当前位置:首页 >> 数学 >>

2014江苏数学一模南京盐城


南京市、盐城市 2014 届高三第一次模拟考试 数学
一、填空题 1.已知集合 A ? {?3, ?1,1, 2} ,集合 B ? [0, ??) ,则 A ? B ? 2.若复数 z ? (1 ? i )(3 ? ai ) ( i 为虚数单位)为纯虚数,则实数 a ? 3.现从甲、乙、丙 3 人中随机选派 2 人参加某项活动,则甲被选中的概率为 4.根据如图所示的伪代码,最后输出的 S 的值为 . . . .

S ?0 For I From 1 To 10 S?S?I End For Pr int S
5.若一组样本数据 2 , 3 , 7 , 8 , a 的平均数为 5 ,则该组数据的方差 s 2 ? 6.在平面直角坐标系 xOy 中,若中心在坐标原点上的双曲线的一条准线方程为 x ? 点与抛物线 y 2 ? ?4 x 的焦点重合,则该双曲线的渐进线方程为 . .

1 ,且它的一个顶 2

7.在平面直角坐标系 xOy 中,若点 P(m,1) 到直线 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 的距离为 4 ,且点 P 在 不等式 2 x ? y ? 3 表示的平面区域内,则 m ? . 8.在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形, ?BAD ? 60? ,侧棱 PA ? 底 面 ABCD , PA ? 2 , E 为 AB 的中点,则四面体 PBCE 的体积为 . 9.设函数 f ( x) ? cos(2x ? ? ),则“ f ( x) 为奇函数”是“ ? ?

?
2

”的

条件.

(选填“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分也不必要” ) 10.在平面直角坐标系 xOy 中,若圆 x2 ? ( y ? 1)2 ? 4 上存在 A , B 两点关于点 P(1, 2) 成中心对称,则 直线 AB 的方程为 11.在 ?ABC 中, BC ? 2 , A ? .

2? ,则 AB ? AC 的最小值为 . 3 12. 若 函 数 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 在 区 间 [0. ? ?) 上 是 单 调 增 函 数 . 如 果 实 数 t 满 足 1 f (lnt )? f (ln ? ) t
时,那么 t 的取值范围是 2 f (1) .

13. 若 关 于 x 的 不 等 式 (ax ? 2 0 ) l g ? 是 .

2a x

对 0 任意的正实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围

14.已知等比数列 {an } 的首项为

1 4 1 ? B 对 n ? N * 恒成 ,公比为 ? ,其前 n 项和为 Sn ,若 A ? Sn ? Sn 3 3
·1·

立,则 B ? A 的最小值为 二、解答题

.

15.在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别是 a , b , c ,已知 c ? 2 , C ? (1)若 ?ABC 的面积等于 3 ,求 a , b ; (2)若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求 ?ABC 的面积. 16.如图,在正三棱锥 ABC ? A1B1C1 中, E , F 分别为 BB1 , AC 的中点. (1)求证: BF / / 平面 A1 EC ; (2)求证:平面 A1 EC ? 平面 ACC1 A1 .

?
3

.

17.如图,现要在边长为 100 m 的正方形 ABCD 内建一个交通“环岛”.正方形的四个顶点为圆心在四 个角分别建半径为 xm ( x 不小于 9 )的扇形花坛,以正方形的中心为圆心建一个半径为 x2 m 的圆 形草地.为了保证道路畅通,岛口宽不小于 60m ,绕岛行驶的路宽均不小于 10m . (1)求 x 的取值范围; (运算中 2 取 1.4 ) (2) 若中间草地的造价为 a 元 / m 2 , 四个花坛的造价为 当 x 取何值时,可使“环岛”的整体造价最低?

1 5

4 12a 其余区域的造价为 元 /m2 , ax 元 / m 2 , 33 11

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (1,0) , a 2 b2 过焦点 F 且与 x 轴不重合的直线与椭圆 C 交于 A , B 两点,点 B 关于坐标原点的对称点为 P ,直线 PA , PB 分别交椭圆 C 的右准线 l 于 M , N 两点. (1)求椭圆 C 的标准方程;
18.在平面直角坐标系 xOy 中,已知过点 (1, ) 的椭圆 C :

3 2

·2·

8 3 3 ) ,试求直线 PA 的方程; (2)若点 B 的坐标为 ( , 5 5
(3)记 M , N 两点的纵坐标分别为 yM , yN ,试问 yM ? yN 是否为定值?若是,请求出该定值;若 不是,请说明理由.

19.已知函数 f ( x) ? e x , g ( x) ? ax2 ? bx ? 1(a, b ? R) . (1)若 a ? 0 ,则 a , b 满足什么条件时,曲线 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 在 x ? 0 处总有相同的切线? (2)当 a ? 1 时,求函数 h( x) ?

g ( x) 的单调减区间; f ( x)

(3)当 a ? 0 时,若 f ( x) ? g ( x) 对任意的 x ? R 恒成立,求 b 的取值的集合.

20.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 2 , S6 ? 22 . (1)求 Sn ; (2)若从 {an } 中抽取一个公比为 q 的等比数列 {akn } ,其中 k1 ? 1 ,且 k1 ? k2 ? ? kn ? ? , kn ? N * . ①当 q 取最小值时,求 {kn }的通项公式; ②若关于 n(n ? N * ) 的不等式 6S n ? kn ?1 有解,试求 q 的值.

·3·

数学附加题 21.(选做题) (在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题) A.如图, AB , CD 是半径为 1 的圆 O 的两条弦,它们相交于 AB 的中点 P ,若 PC ? 求 PD 的长.

9 1 , OP ? , 8 2

? ? B.已知曲线 C : xy ? 1 ,若矩阵 M ? ? ? ? ?
方程.

2 2 2 2

?

2? ? 2 ? 对应的变换将曲线 C 变为曲线 C ? ,求曲线 C ? 的 2 ? ? 2 ?

C.在极坐标系中,圆 C 的方程为 ? ? 2a cos? ,以极点为坐标原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面
·4·

? x ? 3t ? 2 直角坐标系,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,若直线 l 与圆 C 相切,求实数 a 的值. ? y ? 4t ? 2

2 2 x3 x2 x2 ? 1 ?1. D.已知 x1 , x 2 , x3 为正实数,若 x1 ? x2 ? x3 ? 1 ,求证: ? x1 x2 x3

(必做题) 22.已知点 A(1, 2) 在抛物线 ? : y 2 ? 2 px 上. (1)若 ?ABC 的三个顶点都在抛物线 ? 上,记三边 AB , BC , CA 所在直线的斜率分别为 k1 , k 2 ,

k 3 ,求

1 1 1 ? ? 的值; k1 k2 k3

(2)若四边形 ABCD 的四个顶点都在抛物线 ? 上,记四边 AB , BC , CD , DA 所在直线的斜率分 别为 k1 , k 2 , k 3 , k 4 ,求

1 1 1 1 ? ? ? 的值. k1 k2 k3 k4

·5·

23.设 m 是给定的正整数,有序数组( a1 , a2 , a3 ,?a2 m )中 ai ? 2 或 ?2 (1 ? i ? 2m) . (1)求满足“对任意的 1 ? k ? m , k ? N * ,都有

a2 k ?1 ? ?1 ”的有序数组( a1 , a2 , a3 ,?a2 m )的个数 a2 k
2l

A;
(2)若对任意的 1 ? k ? l ? m , k , l ? N * ,都有 |
i ? 2 k ?1

?

ai |? 4 成立,求满足“存在 1 ? k ? m ,使得

a2 k ?1 ? ?1 ”的有序数组( a1 , a2 , a3 ,?a2 m )的个数 B a2 k

·6·

南京市、盐城市 2014 届高三年级第一次模拟考试

数学参考答案
说明: 1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分 标准制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有 较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,填空题不给中间分数. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 1.{1,2} 2.-3 8. 3 3 9.必要不充分 2 3. 3 4.55 26 5. 5 1 12.[ ,e] e 6.y=± 3x 13.{ 10} 7.6 59 14. 72

