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白鹭洲中学2012届高中数学竞赛培训试题(30)


1.若集合 A = { y | y + y > 0, y ∈ R}, B = { y | y = sin x, x ∈ R} ,则 A ∪ B =( )
2

A.R

B. (0,1]

C. ( ?∞,1)

D. φ

2.设向量 a = (1, 0 ) ,

b = ?

?1 1? , ? ,则下列结论中正确的是 ?2 2? 2 2
C. a ? b 与 b 垂直 D. a ∥ b

A. a = b

B. a ? b =

3.读算法语句,输入 a,b,c If a > b Then m = a Else m = b If m > c Then 输出 m Else m = c 输出 m End 若输入 10,8,6,则运算结果为( ) A.10 B.8 C.6 D.10,8,6

1 1 4.不等式 ax 2 + bx + 2 > 0 的解集是 (? , ) ,则 a+b 的值是( ) 2 3 A.10 B.-10 C.14 D.-14 5.在 ?ABC 中,a(sinB-sinC)+b(sinC-sinA)+c(sinA-sinB) =( ) 1 (D) π (A) 1 (B) 0 (C) 2
6.如果执行右面的框图,输入 N=5,则输出的数等于 D

5 4 4 (B) 5 6 (C) 5 5 (D) 6
(A)

7.下列命题中正确的是(

D ) (B) a > b ?
2

(A) a > b, c > d ? a ? c > b ? d (C) ac < bc ? a < b

a b > c c
2

(D) ac > bc ? a > b

8.某人捡到不规则形状的五面体石块,他在每个面上用数字 1~5 进行了标记,投掷 100

次,记录下落在桌面上的数字,得到如下频数表: 落在桌面的数字 频数 1 32 2 18 3 15 4 13 5 22 )B

如果他再投掷一次,则落在桌面的数字不小于 4 的概率大约是( A.0.22 B.0.35 C.0.65 D.0.78

?2 x + y ≤ 3, ? x + 2 y ≤ 3, ? 的目标函数 z = x + y 的最大值是 ( C) 9.满足线性约束条件 ? ? x ≥ 0, ?y ≥ 0 ? 3 (A)1. (B) . (C)2. (D)3. 2
10.设 {an } , {bn } 分别为等差数列与等比数列,且 a1 = b1 = 4, a4 = b4 = 1 ,则以下结论正 确的是 ( )A。 B. a3 < b3 C. a5 > b5 C ) D. a6 > b6

A. a2 > b2

? x ? 2 < 2, ? 11.不等式组 ? 的解集为( ?log 2 ( x 2 ? 1) > 1 ?
A. (0, 3 ) B.

( 3 , 2)

C.

( 3 , 4)

D. (2,4)

12.如图,质点 p 在半径为 2 的圆周上逆时针运动,其初始位 置为 p0 ( 2 , ? 2 ) ,角速度为 1,那么点 p 到 x 轴距离 \ d 关于时间 t 的函数图像大致为 C

13.五四青年节歌咏比赛上,七位评委为某选手打出的分数的茎叶 统计图如右,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数 和方差分别为_____、______. 85 , 1.6

7 9 8 4 4 6 4 7 9 3

14、不等式 ax 2 + 4 x + a > 1 ? 2 x 2 对一切 x ∈ R 恒成立,则实数 a 的取值范围是

15. 三个实数a、b、c成等比数列,若有a+b+c=1成立,则b的取值范围是( ) 1 1 1 ? 1? [? 1,) ∪ ? 0, ? 0 ? ? 1, ? ? 0, ? ? 3? ? 3? 3] B.[ C. ? D. A.(0, 3 ) 16.一个均匀的正方体玩具,各面上分别标有数字-1,-2,-3,1,2,3,连续掷两次,向上 一面的数字分别为 a,b,则向量(a,b)与(1,-1)的夹角为锐角的概率是( ) A.

5 12

B.

7 12

C.

1 3

D.

1 2

17.(本小题满分 l2 分) 某班数学兴趣小组有男生 3 名和女生 2 名, 现从中任选 2 名学生去参加全国奥林匹克数学 竞赛,求: (1)恰有一名男生参赛的概率; 0.6 (2)至少有一名男生参赛的概率;0.9 (3)至多有一名男生参赛的概率.0.7 18. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 满足: a3 = 7, a5 + a7 = 26 . {an } 的前 n 项和为 Sn 。 (Ⅰ)求 an 及 Sn ; (Ⅱ)令 bn =

1 (n ∈ N + ) ,求数列 {an } 的前 n 项和 Tn . a ?1
2 n

解: (Ⅰ)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d, 由于 a3=7,a5+ a7=26,所以 a1+2d=7,2a1+10d=26,解得 a1=3,d=2. 由于 an= a1+(n-1)d,Sn=

1 [n(a1+ an),所以 an=2n-1, Sn=n2+n, 2 1 1 1 1 1 1 (1+ +…+ ) 4 2 2 2 n n ?1

(Ⅱ)因为 an=2n+1, 所以 an2-1=4n(n+1) , 因此 Tn=b1+ b2+…+ bn =

=

1 1 n (1) = 4 n ?1 4(n + 1)
n 。 4(n + 1)
? 2?
w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

所以数列 {bn } 的前 n 项和 Tn =

π ? π? 19、已知函数 f ( x ) = 2 sin ? x ? ? ? cos x,x ∈ ?0, ? . ? ?
? 3?

