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偏微分方程数值解期末试题及答案


偏微分方程数值解试题(06B) 偏微分方程数值解试题(06B)

参考答案与评分标准
信息与计算科学专业 一 ( 10 分 )、 设 矩 阵 A 对 称 , 定 义 J ( x) =
1 ( Ax, x) ? (b, x) ( x ∈ R n ) , 2

? (λ ) = J ( x0 + λx) .若 ? ' (0) = 0 ,则称称 x0 是 J (x) 的驻点(或稳定点).矩阵 A 对 的驻点( 或稳定点)
,求证 的驻点的充要条件是: 称(不必正定) 求证 x0 是 J (x) 的驻点的充要条件是: x0 是方程组 Ax = b 的解 不必正定) , 的驻点,对于任意的 解: 设 x0 ∈ R n 是 J ( x) 的驻点 对于任意的 x ∈ R n ,令 令

? (λ ) = J ( x0 + λx) = J ( x0 ) + λ ( Ax0 ? b, x) +

λ2
2

( Ax, x) ,

(3 分)

? ' (0) = 0 , 即 对 于 任 意 的 x ∈ R n , ( Ax0 ? b, x) = 0 , 特 别 取 x = Ax0 ? b , 则 有
( Ax0 ? b, Ax0 ? b) =|| Ax0 ? b || 2 = 0 ,得到 Ax0 = b . 得到

(3 分) , 则 对 于 任 意 的





,



x0 ∈ R n





Ax0 = b

1 x , J ( x0 + x) = ? (1) = ? (0) + ( Ax, x) > J ( x0 ) ,因此 x0 是 J (x) 的最小值点 (4 分) 的最小值点. 因此 2

评分标准: 评分标准 ? (λ ) 的展开式 3 分, 每问 3 分,推理逻辑性 1 分 推理逻辑性
d du ? ? Lu = ? ( p ) + qu = f 二(10 分) 对于两点边值问题: ? 、 对于两点边值问题: dx dx ? u (a ) = 0, u ' (b) = 0 ?
x∈[ a ,b ]

x ∈ ( a, b)

其中 p ∈ C 1 ([a, b]), p ( x) ≥ min p ( x) = p min > 0, q ∈ C ([a, b]), q ≥ 0, f ∈ H 0 ([a, b]) 建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式: 求泛函极小的 Ritz 形式和 建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式: Galerkin 形式的变分方程。 形式的变分方程。
1 解 : 设 H E = {u | u ∈ H 1 (a, b), u (a ) = 0} 为 求 解 函 数 空 间 , 检 验 函 数 空 间 . 取 1 v ∈ H E (a, b) ,乘方程两端 积分应用分部积分得到 乘方程两端,积分应用分部积分得到 乘方程两端

(3 分)

b du dv . + quv)dx = ∫ fvdx = f (v) , ? v ∈ H 1 (a, b) E a a dx dx 形式. (3 分) 即变分问题的 Galerkin 形式 1 1 b du 令 J (u ) = a (u , u ) ? ( f , u ) = ∫ [ p ( ) 2 + qu 2 ? fu ]dx ,则变分问题的 Ritz 形式 则变分问题的 2 2 a dx

a (u , v) = ∫ ( p

b

为求 u * ∈ H 1 (a, b) ,使 J (u * ) = min J (u ) 使 E 1
u∈H E

(4 分)

评分标准:空间描述与积分步骤 评分标准 空间描述与积分步骤 3 分,变分方程 3 分,极小函数及其变分问题 4 分, 变分方程 极小函数及其变分问题 、对于边值问题 三(20 分) 对于边值问题 、 ? ? 2u ? 2u + = 0 , ( x, y ) ∈ G = (0,1) × (0,1) ? ? ?x 2 ?y 2 ? u | x =0 = 1, u | x =1 = 0, u | y =0 = u | y =1 = 1 ? x ? ,推导截 (1)建立该边值问题的五点差分格式(五点棱形格式又称正五点格式) 推导截 )建立该边值问题的五点差分格式(五点棱形格式又称正五点格式) , 断误差的阶。 断误差的阶。 求边值问题的数值解(写出对应的方程组的矩阵形式,并求解) (2)取 h = 1 / 3 ,求边值问题的数值解(写出对应的方程组的矩阵形式,并求解) ) 的一般情况写出对应方程组的系数矩阵( (3)就 h = 1 / 5 和 h = 1 / N 的一般情况写出对应方程组的系数矩阵(用分块矩阵 ) 表示) 表示) 。 解: (1) 区域离散 x j = jh, y k = kh ,差分格式为 差分格式为
u j +1,k ? 2u jk + u j ?1,k h
2