2 10.x+y-3=0 11.-. 3

二、解答题: 15.解: (1)由余弦定理及已知条件得,a2+b2-ab=4. 分 1 因为△ABC 的面积等于 3,所以 absinC= 3,即 ab=4. 2 分
?a2+b2-ab=4, 解方程组? 得 a=2,b=2. ?ab=4,

?????2

?????4

?????7

分 (2)由题意,得 sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA, 所以 sinBcosA=2sinAcosA. π π 当 cosA=0 时,A= .所以 B= . 2 6 4 3 2 3 所以 a= ,b= . 3 3 分 当 cosA≠0 时,得 sinB=2sinA,所以 b=2a.
·7·

?????10

?a2+b2-ab=4, 2 3 4 3 解方程组? 得 a= ,b= . 3 3 ?b=2a,

?????13

分 1 2 3 所以△ABC 的面积 S= absinC= . 2 3 分 16.证: (1)连结 AC1 交 A1C 于点 O,连结 OE,OF. 因为正三棱柱 ABC-A1B1C1 是正三棱柱,所以 OA1=OC. 1 1 因为 F 为 AC 中点,所以 OF∥AA1∥CC1,OF= AA1= CC1. 2 2 1 因为 E 为 BB1 中点,所以 BE∥CC1,BE= CC1. 2 所以 OF=BE,OF∥BE.所以 BEOF 是平行四边形.所以 BF∥OE. 分 因为 BF? / 平面 A1EC,OE?平面 A1EC,所以 BF∥平面 A1EC. 分 (2) 因为 AB=CB,F 为 AC 中点,所以 BF⊥AC. 因为 AA1⊥平面 ABC,BF?平面 ABC,所以 AA1⊥BF. 分 由(1)知 BF∥OE. 所以 OE⊥AC,OE⊥AA1. 而 AC,AA1?平面 ACC1A1,AC∩AA1=A, 所以 OE⊥平面 ACC1A1. 12 分 因为 OE?平面 A1EC,所以平面 A1EC⊥平面 ACC1A1. 分
≥9, ?x 100-2x≥60, 17.解: (1)由题意得,? 1 ?100 2-2x-2×5x ≥20,
2

?????14

??????4

??????7

??????9

??????

??????14

??????4


·8·

解得 9≤x≤15. 所以 x 的取值范围是[9,15] . 分 (2)记“环岛”的整体造价为 y 元.则由题意得 1 4 12a 1 y=a×π×( x2)2+ ax×πx2+ [104-π×( x2)2-πx2] 5 33 11 5 a 1 4 = [π(- x4+ x3-12x2)+12×104] . 11 25 3 分 1 4 4 令 f(x)=- x4+ x3-12x2.则 f′(x)=- x3+4x2-24x. 25 3 25 由 f′(x)=0, 解得 x=0(舍去)或 x=10 或 x=15. 分 列表如下:
x f′(x) f(x) 9 (9,10) - ↘ 10 0 极小值 (10,15) + ↗ 15 0

??????7

??????10

??????12

所以当 x=10,y 取最小值. 答:当 x=10 m 时,可使“环岛”的整体造价最低. 14 分 18.解: (1)由题意,得 2a= 2分 因为 c=1,所以 b2=3. x2 y2 所以椭圆 C 的标准方程为 + =1. 4 3 分 8 3 3 8 3 3 (2)因为 F(1,0),B( , ),所以 P(- ,- ). 5 5 5 5 所以直线 AB 的斜率为 3. 所以直线 AB 的方程为 y= 3(x-1). 分
·9·

??????

3 (1-1)2+( -0)2+ 2

3 (1+1)2+( -0)2=4,即 a=2.?????? 2

??????5

??????7

x y ? ? + =1, 解方程组? 4 3 得点 A 的坐标为(0,- 3). ? y= 3(x-1), ? 9分 所以直线 PA 的方程为 y=- 分 (3)当直线 AB 的斜率 k 不存在时,易得 yM·yN=-9. 当直线 AB 的斜率 k 存在时,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 B(-x2,-y2).
2 2 2 2 x1 y1 x2 y2 所以 + =1, + =1. 4 3 4 3

2

2

???????

3 x- 3. 4

???????10

(x2+x1)(x2-x1) (y2+y1)(y2-y1) 两式相减, 得 + =0. 4 3 (y2+y1)(y2-y1) 3 所以 =- =kPAk. 4 (x2+x1)(x2-x1) 3 所以 kPA=- . 4k 分 3 所以直线 PA 的方程为 y+y2=- (x+x2). 4k 3(x2+4)(x2-1) 3 所以 yM=- (4+x2)-y2=- -y2. 4k 4y2 y2 4y2 直线 PB 的方程为 y= x,所以 yN= . x2 x2 分
2 3(x2+4)(x2-1) 4y2 所以 yM·yN=- - . x2 x2 2 2 x2 y2 2 2 因为 + =1,所以 4y2 =12-3x2 . 4 3 2 -3(x2+4)(x2-1)-12+3x2 所以 yM·yN= =-9. x2

???????12

???????14

所以 yM·yN 为定值-9. 分 19.解: (1)因为 f′(x)=ex,所以 f′(0)=1. 又 f(0)=1,所以 y=f(x)在 x=0 处的切线方程为 y=x+1. 分
·10·

???????16

???????2

因为 g′(x)=2ax+b,所以 g′(0)=b. 又 g(0)=1,所以 y=g(x)在 x=0 处的切线方程为 y=bx+1. 所以当 a∈R 且 b=1 时,曲线 y=f(x)与 y=g(x)在 x=0 处总有相同的切线.???????4 分 x2+bx+1 (2)当 a=1 时,h(x)= , ex h′(x)= 分 由 h′(x)=0,得 x=1 或 x=1-b. 所以当 b>0 时,函数 y=h(x)的减区间为(-∞,1-b),(1,+∞). 当 b=0 时,函数 y=h(x)的减区间为(-∞,+∞). 当 b<0 时,函数 y=h(x)的减区间为(-∞,1),(1-b,+∞). 分 (3)当 a=0 时,则 φ(x)=f(x)-g(x)=ex-bx-1,φ′(x)=ex-b. ①当 b≤0 时,φ′(x)≥0,函数 φ(x)在 R 上是增函数. 因为 φ(0)=0,所以 x<0 时,φ(x)<0,与函数 f(x)≥g(x)矛盾. 分 ②当 b>0 时,由 φ′(x)>0,得 x>lnb,φ′(x)<0,得 x<lnb, 所以函数 φ(x)在(-∞,lnb)上是减函数,在(lnb,+∞)上是增函数. (Ⅰ)当 0<b<1 时,lnb<0,φ(0)=0,所以 φ(lnb)<0,与函数 f(x)≥g(x)矛盾. (Ⅱ)当 b>1 时,同理 φ(lnb)<0,与函数 f(x)≥g(x)矛盾. (Ⅲ)当 b=1 时,lnb=0,所以函数 φ(x)在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数. 所以 φ(x)≥φ(0)=0.故 b=1 满足题意. 综上所述,b 的取值的集合为{1}. ???????16 分 ???????12 ???????10 -x2+(2-b)x+b-1 (x-1)[x-(1-b)] =- . ex ex ??????? 7

2 20.解: (1)设等差数列的公差为 d,则 S6=6a1+15d=22,a1=2,所以 d=3.??????2 分 n(n+5) 2 所以 Sn= 3 .an=3(n+2) (2)因为数列{an}是正项递增等差数列,所以数列{ a k n} 的公比 q>1.
·11·