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调减区间; (Ⅱ)在锐角△ABC 中,角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c.若有:( 2a ? c ) cos B = b cos C , 求 f ( A ) 的取值范围. (Ⅰ) 19、解:

π π? ? f ( x ) = 2 ? sin x ? cos ? cos x ? sin ? ? cos x 3 3? ?
= sin x ? cos x + 3 cos 2 x = 1 3 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2

π? 3 ? = sin ? 2 x ? ? ? . ( 4分 ) 3? 2 ? π ? π 2π ? ? π? Q x ∈ ? 0, ? ,∴ 2 x ? ∈ ? ? , ? . 3 ? 3 3 ? ? 2?
当 2x ?

π
3

? π 2π ? ∈ ? , ? , f ( x ) 单调递减 ?2 3 ?

w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

? 5π π ? ∴ f ( x ) 在 ? , ? 上单调递减. (6分) ? 12 2 ?

(Ⅱ)由 ( 2a ? c ) cos B = b cos C得: 2 sin A ? cos B ? sin C ? cos B = sin B ? cos C.( 7分 )
∴ 2 sin A ? cos B = sin B ? cos C + cos B ? sin C = sin ( B + C ) = sin A,又 sin A ≠ 0. ∴ cos B = 1 π ,又B ∈ ( 0 ,π ) ,∴ B = . ( 9分 ) 2 3 π ? ?0 < A < 2 ? 又 ABC为锐角 ,∴ ? ?0 < 2 π ? A = C < π , ? 3 2 ?



π
6

< A<

π
2

(11分 )

由(Ⅰ)知 f ( x ) 在 ?

? π 5π ? ? 5π π ? , ? 上单调递增, ? , ? 上单调递减, ? 6 12 ? ? 12 2 ? 3 3 < f ( A) ≤ 1 ? . 2 2

∴ f ( A ) 的取值范围是 ?

(12分 )

20.(本题 12 分)已知大于 1 的实数 x, y 满足 lg ( 2 x + y ) = lg x + lg y , (1)求 lg x + lg y 的最小值; 3lg 2 (2)求 x+y 的最小值. 21. (本题 12 分)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训.现分别从他们在培训期间参加的若干 次预赛成绩中随机抽取 6 次,记录如下: 甲 83 81 79 78 97 92 乙 90 96 79 75 80 90 (Ⅰ)用茎叶图表示这两组数据,并写出乙组数据的中位数; (Ⅱ)经过计算知甲、乙两人预赛的平均成绩分别为 x甲 =85, x乙 =85 ,方差分别为
2 2 s甲 = 49 s乙 = 55.3 ,现要从中选派一人参加数学竞赛,你认为选派哪位学生参加合适?请

说明理由; (Ⅲ)若将甲学生的 6 次成绩写在 6 个完全相同的标签上,并将这 6 个标签放在盒子中,则 从中摸出两个标签,至少有一个标签上写的是 80 以下的数字的概率是多少? 解: (Ⅰ) 作出茎叶图如下:
甲 9 8 8 2 7 2


7 8 9

5 0 0

9 0 6

………………………… 乙组数据的中位数为 85 (Ⅱ)派甲参赛比较合适。理由如下:
2 2

3分 4分

…………………………

Q x甲 = 85 , x乙 =85 , s甲 = 49 , s乙 = 55.3 , ∴ x甲 = x乙 , s甲2 < s乙2 ,

∴甲的成绩较稳定,派甲参赛比较合适。 ……………… ………………-------------------6 分 (Ⅲ)解法 1:从 6 张标签中摸出两个标签,共有 15 种不同的结果 83,81; 83,79; 83,78; 83,97; 83,92;81,79; 81,78; 81,97; 81, 92; 79,78; 79,97; 79,92;78,97; 78,92;97,92;------------------------------8 分 设“抽出的两张标签中至少有一个标签上写的是 80 以下的数字为事件 A,其中事件 A 包含 以下 9 种不同的结果 83,79; 83,78;81,79; 81,78; 79,78; 79,97; 79, 92;78,97; 78,92;--------------------------------------------------------------------------10 分 所以, P ( A) =

9 = 0 .6 15

22.(本题满分 14 分)已知 S n 为数列 {an } 的前 n 项和,且 S n = 2 an + n 2 ? 3n ? 2 , (Ⅰ) 求证: 数列 {an ? 2n} 为等比数列; (Ⅱ) bn = an ( ?1) , 设 求数列 {bn } n = 1, 2, 3,L ,
n

