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高考一轮复习 考点规范练24 平面向量的概念及线性运算


考点规范练 24 平面向量的概念及线性运算
基础巩固组
1.设 a,b 都是非零向量,下列四个条件中,一定能使|| + ||=0 成立的是(


)

A.a=-b C.a=2b 答案:A

B.a∥b D.a⊥b

解析:要使|| + ||=0 成立,需 a 与 b 方向相反,只有 A 选项满足. 2.(2015 山东聊城二模)在△ABC 中,=c,=b.若点 D 满足=2 ,则=( A . b+ c C.3b-3c
2 1 2 3 1 3





)

B. c- b D.3b+3c
1 2

5 2 3 3

答案:A 解析:如图,可知 = + = + ( ? )=c+ (b-c)= b+ c.故选 A. 3.
2 3 2 3 2 3 1 3

如图所示,已知 AB 是圆 O 的直径,点 C,D 是半圆弧的两个三等分点,=a,=b,则=( A.a-2b C.a+2b 答案:D
1 1

)

B.2a-b D.2a+b
1

1

解析:连接 CD,由点 C,D 是半圆弧的三等分点,得 CD∥AB 且 = 2 = 2a,所以 = + =b+2a. 4.

1

1

1

1

如图,在正六边形 ABCDEF 中, + + 等于( A.0 B. C. D. 答案:D 解析:因为 ABCDEF 是正六边形,

)

所以 + + = + + = + = . 5.(2015 福建四地六校联考)已知点 O,A,B 不在同一条直线上,点 P 为该平面上一点,且 2=2 + ,则 ( ) A.点 P 在线段 AB 上 B.点 P 在线段 AB 的反向延长线上 C.点 P 在线段 AB 的延长线上 D.点 P 不在直线 AB 上 答案:B 解析:因为 2=2 + ,所以 2 = ,所以点 P 在线段 AB 的反向延长线上,故选 B. 6.若点 M 是△ABC 所在平面内的一点,且满足 5 = +3,则△ABM 与△ABC 的面积比为( A. C.
1 5

)

B.

2 5 4 5

3 5

D.

答案:C 解析:

设 AB 的中点为 D.由 5 = +3,得 3-3=2-2, 即 3=2. 如图所示,故 C,M,D 三点共线,且 = 5 ,也就是△ABM 与△ABC 对于边 AB 上的两高之比为 3∶5,则 △ABM 与△ABC 的面积比为5,选 C. 7.在△ABC 中,N 为边 AC 上一点,且 = 3 ,P 是 BN 上一点,若=m + 11 ,则实数 m 的值为(
1 2 3 3

) 2

A.

9 11

B.

5 11

C.

4 11

D.

3 11

答案:D 解析:由=m + 11 ,得=m + 11×4=m + 11 . 因为点 B,P,N 三点共线, 所以 m+11=1,即 m=11. 8.已知 A,B,C 为圆 O 上的三点,若 = 2 ( + ),则与的夹角为 答案:90° 解析:由 = ( + )可得 O 为 BC 的中点,则 BC 为圆 O 的直径,即∠BAC=90°,故与的夹角为 90°. 9.(2015 广东江门模拟)已知 D 为三角形 ABC 边 BC 的中点,点 P 满足 + + =0,=λ,则实数 λ 的 值为 答案:-2 解析: .
1 2 1 8 3 2 2 8

.

如图所示,由=λ 且 + + =0,得 P 为以 AB,AC 为邻边的平行四边形的第四个顶点,因此=-2, 则 λ=-2. 10.已知△ABC 和点 M 满足 + + =0.若存在实数 m 使得 + =m成立,则 m= 答案:3 解析: .

由题目条件可知,M 为△ABC 的重心.如图,连接 AM 并延长交 BC 于点 D, 则 = 3 . 因为 AD 为中线,则 + =2=3,所以 m=3.
2

能力提升组
11.已知在△ABC 中,D 是 AB 边上的一点,=λ
+ || ||

,||=2,||=1,若=b,=a,则用 a,b 表示为()

3

A.3a+3b C.3a+3b 答案:A
1 1

2

1

B.3a+3b D.3a+3b
2 2

1

2

解析:由题意知,CD 是∠ACB 的角平分线, 故 = + = + 3 = + 3 ( ? ) =3 + 3 = 3a+3b,故选 A. 12.在△ABC 中,点 O 在线段 BC 的延长线上,且与点 C 不重合,若=x+(1-x),则实数 x 的取值范围是 ( ) B.(0,+∞) C.(-1,0) D.(0,1) A.(-∞,0) 答案:A 解析:设=λ(λ>1), 则 = + = +λ=(1-λ)+λ. 又=x+(1-x), 所以 x+(1-x)=(1-λ)+λ. 所以 λ=1-x>1,得 x<0. 13.(2015 沈阳模拟)已知向量 a,b,c 中任意两个都不共线,并且 a+b 与 c 共线,b+c 与 a 共线,那么 a+b+c 等于 ( A.a 答案:D 解析:因为 a+b 与 c 共线,所以 a+b=λ1c. 又因为 b+c 与 a 共线,所以 b+c=λ2a. 由①得 b=λ1c-a. 所以 b+c=(λ1+1)c-a=λ2a, 所以 即 1 + 1 = 0, 2 = -1, ) B.b C.c D.0
2 1 2 1 2 2

① ②

1 = -1, 2 = -1.

所以 a+b+c=-c+c=0.

14.如图,经过△OAB 的重心 G 的直线与 OA,OB 分别交于点 P,Q,设=m, =n,m,n∈R,则 + 的值 为 . 4

1

1

答案:3 解析:设=a,=b,由题意知 = 3 × 2 ( + )=3(a+b), = ? =nb-ma, = ? = 3 - a+3b, 由 P,G,Q 三点共线得,存在实数 λ,使得=λ, 即 nb-ma=λ 3 - a+3λb, - = 3 - , 1 1 从而 消去 λ 得 + =3. 1 = 3 , 15.若点 O 是△ABC 所在平面内的一点,且满足| ? |=| + -2|,则△ABC 的形状为 . 答案:直角三角形 解析:∵ + -2 = ? + ? = + , ? = = ? ,
1 1 1 1 1 2 1 1

∴| ? |=| + |.
故 A,B,C 为矩形的三个顶点,△ABC 为直角三角形. 16.(2015 兰州模拟)任意四边形 ABCD 中,E,F 分别是 AD,BC 的中点,若 =λ+μ ,则 λ+μ= 答案:1 解析: .

如图所示,因为 E,F 分别是 AD 与 BC 的中点, 所以 + =0, + =0. 又因为 + + + =0, 所以 = + + . 同理 = + + . 由①+②得,2 = + +( + )+( + )= + , 所以 = 2 ( + ),所以 λ=2,μ=2.所以 λ+μ=1.
1 1 1

① ②

5


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