??????4 分

要使 q 最小,只需要 k2 最小即可. 8 4 32 / {an}, 若 k2=2,则由 a2=3,得 q=3,此时 a k 3= 9 ∈ 所以 k2>2,同理 k2>3. 若 k2=4,则由 a4=4,得 q=2,此时 a k n=2 . 2 n-1 因为 a k n=3(kn+2),所以 kn=3×2 -2. 2 - - (3)因为 a k n= (kn+2)=2qn 1,所以 kn=3qn 1-2(q>1). 3 当 q 不是自然数时,kn 不全是正整数,不合题意,所以 q≥2,q∈N*.. 2n(n+5)+2 不等式 6Sn>kn+1 有解,即 >1 有解. 3 qn 2n(n+5)+2 经检验,当 q=2,3,4 时,n=1 都是 >1 的解,适合题意. 3 qn 分 2n(n+5)+2 以下证明当 q≥5 时,不等式 ≤1 恒成立. 3 qn 2n(n+5)+2 设 bn= . 3 qn 2(n+1)(n+6)+2 + 3 qn 1 bn+1 n2+7n+7 则 = = bn 2n(n+5)+2 3q(n2+5n+1) 3 qn 2n+6 2(n+3) 1 1 = (1+ 2 )= (1+ ) 3q n +5n+1 3q (n+3)2-(n+3)-5 1 2 = (1+ ). 3q 5 (n+3)- -1 n+3 因为 f(n)=(n+3)- 5 -1 在 n∈N*上是增函数, n+3 ???????12 ??????10 分
n

??????6 分

7 所以 f(1)≤f(n)<+∞,即 ≤f(n)<+∞. 4 1 bn+1 5 所以 < ≤ . 3q bn 7q 分 bn+1 因为 q≥5,所以 <1.所以数列{bn}是递减数列. bn 14 所以 bn≤b1= <1. 3q
·12·

????????14

综上所述,q 的取值为 2,3,4.

????????16 分

南京市、盐城市 2014 届高三年级第一次模拟考试 数学附加题参考答案及评分标准 2014.01
说明: 1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分 标准制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有 较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,填空题不给中间分数. 21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答 卷 纸 指 . . . . 定区域内 作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .... A.选修 4—1:几何证明选讲 解:因为 P 为 AB 中点,所以 OP⊥AB.所以 PB= r2-OP2=
·13·

3 . 2

??????

5分 9 因为 PC·PD=PA·PB=PB2,PC= , 8 2 所以 PD= . 3 10 分 B.选修 4—2:矩阵与变换 解:设曲线 C 上一点(x′,y′)对应于曲线 C′上一点(x,y). ??????

? 22 由? 2 ?2
5分



? x′ x ? ?=? ?,得 2x′- 2y′=x, 2x′+ 2y′=y. ? 2 2 2 2 ?y′? ?y? 2 2 ?
2 2

???????

所以 x′=

2 2 (x+y),y′= (y-x). 2 2

因为 x′y′=1,所以 y2-x2=2. 所以曲线 C′的方程为 y2-x2=2. 10 分 C.选修 4—4:坐标系与参数方程 解:直线 l 的普通方程为 4x-3y-2=0,圆 C 的直角坐标方程为(x-a)2+y2=a2. ??????? 5分 由题意,得 分 D.选修 4—5:不等式选讲 证: 因为 x1,x2,x3 为正实数,
2 2 2 x2 x3 x1 所以 +x1+ +x2+ +x3≥2 x1 x2 x3 2 2 2 x2 x3 x1 即 + + ≥1. x1 x2 x3 2 x2 ·x +2 x1 1 2 x3 ·x +2 x2 2 2 x1 ·x =2(x1+x2+x3)=2. x3 3

???????

|4a-2|
2

4 +(-3)

2=|a|,解得

2 a=-2 或 a= . 9

??????10

???????

10 分 22. (本小题满分 10 分) 解: (1)由点 A(1,2)在抛物线 M∶y2=2px 上,得 p=2.
·14·

所以抛物线 M 的方程为 y2=4x. 分
2 2 y1 y2 设 B( ,y1),C( ,y2). 4 4 2 2 2 2 y1 y2 y1 y2 -1 - -1 4 4 4 y1+2 y2+y1 y2+2 1 1 1 4 所以 - + = - + = - + =1. k1 k2 k3 y1-2 y2-y1 y2-2 4 4 4

???????3

???????7


2 y3 (2)设 D( ,y3). 4

1 1 1 1 y1+2 y2+y1 y3+y2 y3+2 则 - + - = - + - =0. k1 k2 k3 k4 4 4 4 4 分

???????10

23.设 m 是给定的正整数,有序数组(a1,a2,a3,?,a2m)中,ai=2 或-2(1≤i≤2m). a2k-1 (1)求满足“对任意的 1≤k≤m,都有 =-1”的有序数组(a1,a2,a3,?,a2m)的个数 A; a2k
2l a2k-1 (2)若对任意的 1≤k≤l≤m,都有| ∑ ai|≤4 成立,求满足“存在 1≤k≤m,使得 ≠-1” a2k - i=2k 1

的有序数组(a1,a2,a3,?,a2m)的个数 B. a2k-1 解: (1)因为对任意的 1≤k≤m,都有 a2k =-1, 所以(a2k-1,a2k)=(2,-2)或(a2k-1,a2k)=(-2,2).共有 2 种情况. 由乘法原理,得序数组(a1,a2,a3,?,a2m)的个数 A=2 . 分
1 (2)当存在一个 k 时,那么这一组有 2Cm 种,其余的由(1)知有 2m
-1

m

???????5

1 m 种,所有共有 2Cm 2

-1

种.

2 当存在二个 k 时,因为对任意的 1≤k≤l≤m,都有| ∑ ai|≤4 成立,所以这两组共有 2Cm 种,

2l

i=2k-1

其余的由(1)知有 2m ?

-2

2 m 种,所有共有 2Cm 2

-2

种.

1 m 1 2 m 2 m 依次类推得: B=2Cm 2 +2Cm 2 +?+2Cm =2(3m-2m).
- -

???????10



·15·

·16·

·17·

·18·

·19·

·20·

·21·

·22·

·23·

·24·

·25·

·26·

2014 届南通市高三数学期末考试
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.
·27·

1. 2.

复数 z ? i (其中 i 是虚数单位)的虚部为 2?i

. 6 7 8 556 34 01

某同学在 7 天内每天参加体育锻炼的时间(单位:分钟)用茎叶图表 示如图,图中左列表示时间的十位数,右列表示时间的个位数.则这 7 天该同学每天参加体育锻炼时间(单位:分钟)的平均数为 .

3. 4.

函数 f ( x) ? 1 4

? ?

x2 ? 2 x

的值域为


开始

分别在集合 A ? {1,2,3,4}和集合 B ? {5,6,7,8}中 各取一个数相乘,则积为偶数的概率为 .
S ? 0, n ?1

5.

在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C 的中心在原点,焦点 在 y 轴上,一条渐近线方程为 x ? 3 y ? 0 ,则双曲线 C 的 离心率为
10

n<a Y
S ?S?1 n
n?n?2

N

.

输出 S

6. 如图是计算 ? 1 的值的一个流程图,则常数 a 的取 k ?1 2 k ? 1 值范围是 7. .

结束

函数 y = sin 2 x ? π 的图象可由函数 y = sin x 的图象作两次变换得到,第一次变换是针对函数 y =
3

?

?

sin x 的图象而言的,第二次变换是针对第一次变换所得图象而言的.现给出下列四个变换: A. 图象上所有点向右平移 π 个单位; 6 B. 图象上所有点向右平移 π 个单位; 3 C. 图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变) ; D. 图象上所有点的横坐标变为原来的 1 倍(纵坐标不变). 2 请按顺序写出两次变换的代表字母: 8. .(只要填写一组)

记 max{a,b}为 a 和 b 两数中的较大数.设函数 f ( x) 和 g ( x) 的定义域都是 R,则“ f ( x) 和 g ( x) 都是偶函数”是“函数 F ( x) ? max ? f ( x) ,g ( x)? 为偶函数”的 条件.