+

u j ,k ?1 ? 2u jk + u j , k +1 h2

=0

(5 分)

展开得到,截断误差为 应用 Tayloy 展开得到 截断误差为

h 2 ? 4u ? 4u [ 4 + 4 ] jk + O (h 4 ) ,其阶为 O (h 2 ) (3 分) 其阶为 12 ?x ?y

(2) 未知量为 U = (u11 , u12 , u 21 , u 22 ) T ,矩阵形式为 AU = F ,其中 矩阵形式为 其中 ? 4 ?1 ?1 0 ? ?1 + 2 / 3 ? ? 5 / 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 4 0 ? 1? ? 1/ 3 ? ?1/ 3 ? A=? ,F = ? = ?1 0 4 ? 1? 1 + 2 / 3? ? 5 / 3? ? ? ? ? ? ? ? 0 ?1 ?1 4 ? ? 1/ 3 ? ?1/ 3 ? ? ? ? ? ? ? (3 分) 求解得到解为 ? 2 ? 15 / 2 ? ? 1/ 2 L=? 1/ 2 0 ? ? 0 ? 2 / 15 ? ? ? ? ? ? 52 / 15 ? ?

(4 分)

15 / 2 ? 2 / 15

A=[4,-1,-1,0;-1,4,0,-1;-1,0,4,-1;0,-1,-1,4] L= 2.0000 0 0 0 u= 0.6667 -0.5000 -0.5000 0 1.9365 -0.1291 -0.5164 0 1.9322 -0.5521 0 0 1.8516 0.3333 0.6667 0.3333

? 4 ?1 ? ? B ?I ? ? ? ? ? ?? I B ? I ? ??1 4 ?1 ? (3) 矩阵为 ? (5 分) ?,B = ? ? O O O O ? ? ? ? ? ? ? I B? ?1 4? ? ? ? ? 评分标准:第 评分标准 第 1 问 8 分,格式 4 分,截断误差 4.(2) 7 分,方程 4 分,解 3 分.(3)5 分, 形 格式 截断误差 方程 解 式 3 分,B 的形式 2 分

? ?u ? 2u = a 2 + bu , 0 < x < 1,0 < t ≤ T ? ?x ? ?t 、对于初边值问题 u ( x,0) = ? ( x), 0 < x < 1 四(20 分) 对于初边值问题 ? 、 ? u (0, t ) = u (1, t ) = 0,0 ≤ t ≤ T ? ?
前差分格式( ,推导截断误差的主项 (1)建立向前差分格式(最简显格式) 推导截断误差的主项,指出误差阶 )建立向前差分格式 最简显格式) 推导截断误差的主项,指出误差阶; , 的形式) ,用矩阵方法分析 (2)写出差分格式的矩阵形式(即 AU k +1 = BU k + τF 的形式) 用矩阵方法分析 )写出差分格式的矩阵形式( , 格式的稳定性 格式) 并写出计算形式, (3)建立六点对称格式 Crank ? Nicolson 格式 并写出计算形式,应用 Fourier )建立六点对称格式( 方法(分离变量法)分析格式的稳定性。 方法(分离变量法)分析格式的稳定性。

u k +1 ? u k j j
区域离散, 解:(1) 区域离散,格式为

τ

=a

1 2 k δ x u j + bu kj 2 h

,

(5 分)

应 用 Taylor 展 开 得 到 , 误 差 主 项 为
O (τ + h 2 )

1 ? 2u k ah 2 ? 4 u k ( 2 ) jτ ? ( 4 ) j + O (τ 2 + h 4 ) , 阶 为 2 ?t 12 ?x (3 分)

(2) A = E , B = diag{r ,1 ? 2r , r} , 稳定条件为 r ≤ 1 / 2 (3) 格式为

(4 分)

(3 分)

u k +1 ? u k j j

τ

=

a 2 b δ x (θu kj +1 + (1 ? θ )u kj ) + (u kj +1 + u kj ) , 2 2 h

(3 分)

格式是无条件稳定的. 低阶项归入 O (τ ) 中,格式是无条件稳定的.

(2 分)

u n +1 ? u n ?1 u n+1 ? u n?1 ?u ?u j j j j 、逼近 + = 0 的三层差分格式 + =0 五(10 分) 逼近 、 ?t ?x 2τ 2h
分析格式的稳定性 解:计算形式为 u n +1 = ? r (u n+1 ? u n?1 ) + u n ?1 j j j j 此为三层格式,化为两层格式. 此为三层格式,化为两层格式.令 v n+1 = u n ,则有 三层格式 j j
? u n+1 = ? r (u n+1 ? u n?1 ) + v n ? j j j j ? n+1 n = uj ?v j ?
n 代入格式,消去公因子, 令 u n = w1n eiαjh , v n = w2 eiαjh ,代入格式,消去公因子,得到 j j

(2 分)

(4 分)

? w1n +1 ? ? ? 2ir sin αh 1 ?? w1n ? ? n +1 ? = ? ?? n ? ?w ? ? 1 0 ?? w2 ? ?? ? ? 2 ? ?