答:抽出的两张标签中至少有一个标签上写的是 80 以下的数字的概率为 0.6-------------12 分

的前 n 项和 Pn ; (Ⅲ)设 cn =

37 1 ,数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn < . 44 an ? n

22.解: (Ⅰ)Q S n = 2 an + n 2 ? 3n ? 2 ,

∴ S n +1 = 2an +1 + ( n + 1) ? 3 ( n + 1) ? 2 .
2

∴ an+1 = 2an ? 2n + 2,∴ an +1 ? 2 ( n + 1) = 2(an ? 2n) . ∴{an ? 2n} 是以 2 为公比的等比数列
∴ an ? 2n = 2 n ,∴ an = 2 n + 2n .
当 n 为偶数时, ………………5 分 ………………6 分 (Ⅱ) a1 = S1 = 2a1 ? 4,∴ a1 = 4 ,∴ a1 ? 2 × 1 = 4 ? 2 = 2 .

Pn = b1 + b2 + b3 + L + bn = (b1 + b3 + L + bn ?1 ) + (b2 + b4 + L + bn )
= ? ( 2 + 2 × 1) ? ( 23 + 2 × 3) ? L ? ? 2n ?1 + 2 ( n ? 1) ? ? ? + ( 22 + 2 × 2 ) + ( 24 + 2 × 4 ) + L + ( 2 n + 2 × n )
2

=

4 (1 ? 2n ) 1? 2

?

2 (1 ? 2n ) 1? 2
2

+n=

2 n ? (2 ? 1) + n ; 3

………………8 分

2n +1 + 2 当 n 为奇数时, Pn = ? ? ( n + 1) . 3 ? 2n +1 5 , ? ? 3 ? n ? 3(n为奇数) ? 综上, Pn = ? . ? 2 ? (2n ? 1) + n,(n为偶数) ?3 ?

………………10 分

(Ⅲ) cn =

37 1 1 1 . 当 n = 1 时, T1 = < ………………11 分 = n 3 44 an ? n 2 + n 1 1 1 1 1 1 1 1 当 n ≥ 2 时, Tn = 1 + 2 + 3 +L + n < + 2 + 3 +L + n 2 +1 2 + 2 2 + 3 2 +n 3 2 2 2 1 1 (1 ? n?1 ) 1 4 1 1 1 5 1 5 37 2 = + = + ? n = ? n < < 1 3 3 2 2 6 2 6 44 1? 2 37 . ………………14 分 综上可知:任意 n ∈ N , Tn < 44

18、设 {a n } 是公比大于 1 的等比数列, S n 为数列 {a n } 的 前 n 项和,已知 S 3 = 7 ,

且 a1 + 3,3a 2 , a 3 + 4 构成等差数列。 (1)求数列 {a n } 的通项; (2)令 bn = ln a 3 n+1 , n = 1,2,3,..., 求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn

3x 2 17、解关于 x 的不等式 ?x>0 2x ?1
16.分别在区间 [ 1, 6 ] 和 [ 2, 4 ] 内任取一实数,依次记为 m 和 n,则 m > n 的概率 为 .

3 5

? an ? , 当an为偶数时, 16、 已知数列 {an } 满足:a1=m (m 为正整数) an +1 = ? 2 , 若 a6=1 , ?3a + 1, 当a 为奇数时。 n ? n
则 m 所有可能的取值为__________。 15. 在△ABC 中, 内角 A、 C 的对边分别是 a、 c, a ? b = 3bc , B、 b、 若 sinC=2 3 sinB,
2 2

则 A=( ) (A)30° (B)60° (C)120° 4. 为了了解高三学生的数学成绩, 抽取了某 班 60 名学生,将所得数据整理后,画出其频 率分布直方图(如图 3) ,已知从左到右各长 方形高的比为 2:3:5:6:3:1,则该班学 生数学成绩在(80,100)之间的学生人数是 ( * ) A. 32 人 B. 27 人 C. 24 人 D. 33 人 19 . 已 知 △ ABC 的 周 长 为

(D)150°
频率 组距

60

80

100

120

分数

2 +1 , 且

第 4 题图

sin A + sin B = 2 sin C .
(I)求边 AB 的长; (II)若 △ ABC 的面积为 sin C ,求角 C 的度数. 19 解: (I)由题意及正弦定理,得 AB + BC + AC =

1 6

2 +1,

BC + AC = 2 AB ,
(II)由 △ ABC 的面积 由余弦定理,得 cos C = 所以 C = 60
o

两式相减,得 AB = 1 .

1 1 1 BC AC sin C = sin C ,得 BC AC = , 2 6 3

AC 2 + BC 2 ? AB 2 ( AC + BC ) 2 ? 2 AC BC ? AB 2 1 = = , 2 AC BC 2 AC BC 2


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