(在“充分不必要” “必要不充分” “充分必要”和“既不充分也不必要”中选填一个) 9. 在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C1: x2 ? y 2 ? 4x ? 8 y ? 19 ? 0 关于直线 l: x ? 2 y ? 5 ? 0 对称的圆 C2 的方程为 .

10. 给出以下三个关于 x 的不等式:① x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 ,② 3 ? 1 ,③ 2 x 2 ? m2 x ? m ? 0 .若③的解 x ?1 集非空,且满足③的 x 至少满足①和②中的一个,则 m 的取值范围是
·28·



11. 设 0 ? ? ? ? ? π ,且 cos ? ? 1 , cos(? ? ? ) ? 13 ,则 tan ? 的值为 2 7 14 12. 设平面向量 a,b 满足 a ? 3b ≤ 2 ,则 a·b 的最小值为 .



13. 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 4 ? 9 ? 1 上的点到原点 O 的最短距离为 x2 y 2



14. 设函数 y ? f ( x) 是定义域为 R,周期为 2 的周期函数,且当 x ? ? ?1, 1? 时, f ( x) ? 1 ? x2 ;已知

? ?lg | x | ,x ? 0 , 函数 g ( x) ? ? 则函数 f ( x) 和 g ( x) 的图象在区间 ? ?5 , 10? 内公共点的个数为 x ? 0. ? ?1,
二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.
sin ? ) ,b ? (cos ? , sin ? ) ,其中 0 ? ? ? ? ? π . 15.设向量 a ? (cos ? ,



(1)若 a ? b ,求 a ? 3b 的值; (2)设向量 c ? 0 , 3 ,且 a + b = c,求 ? ,? 的值.

?

?

16.如图,在三棱锥 P—ABC 中,平面 PAC ? 平面 ABC, ?BAC ? 60? ,E,F 分别是 AP,AC 的中 点,点 D 在棱 AB 上,且 AD ? AC . 求证: (1) EF // 平面 PBC; (2)平面 DEF ? 平面 PAC. E F D B P

A

C

·29·

17.如图,港口 A 在港口 O 的正东 120 海里处,小岛 B 在港口 O 的北偏东 60? 的方向,且在港口 A 北偏西 30? 的方向上.一艘科学考察船从港口 O 出发,沿北偏东 30? 的 OD 方向以 20 海里/小时 的速度驶离港口 O.一艘给养快艇从港口 A 以 60 海里/小时的速度驶向小岛 B,在 B 岛转运补 给物资后以相同的航速送往科考船.已知两船同时出发,补给装船时间为 1 小时. (1)求给养快艇从港口 A 到小岛 B 的航行时间; (2)给养快艇驶离港口 A 后,最少经过多少时间 能和科考船相遇? C 北 D B

O

A



18.设公差不为零的等差数列 ?an ? 的各项均为整数,Sn 为其前 n 项和,且满足 (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)试求所有的正整数 m,使得

a2 a3 ? ? 5 ,S7 ? 7 . a1 4

am+1am? 2 为数列 ?an ? 中的项. am

·30·

19. 在平面直角坐标系 xOy 中,设椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,短半轴长为 2,椭圆 C 上 的点到右焦点的距离的最小值为 5 ? 1 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,且 ?AOB ? π . 2 ①求证:原点 O 到直线 AB 的距离为定值; ②求 AB 的最小值. O l B A x y

20.设函数 f ? x ? ? a ln x ? bx2 ,其图象在点 P ? 2 ,f ? 2?? 处切线的斜率为 ?3 . (1)求函数 f ? x ? 的单调区间(用只含有 b 的式子表示) ; (2)当 a ? 2 时,令 g ? x ? ? f ? x ? ? kx ,设 x1 , x 2 ? x1 ? x2 ? 是函数 g ? x ? ? 0 的两个根, x0 是 x1 ,
x 2 的等差中项,求证: g' ( x0 ) ? 0 ( g' ( x) 为函数 g ? x ? 的导函数) .

·31·

【填空题答案】 1. 2 5 4. 3 4 7. BD(DA) 10. ? ?1,0 ? 13. ? 1 6 2. 5. 72 2 3.

? 0 ,4?

6. ?19 , 21? 9. x2 ? y 2 ? 1 12. 5

8. 充分不必要 11.
3

14. 15

sin ? ) ,b ? (cos ? , sin ? ) ,所以 a ? 1, b ? 1 . ??2 分 15.【解】 (1)因为 a ? (cos ? ,

因为 a ? b ,所以 a·b = 0.???????????4 分 于是 a ? 3b
2

? a 2 ? 3b2 ? 2 3a ? b ? 4 ,故 a ? 3b ? 2 . ????6 分

(2)因为 a + b ? ? cos ? ? cos ? ,sin ? ? sin ? ? ? 0 , 3 ,
? ?cos ? ? cos ? ? 0 , 所以 ? ??????????8 分 ? ?sin ? ? sin ? ? 3 .

?

?

由此得 cos ? ? cos ? π ? ? ? ,由 0 ? ? ? π ,得 0 ? π ? ? ? π , 又 0 ? ? ? π ,故 ? ? π ? ? . ????????????10 分 代入 sin ? ? sin ? ? 3 ,得 sin ? ? sin ? ? 3 .???????12 分 2 而 0 ? ? ? ? ? π ,所以 ? ? 2π ,? ? π .???????14 分 3 3 16. 【证】 (1)在△PAC 中,因为 E,F 分别是 AP,AC 的中点,所以 EF // PC.???2 分 又因为 EF ? 平面 PBC, PC ? 平面 PBC, 所以 EF // 平面 PBC.??????5 分 (2)连结 CD.因为 ?BAC ? 60? , AD ? AC ,所以△ACD 为正三角形. 因为 F 是 AC 的中点,所以 DF ? AC .???????7 分
·32·

因为平面 PAC ? 平面 ABC, DF ? 平面 ABC,平面 PAC I 平面 ABC ? AC , 所以 DF ? 平面 PAC. ????????11 分 因为 DF ? 平面 DEF,所以平面 DEF ? 平面 PAC.??????????14 分 17.【解】 (1)由题意知,在△OAB 中, OA=120, ?AOB ? 30o, ?OAB ? 60o . 于是 AB ? 60 ,而快艇的速度为 60 海里/小时, 所以快艇从港口 A 到小岛 B 的航行时间为 1 小时. ????????????5 分 (2)由(1)知,给养快艇从港口 A 驶离 2 小时后,从小岛 B 出发与科考船汇合. 为使航行的时 间最少,快艇从小岛 B 驶离后必须按直线方向航行,设 t 小时后恰与 科考船在 C 处相遇.?????????????????????????7 分 在△OAB 中,可计算得 OB ? 60 3 , 而在△OCB 中, BC ? 60 t , OC ? 20(2 ? t ) , ?BOC ? 30 o ,?????????9 分 由余弦定理,得 BC 2 ? OB 2 ? OC 2 ? 2OB ? OC ? cos ?BOC , 即 (60t )2 ? 60 3

?

?