(2 分)

λ + 2r sin αhi ? 1 ? ? 2r sin αhi 1 ? ? ,特征方程为 | λE ? G |= 放大矩阵为 G = ? ? 1 0? ?1 λ ? ?
? 2r sin αh ± 4 ? 4r 2 sin 2 αh i 2

= λ2 + 2r sin αhiλ ? 1 = 0 , λ1, 2 =

λ1λ2 = 1 , max{| λ1 |, | λ2 |} ≤ 1 的充要条件为方程有相同的复根或一对共扼复根,即 的充要条件为方程有相同的复根或一对共扼复根,
? = 4 ? 4r 2 sin 2 αh ≥ 0 .考虑到 α 的变化,稳定条件为 r ≤ 1 的变化,

(2 分)

、建立波动方程 六(10 分) 建立波动方程 、 推导格式稳定的必要条件. 推导格式稳定的必要条件.

? 2u ? 2u = a 2 2 的初值问题的显格式,推导截断误差, 的初值问题的显格式,推导截断误差, ?t 2 ?x

u n +1 ? 2u n + u n ?1 j j j
解:差分格式为

τ

2

= a2

1 2 n δxuj , h2

(3 分)

? ? 4u ? 1 ? ? 4u ? 截断误差为 ? 4 ? τ 2 ? a 2 ? 4 ? h 2 + O(τ 4 + h 4 ) ,阶为 O(τ 2 + h 2 ) ? ?x ? 12 ? ?t ? j ? ? ? ?j 分析稳定性必要条件

n

n

(3 分)

(4 分)

?u ? 2u ? 2u 、对于二维抛物型方程 = a ( 2 + 2 ) 建立 Crank ? Nicolson 差分 七(10 分) 对于二维抛物型方程 、 ?t ?x ?y 格式,指出截断误差阶,分析格式的稳定性。 格式,指出截断误差阶,分析格式的稳定性。

u n +1 ? u n jk jk
解: 差分格式为

τ

=

a 2 n +1 (δ x u jk + δ y2 u n +1 ) jk h2

(4 分)

误差阶为 O (τ + h 2 ) (3 分) 放大因子为 G (α , β ,τ ) =
1 恒稳定. ,恒稳定. 2 αh 2 βh 1 + 4r sin + 4r sin 2 2 八.用 Ritz ? Galerkin 方法求边值问题

(3 分)

?? u " + u = x 2 0 < x < 1 ? ? u (0) = 0, u (1) = 1
的第 n 次近似 un (x) ,基函数 ?i ( x) = sin(iπx), i = 1,2,..., n 满足齐次边界条件, 解:(1)边界条件齐次化:令 u0 = x , w = u ? u0 ,则 w 满足齐次边界条件,且 :(1)边界条件齐次化: 边界条件齐次化
Lw = Lu ? Lu0 = x 2 ? x w(0) = 0, w(1) = 0
n

(3 分)

第 n 次近似 wn 取为 wn = ∑ ci?i ,其中 ci (i = 1,2,...n) 满足的 Ritz ? Galerkin 方程为
i =1 n

∑ a(? ,? )c
i =1 i j

i

= ( x 2 ? x, ? j )

j = 1,2,..., n

(3 分)


a (?i , ? j ) = ∫ (?i'? 'j + ?i? j )dx = ijπ 2 ∫ cos(iπx) cos( jπx)dx
0 0 1 1

+ ∫ sin(iπx) sin( jπx)dx =
0

1

ijπ 2

∫ π cos(ix) cos( jx)d x
?

π

1 π sin ix sin jx 2π ∫?π 由三角函数的正交性, 由三角函数的正交性,得到 +

? i 2π 2 1 ? a (?i ,? j ) = ? 2 + 2 , i = j ?0, i≠ j ? 而 ( x 2 ? x, ? j ) = ∫ x( x ? 1) sin( jπx)dx =
0 1

2 ( jπ )
3

[(?1) j ? 1]

于是得到
?8 ? j为奇数 ? 3 cj = = ? ( jπ ) (1 + j 2π 2 ) a (? j ,? j ) ?0 j为偶数 ? ( x 2 ? x, ? j )

最后得到 最后得到
[

un ( x) = x +

∑ (2k ? 1) π
k =1

n +1 ] 2

? 8 sin[(2k ? 1)πx] 3 3 [1 + (2k ? 1) 2 ]

(4 分)


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