2(-x) ∵f(-x)=2(-x)4+3(-x)2 = -x3-2x 4+3x2 =2x = -(x3+2x) = f(x) = - f(x) ∴f(x)为偶函数 ∴f(x)为奇函数

(3). f(x)=5 解: 定义域为R ∵ f(-x)=f(x)=5 ∴f(x)为偶函数
y 5

(4). f(x)=0 解: 定义域为R
∵ f(-x)=0=f(x) 又f(-x)= 0 = -f(x) ∴f(x)为既是奇函数 y 又是偶函数

o

x

o

x

(5) f(x)=x2+x
解: 定义域为R ∵f(-1)=0,f(1)=2

∴f(-1)≠f(1) ,f(-1)≠-f(1)
∴f(x)为非奇非偶函数

(6) f(x) = x
解: 定义域为 [0 ,+∞) ∵ 定义域不关于原点对称 ∴f(x)为非奇非偶函数

用定义法判断函数奇偶性解题步骤:
(1)先确定函数定义域,并判断 定义域是否关于原点对称; (2)求f(-x),找 f(x)与f(-x)的关系; 若f(-x)=f(x),则f(x)是偶函数; 若f(-x)= - f(x),则f(x)是奇函数. (3)作出结论.
给出函数

判断定义域 是否对称 是 f(-x)与f(x)



f(x)是偶函数或奇函数或非奇非偶函 数或即是奇函数又是偶函数。
结论

课堂小结: 如果定义域关于原点对称,且对 定义域内的任意一个x
偶函数

f(-x)=f(x)

图象关于y轴对称

奇函数

f(-x)=-f(x)

图象关于原点对称

思考题
1、当____时一次函数f(x)=ax+b是奇函数 2、当____ 时二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0) 是偶函数


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