2

2 ? ? 20(2 ? t )? ? 2 ? 60 3 ? 20(2 ? t ) ? 3 , 2

亦即 8 t 2 ? 5 t ? 13 ? 0 ,解得 t ? 1 或 t ? ? 13 (舍去) .???????????12 分 8 故 t ? 2 ? 3. 即给养快艇驶离港口 A 后,最少经过 3 小时能和科考船相遇??14 分 18.【解】 (1)因为 ?an ? 是等差数列,且 S7 ? 7 ,而 S7 ? 设 ?an ? 的公差为 d,则由
7(a1 ? a7 ) ? 7a4 ,于是 a4 ? 1 .?2 分 2

a2 a3 (1 ? 2d )(1 ? d ) ??5 , ??5 得 1 ? 3d 4 a1 4

化简得 8d 2 ? 27d ? 9 ? 0 ,即 (d ? 3)(8d ? 3) ? 0 ,解得 d ? 3 或 d ? 3 , 8 但若 d ? 3 ,由 a4 ? 1 知不满足“数列 ?an ? 的各项均为整数” ,故 d ? 3 .???5 分 8 于是 an ? a4 ? (n ? 4)d ? 3n ? 11 .????????????????????7 分 (2)因为 所以要使

am+1am?2 (am ? 3)(am ? 6) ? ? am ? 9 ? 18 , an ? 3n ? 11 ? 3(n ? 4) ? 1 , ??10 分 am am am

am+1am? 2 为数列 ?an ? 中的项, 18 必须是 3 的倍数, am am

于是 am 在 ?1,? 2 ,? 3 ,? 6 中取值, 但由于 am ? 1 是 3 的倍数,所以 am ? 1 或 am ? ?2 . 由 am ? 1 得 m ? 4 ;由 am ? ?2 得 m ? 3 . ????????????????13 分
·33·

当 m ? 4 时,

am+1am? 2 4 ? 7 a a ? ? a13 ;当 m ? 3 时, m+1 m? 2 ? 1? 4 ? a3 . am 1 am ?2

所以所求 m 的值为 3 和 4.??????????????????????16 分 另解:因为
am +1am ? 2 (3m ? 8)(3m ? 5) (3m ? 11) 2 ? 9(3m ? 11) ? 18 ? ? am 3m ? 11 3m ? 11

? 3m ? 2 ?
所以要使

18 ? 3m ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 , 3m ? 11 3(m ? 4) ? 1

am+1am? 2 为数列 ?an ? 中的项, 2 ? 3 ? 3 必须是 3 的倍数, 3(m ? 4) ? 1 am

于是 3(m ? 4) ? 1 只能取 1 或 ?2 . (后略)
2 y2 19.【解】 (1)由题意,可设椭圆 C 的方程为 x 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,焦距为 2c,离心率为 e. a b

于是 b ? 2 .设椭圆的右焦点为 F,椭圆上点 P 到右准线距离为 d , 则

AF ? e ? AF ? e ? d ,于是当 d 最小即 P 为右顶点时,PF 取得最小值, d

所以 a ? c ? 5 ? 1 .??????????????????????????3 分

?a ? c ? 5 ? 1 , ?a ? 5 , ? ? 因为 ?b ? 2 , ? ?b ? 2 , ? 2 ?c ? 1, 2 2 ?a ? b ? c ?
所以椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1 .?????????????????????5 分 5 4

(2)①设原点 O 到直线 AB 的距离为 h,则由题设及面积公式知 h ? OA ? OB . AB

?OA ? 5 , ? ? ?OB ? 5 , 当直线 OA 的斜率不存在或斜率为 0 时, ? 或? ? ? ?OB ? 2 ?OA ? 2 .
于是 d ?
2 5 4?5 ? 2 5 .????????????????????????7 分 3

? x2 y 2 2 k 2 x2 ? ? ? 1, x 当直线 OA 的斜率 k 存在且不为 0 时,则 ? 5 ? ? ?1, 4 5 4 ? ? y ? kx
1 , ?x 2 ? ?x 2 ? 1 , B ? 1 A 2 ? 12 ? 1?k ? 5 4k ? ? 5 4 ? 解得 ? 同理 ???????????????9 分 ? 1 2 2 ? y A2 ? k 2 . ? 2 k . 1?k ? ? yB ? 1 1 ? ? ? 5 4 ? 2 5 4k ?
·34·

在 Rt△OAB 中, h2 ?

OA2 ? OB2 OA2 ? OB2 , ? AB2 OA2 ? OB2

1 k2 1 ? 1 1 k2 k2 1 ? ? ? 2 1 OA ? OB 1 1 5 4k 4 则 2 ? ? ? ?5 4 ? ?5 4 ? 5 2 2 2 2 2 2 2 1 h OA ? OB OA OB 1? k 1 ? k 1 ? k 1? 2 k
2 2

1?1 k ? 1?1 ? ? 4 5 ? ? 1 ? 1 ? 9 ,所以 h ? 2 5 . ? ? 4 5
2

1? k2

4

5

20

3

综上,原点 O 到直线 AB 的距离为定值

2 5 .??????????????11 分 3

1 ? 12 1? k2 ? k 1 ? k2 1 ? 1 ?1 ? k 2 ? 1 ? k12 2 2 5 4k 2 2 OA ? OB 5 4 另解: h ? ? ? 1 OA2 ? OB 2 1 ? ? 1 ? 1 ? 12 ?1 ? k 2 ? 1 1? k2 ? k2 5 4k 2 k 1 ? k2 1 ? 1 5 4 5 4k 2

?

? ?

?

?

?k ?? 1 5 4?
2

1 ?2 9 2 5 k2 ,所以 h ? . ? ? 9 2 9 9 20 3 k ? ? 20 20k 2 10 k2 ?
②因为 h 为定值,于是求 AB 的最小值即求 OA ? OB 的最小值.
OA ? OB ?
2 2

1? 1 ?k ?1 5 4 ? ? 5 4k ?
2 2

?1 ? k ? ?
2

?1 ? k1 ?
2

k 2 ? 12 ? 2 k , ? 1 k 2 ? 1 ? 41 20 20k 2 400

令 t ? k2 ? 于是 OA2 ? OB 2 ?

1 ,则 t≥2 , k2

t ? 2 ? 20 ? 20t ? 40 ? 20 1 ? 1 , ???????14 分 1 t ? 41 20t ? 41 20t ? 41 20 400

?

?

因为 t ≥ 2 ,所以 OA2 ? OB2≥20 ? 1 ? 1 ? 1600 , 81 81

?

?

40 40 4 5 当且仅当 t ? 2 ,即 k ? ?1 , OA ? OB 取得最小值 ,因而 ABmin ? 9 ? 3 9 2 5 3
所以 AB 的最小值为

4 5 .??????????????????????16 分 20. 【解】 3

? ?? . (1)函数 f ? x ? 的定义域为 ? 0 ,
·35·

f ?? x? ?

a a ? 2bx ,则 f ? ? 2 ? ? ? 4b ? ?3 ,即 a ? 8b ? 6 . 2 x

于是 f ? ? x ? ?

?2bx2 ? ?8b ? 6? .????????????????????2 分 x
?6 ? ? ? 上是单调减函数; ? 0 , f ? x? 在 ?0 , x

①当 b ? 0 时, f ? ? x ? ?

②当 b ? 0 时,令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ?

4b ? 3 (负舍) , b

所以 f ? x ? 在 0 , 4b ? 3 上是单调减函数,在 b

?

?

?

4b ? 3 , ? ? 上是单调增函数; b

?

3 ③当 b ? 0 时,若 0 ? b≤ ,则 f ? ? x ? ? 0 恒成立, f ? x ? 在 ? 0 , ? ? ? 上单调减函数; 4

若b ?

3 4b ? 3 ,令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ? (负舍) , 4 b

所以 f ? x ? 在 0 , 4b ? 3 上单调增函数,在 b

?

?

?

4b ? 3 , ? ? 上单调减函数; b

?

综上,若 b ? 0 , f ? x ? 的单调减区间为 0 , 4b ? 3 ,单调增区间为 b
3 若 0≤b≤ , f ? x ? 的单调减区间为 ? 0 , ? ?? ; 4

?

?

?

4b ? 3 , ?? ; b

?

若b ?

3 , f ? x ? 的单调增区间为 0 , 4b ? 3 ,单调减区间为 4 b
2

?

?

?

4b ? 3 , ?? . b
??????????????8 分

?

(2)因为 a ? 2,a ? 8b ? 6 ,所以 b ? 1 ,即 g ? x ? ? 2ln x ? x ? kx .
2 ? ?2ln x1 ? x1 ? kx1 ? 0 , 因为 g ? x ? 的两零点为 x1 , x 2 ,则 ? 2 ? ?2ln x2 ? x2 ? kx2 ? 0 ,

相减得: 2 ? ln x1 ? ln x2 ? ? x12 ? x22 ? k ? x1 ? x2 ? ? 0 , 因为 x1 ? x2 ,所以 k ? 于是 g' ? x0 ? ?
2 ? ln x1 ? ln x2 ? ? ? x1 ? x2 ? , x1 ? x2

?

?

2 ? ln x1 ? ln x2 ? 2 4 ? 2 x0 ? k ? ? x0 x1 ? x2 x1 ? x2

? x1 ? ? 2 x ?1 ? ? 2 ? x1 ? x2 ? ? x 2 2 2 ? ? ? ln x1 ? ln x2 ? ? ? ? ln 1 ? . ? ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 x2 ? ? x1 ? x2 ? x1 ? 1 ? x2 ? ? ?

?

?

??????????????14 分 令t ?

2 ? t ? 1? x1 4 ,t ? ? 0, 1? , ? ? t ? ? ? ln t ? 2 ? ? ln t , x2 t ?1 t ?1
·36·

则 ?' ? t ? ?

1 ? ? t ? 1? 1? 上单调递减, ? ? ? 0 ,则 ? ? t ? 在 ? 0 , 2 2 ? t ? 1? t t ?t ? 1? 4
2

则 ? ? t ? ? ? ?1? ? 0 ,又

2 ? 0 ,则 g' ? x0 ? ? 0 .命题得证.??????16 分 x1 ? x2

附加题: 21A. 如图,AB 是圆 O 的直径,D 为圆 O 上一点,过 D 作圆 O 的 切线交 AB 的延长线于点 C.若 DA = DC,求证:AB = 2 BC. 【证】连结 OD,BD, A 因为 AB 是圆 O 的直径,所以 ?ADB ? 90o,AB ? 2OB . 因为 DC 是圆 O 的切线,所以 ?CDO ? 90o . 因为 AD = DC,所以 ?A ? ?C .于是△ADB ? △CDO,从而 AB = CO, 即 2OB = OB + BC,得 OB = BC.故 AB = 2 BC.??????????????10 分 21B. 已知矩阵 A 的逆矩阵 A ?1 ? ? 4
? 1 ? ? 2 ?? 1 3 ? 4 ? ,求矩阵 A 的特征值. ? 1? 2? ?
?1

D

· O

B

C

【解】因为 A

?1

A=E,所以 A =(A
?? 1 ? 1 ? ? 2

)

?1

. ?????????????5 分

因为 A ?1 ? ? 4

3 ? ?2 3? 4 ? ,所以 A =(A ? 1 ) ? 1 ? ?2 1? . ? ? ? 1? 2? ?

于是矩阵 A 的特征多项式为 f (λ) ?

? ?2
?2

?3

? ?1

= λ2-3λ-4, ?????????8 分

令 f (λ) = 0,解得 A 的特征值 λ1 = -1,λ2 =4 .???????????????10 分
·37·

? ? ? x ? 5cos ?, ? x ? 4 ? 2t, 21C. 在平面直角坐标系 xOy 中,求过椭圆 ? ( ? 为参数)的左焦点,且与直线 ? ? ? ? y ? 3sin ? ?y ? 3 ? t
(t 为参数)平行的直线的普通方程. 【解】椭圆的普通方程:

x2 y 2 ? ? 1 ,左焦点 F (?4,0) ???????????????3 分 25 9

直线的普通方程: x ? 2 y ? 2 ? 0 . ??????????????????????6 分 设过焦点 F (?4,0) 且与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 平行的直线为 x ? 2 y ? ? ? 0 将 F (?4,0) 代入 x ? 2 y ? ? ? 0 , ? ? 4. 所求直线的普通方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0 .???????????????????10 分 21D. 已知实数 x,y 满足:| x + y | ? 1 , | 2 x ? y | ? 1 ,求证:| y | ? 5 . 3 6 18 【证】 3| y |? | 3 y |? 2( x ? y) ? (2x ? y) ≤2 | x ? y | ? | 2x ? y | .?????????????5 分 由题设知| x + y | ? 1 , | 2 x ? y | ? 1 , 3 6 从而 3 | y | ≤2 ? 1 ? 1 ? 5 .故| y | ? 5 .???????????????????10 分 3 6 6 18

22.从棱长为 1 的正方体的 8 个顶点中任取不同 2 点,设随机变量 ξ 是这两点间的距离. (1)求概率 P ? ? 2 ; (2)求 ξ 的分布列,并求其数学期望 E(ξ ).
2 【解】 (1)从正方体的 8 个顶点中任取不同 2 点,共有 C8 ? 28 种.

?

?

因为正方体的棱长为 1,所以其面对角线长为 2 , 正方体每个面上均有两条对角线,所以共有 2 ? 6 ? 12 条. 因此 P ? ? 2 ? 12 ? 3 . 28 7

?

?

?????????????????3 分

(2)随机变量 ? 的取值共有 1, 2 , 3 三种情况. 正方体的棱长为 1,而正方体共有 12 条棱,于是 P ?? ? 1? ? 12 ? 3 .?????????5 分 28 7 从而 P ?? ? 3 ? ? 1 ? P ?? ? 1? ? P ?? ? 2 ? ? 1 ? 3 ? 3 ? 1 . 7 7 7 所以随机变量 ? 的分布列是
·38·

?????????????7 分

?
P( ? )

1
3 7

2

3

3 7

1 7

?????????????????????????8 分 因此 E(? ) ? 1? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? 1 ? 3 ? 3 2 ? 3 . 7 7 7 7 ????????????????10 分

23.在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 C: y 2 ? 4 x ,F 为其焦点,点 E 的坐标为(2,0),设 M 为抛物线 C 上异于顶点的动点,直线 MF 交抛物线 C 于另一点 N,链接 ME,NE 并延长分别交 抛物线 C 与点 P,Q. (1)当 MN ? Ox 时,求直线 PQ 与 x 轴的交点坐标; (2)当直线 MN,PQ 的斜率存在且分别记为 k1,k2 时,求证: k1 ? 2k2 . 【解】 (1)抛物线 C: y 2 ? 4 x 的焦点 F(1,0) . 当 MN ? Ox 时,直线 MN 的方程为 x ? 1 . 将 x ? 1 代入抛物线方程 y 2 ? 4 x ,得 y ? ?2 . 不妨设 M (1,2) , N (?1 ,2) , 则直线 ME 的方程为 y ? ?2 x + 4 ,
? y ? ?2 x ? 4 , 由? 2 解得 x ? 1 或 x ? 4 ,于是得 P(4 ,? 4) . ? y ? 4x
4) ,所以直线 PQ 的方程为 x ? 4 . 同理得 Q(4 ,

故直线 PQ 与 x 轴的交点坐标(4,0).??????????????????4 分 (2)设直线 MN 的方程为 x ? my ? 1 ,
Q( x4 ,y4 ) . 并设 M ( x1 ,y1 ),N ( x2 ,y2 ),P( x3 ,y3 ),

? x ? my ? 1, 2 由? 得y ? 4my ? 4 ? 0 , 2 y ? 4 x ?

于是 y1 y2 ? ?4 ①,从而 x1 x2 ?

y12 y22 ? ? 1 ②. 4 4

设直线 MP 的方程为 x ? t y ? 2 ,
?x ? t y ? 2 , 2 由? 得y ? 4my ? 8 ? 0 , 2 ? y ? 4x

所以 y1 y3 ? ?8 ③, x1 x3 ? 4 ④. 同理 y2 y4 ? ?8 ⑤, x2 x4 ? 4 ⑥.
·39·

由①②③④⑤⑥,得 y3 ? 2 y2 ,x3 ? 4x2 ,y4 ? 2 y1 ,x4 ? 4x1 .

k2 ?

y4 ? y3 2 y1 ? 2 y2 1 y1 ? y2 1 ? ? ? ? k, x4 ? x3 4x1 ? 4x2 2 x1 ? x2 2 1

即 k1 ? 2k2 .????????????????????????????10 分

·40·

苏 北 四 市 数 学 试 题
数学Ⅰ 必做题部分
(本部分满分 160 分,时间 120 分钟)

注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求 1.本试卷共 4 页,均为非选择题(第 1 题~第 20 题,共 20 题) 。本卷满分为 160 分,考试时间 为 120 分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。 2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡 的规定位置。 3.作答试题,必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其它位置作答一 律无效。 4.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等加黑、加粗。

1 参考公式:锥体的体积公式: V ? Sh ,其中 S 是锥体的底面面积, h 是高. 3 一、填空题:本题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡上 . ....
1.设复数 z1 ? 2 ? i , z2 ? m ? i (m ? R , i 为虚数单位 ) ,若 z1 ? z2 为实数,则 m 的值为 ▲ . 2.已知集合 A ? {2 ? a , a} , B ? {?1 , 1 , 3} ,且 A ? B ,则实数 a 的值是 ▲ . 3.某林场有树苗 3000 棵,其中松树苗 400 棵.为调查树苗的生长情况,采用分层抽样的方法抽取 一个容量为 150 的样本,则样本中松树苗的棵数为 ▲ . 4. 在 ?ABC 的边 AB 上随机取一点 P , 记 ?CAP 和 ?CBP 的面积分别为 S1 和 S2 , 则 S1 ? 2 S2 的概率是 ▲ . 开始 x2 y 2 5.已知双曲线 2 ? 2 ? 1 的一条渐近线方程为 2 x ? y ? 0 , a b S ? 0, n ? 1 则该双曲线的离心率为 ▲ . 6.右图是一个算法流程图,则输出 S 的值是 ▲ . n?n?2 7.函数 f ( x) ? lg(2x ? 3x ) 的定义域为 ▲ . 8.若正三棱锥的底面边长为 2 ,侧棱长为 1,则此三棱锥 的体积为 ▲ . 9.在△ ABC 中,已知 AB ? 3 , A ? 120o ,且 ?ABC 的面积
S ?S?n
n ? 10

15 3 ,则 BC 边长为 ▲ . 4 10.已知函数 f ( x) ? x x ? 2 ,则不等式 f ( 2 ? x) ≤ f (1) 的
为 解集为 ▲ .

N 输出 S
结束 (第 6 题图)

Y

? 1] 上的单 11.已知函数 f ( x) ? 2sin(2? x ? ) (? ? 0) 的最大值与最小正周期相同,则函数 f ( x) 在 [?1, 4 调增区间为 ▲ . a3 , a5 成等差数列, 12. 设等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 若 a4 , 且 Sk ? 33 , Sk ?1 ? ?63 , 其中 k ? N? ,
则 S k ? 2 的值为 ▲ .
·41·

???? ??? ? 13.在平面四边形 ABCD 中,已知 AB ? 3 , DC ? 2 ,点 E , F 分别在边 AD, BC 上,且 AD ? 3 AE , ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? BC ? 3BF .若向量 AB 与 DC 的夹角为 60? ,则 AB ? EF 的值为 ▲ .

14. 在平面直角坐标系 xOy 中, 若动点 P (a , b) 到两直线 l1 :y ? x 和 l2 :y ? ? x ? 2 的距离之和为 2 2 , 则 a 2 ? b2 的最大值为 ▲ . 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 已知向量 a ? (cos? , sin ? ) , b ? (2 , ? 1) . sin ? ? cos? (1)若 a ? b ,求 的值; sin ? ? cos? ? ? (2)若 a ? b ? 2 , ? ? (0 , ) ,求 sin(? ? ) 的值. 2 4

16.(本小题满分 14 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中,点 E , F 分别是棱 PC , AC 的中点. (1)求证: PA //平面 BEF ; (2)若平面 PAB ? 平面 ABC , PB ? BC ,求证: BC ? PA . P

A E F C
(第 16 题图)

B

17.(本小题满分 14 分) 某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示),该扇环面是由以点 O 为圆心的两个同心圆弧和 延长后通过点 O 的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为 30 米,其中大圆弧所在圆的半 径为 10 米.设小圆弧所在圆的半径为 x 米,圆心角为 ? (弧度) . (1)求 ? 关于 x 的函数关系式; (2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时,直线部分的装饰费用为 4 元/米,弧线部分的装 饰费用为 9 元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为 y ,求 y 关于 x 的函数关系式,并求
·42·

出 x 为何值时, y 取得最大值?

?
O (第 17 题图)

18.(本小题满分 16 分) 已知 ?ABC 的三个顶点 A(?1 , 0) , B(1 , 0) , C (3 , 2) ,其外接圆为 ? H . (1)若直线 l 过点 C ,且被 ? H 截得的弦长为 2,求直线 l 的方程; (2)对于线段 BH 上的任意一点 P , 若在以 C 为圆心的圆上都存在不同的两点 M , N , 使得点 M 是 线段 PN 的中点,求 ? C 的半径 r 的取值范围.

19.(本小题满分 16 分)

5 已知函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? ax ? b ( a , b 为常数) ,其图象是曲线 C . 2 (1)当 a ? ?2 时,求函数 f ( x) 的单调减区间; (2)设函数 f ( x) 的导函数为 f ?( x) ,若存在唯一的实数 x0 ,使得 f ( x0 ) ? x0 与 f ?( x0 ) ? 0 同时成立, 求实数 b 的取值范围; (3)已知点 A 为曲线 C 上的动点,在点 A 处作曲线 C 的切线 l1 与曲线 C 交于另一点 B ,在点 B 处 作曲线 C 的切线 l2 ,设切线 l1 , l2 的斜率分别为 k1 , k2 .问:是否存在常数 ? ,使得 k2 ? ? k1 ? 若存在,求出 ? 的值;若不存在,请说明理由.
·43·

20. (本小题满分 16 分) 已知数列 {a n} 满足 a1 ? x , a2 ? 3x , Sn?1 ? Sn ? Sn?1 ? 3n2 ? 2 (n ≥ 2 , n ? N* ) , Sn 是数列 {an } 的前 n 项和. (1)若数列 {a n} 为等差数列. (ⅰ)求数列的通项 a n ; (ⅱ)若数列 {b n} 满足 bn ? 2an ,数列 {c n} 满足 cn ? t 2bn? 2 ? tbn?1 ? bn ,试比较数列 {bn } 前 n 项 和 Bn 与 {c n} 前 n 项和 Cn 的大小; (2)若对任意 n ? N* , an ? an?1 恒成立,求实数 x 的取值范围.

数 学 试 题
数学Ⅱ 注意事项
1. 本试卷共 2 页,均为非选择题(第 21 题~第 23 题,共 4 题) 。本卷满分为 40 分,考试时间为 30 分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。 2. 作答试题,必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其它位置作答一律 无效。 21.【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题 ,并在相应的答题区域内作答 .若多 ....... ............ 做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A A.(选修 4—1:几何证明选讲)(本小题满分 10 分) 如图,点 D 为锐角 ?ABC 的内切圆圆心,过点 A 作直线 BD
·44·

附加题部分

E D B F C

(第 21(A)图)

的垂线,垂足为 F ,圆 D 与边 AC 相切于点 E .若 ?C ? 50? , 求 ?DEF 的度数.

B.(选修 4—2:矩阵与变换)(本小题满分 10 分) ?a 0? b>0 ) 设矩阵 M ? ? (其中 a > 0 , ,若曲线 C : x2 + y 2 = 1 在矩阵 M 所对应的变换作用下得 ? ?0 b ?

x2 到曲线 C? : ? y 2 ? 1 ,求 a + b 的值. 4
C.(选修 4—4:坐标系与参数方程)(本小题满分 10 分) ? ?x ? ? 在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程是 ? ?y ? ? ?

2 t, 2 ( t 为参数) ;以 O 为极点, 2 t?4 2 2 ? 圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos(? ? ) . 由直线 l 上的点向圆 C 引 x 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 4 切线,求切线长的最小值.

D.(选修 4—5:不等式证明选讲)(本小题满分 10 分) 1 1 1 已知 a , b , c 均为正数,证明: a2 ? b2 ? c2 ? ( ? ? )2 ≥ 6 3 . a b c

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写 ....... 出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 某品牌汽车 4 S 店经销 A, B, C 三种排量的汽车,其中 A, B, C 三种排量的汽车依次有5,4,3 款不 同车型.某单位计划购买 3 辆不同车型的汽车,且购买每款车型等可能. (1)求该单位购买的 3 辆汽车均为 B 种排量汽车的概率; (2)记该单位购买的 3 辆汽车的排量种数为 X ,求 X 的分布列及数学期望.

23. (本小题满分 10 分)

??? ? ??? ? ??? ? 已知点 A(?1 , 0) , F (1 , 0) ,动点 P 满足 AP ? AF ? 2 | FP | . (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)在直线 l : y ? 2 x ? 2 上取一点 Q ,过点 Q 作轨迹 C 的两条切线,切点分别为 M , N .问:是否
·45·

存在点 Q ,使得直线 MN // l ?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

参考答案
数学Ⅰ部分
一、填空题: 1. 2 8. 2. 1 3. 20 10. ? ?1, ?? ? 4.

1 3

5. 5 12. 129

6. 25 13. 7

7. (?? , 0) 14. 18

1 9. 7 6 二、解答题:

1 3 11. [? , ] 4 4

15. (1)由 a ? b 可知, a ? b ? 2 cos ? ? sin ? ? 0 ,所以 sin ? ? 2 cos ? ,???????????2 分 所以

sin ? ? cos? 2cos? ? cos? 1 ? ? . ????????????????????6 分 sin ? ? cos? 2cos? ? cos? 3

(2)由 a ? b ? (cos? ? 2,sin ? ? 1) 可得,

a ? b ? (cos? ? 2)2 ? (sin? ? 1)2 ? 6 ? 4cos? ? 2sin ? ? 2 ,
即 1 ? 2 cos ? ? sin ? ? 0 , ① ???????????????????????10 分

·46·

? 又 cos ? ? sin ? ? 1 ,且 ? ? (0, ) 2
2 2

3 ? sin ? ? ? ? 5 ②,由①②可解得, ? ,???????12 分 ?cos ? ? 4 ? 5 ?

? 2 2 3 4 7 2 (sin ? ? cos ? ) ? ( ? )? 所以 sin(? ? ) ? . 4 2 2 5 5 10

???????????14 分 P

16. (1)在 ?PAC 中, E 、 F 分别是 PC 、 AC 的中点,所以 PA // EF , 又 PA ? 平面 BEF , EF ? 平面 BEF , 所以 PA // 平面 BEF .??????????????6 分 (2)在平面 PAB 内过点 P 作 PD ? AB ,垂足为 D . 因为平面 PAB ? 平面 ABC ,平面 PAB ? 平面 ABC ? AB , A

D

E F C

B

PD ? 平面 PAB ,所以 PD ? 平面 ABC ,??????8 分

又 BC ? 平面 ABC ,所以 PD ? BC ,?????????????????????10 分 又 PB ? BC , PD ? PB ? P , PD ? 平面 PAB ,

PB ? 平面 PAB ,所以 BC ? 平面 PAB ,???????????????????12 分
又 PA ? 平面 PAB ,所以 BC ? PA .?????????????????????14 分 17.(1)设扇环的圆心角为?,则 30 ? ? ?10 ? x ? ? 2(10 ? x) , 所以 ? ?

10 ? 2 x ,??????????????????????????????4 分 10 ? x

1 (2) 花坛的面积为 ? (102 ? x2 ) ? (5 ? x)(10 ? x) ? ? x2 ? 5x ? 50, (0 ? x ? 10) .??????7 分 2
装饰总费用为 9? ?10 ? x ? ? 8(10 ? x) ? 170 ? 10x , 所以花坛的面积与装饰总费用的比 y = 令 t ? 17 ? x ,则 y ? ???????????????9 分 ???????11 分

? x 2 ? 5 x ? 50 x 2 ? 5 x ? 50 =? , 170 ? 10 x 10(17 ? x)

39 1 324 3 12 ? (t ? ) ≤ ,当且仅当 t=18 时取等号,此时 x ? 1,? ? . 10 10 t 10 11 答:当 x ? 1 时,花坛的面积与装饰总费用的比最大.????????????????14 分 (注:对 y 也可以通过求导,研究单调性求最值,同样给分)
18.(1)线段 AB 的垂直平分线方程为 x ? 0 ,线段 BC 的垂直平分线方程为 x ? y ? 3 ? 0 , 所以 ?ABC 外接圆圆心 H (0,3) ,半径 12 ? 32 ? 10 , 圆 H 的方程为 x2 ? ( y ? 3)2 ? 10 . ??????????????????????4 分

设圆心 H 到直线 l 的距离为 d ,因为直线 l 被圆 H 截得的弦长为 2,所以 d ? ( 10)2 ? 1 ? 3 .
·47·

当直线 l 垂直于 x 轴时,显然符合题意,即 x ? 3 为所求;?????????????6 分 当直线 l 不垂直于 x 轴时,设直线方程为 y ? 2 ? k ( x ? 3) ,则
3k ? 1 1? k
2

? 3 ,解得 k ?

4 , 3

综上,直线 l 的方程为 x ? 3 或 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 . ?????????????????8 分 (2)直线 BH 的方程为 3x ? y ? 3 ? 0 ,设 P(m, n)(0 ≤ m ≤1), N ( x, y) , 因为点 M 是线段 PN 的中点,所以 M (

m? x n? y , ) ,又 M , N 都在半径为 r 的圆 C 上, 2 2

?( x ? 3) 2 ? ( y ? 2) 2 ? r 2 , ?( x ? 3)2 ? ( y ? 2)2 ? r 2 , ? ? 所以 ? m ? x 即 ???????10 分 ? n ? y ? 3) 2 ? ( ? 2) 2 ? r 2 . ? ( x ? m ? 6)2 ? ( y ? n ? 4)2 ? 4r 2 . ?( ? ? 2 2

因为该关于 x, y 的方程组有解,即以 (3, 2) 为圆心, r 为半径的圆与以 (6 ? m, 4 ? n) 为圆心,

2r 为半径的圆有公共点,所以 (2r ? r )2 ≤ (3 ? 6 ? m)2 ? (2 ? 4 ? n)2 ≤ (r ? 2r)2 ,????12 分
12m ? 10 ≤9r 2 对 ?m ? [0 , 1] ]成立. 又 3m ? n-3 ? 0 ,所以 r 2 ≤10m2-

32 32 而 f ? m? ? 10m2- 12m ? 10 在[0,1]上的值域为[ ,10],所以 r 2 ≤ 且 10 ≤ 9r 2 .??15 分 5 5
1] 成立,即 r 2 ? 又线段 BH 与圆 C 无公共点,所以 (m ? 3)2 ? (3 ? 3m ? 2)2 ? r 2 对 ?m ? [0 ,

32 . 5

故圆 C 的半径 r 的取值范围为 [

10 4 10 , ). 3 5

?????????????????16 分 ???????????????2 分

19.(1)当 a ? ?2 时, f ?( x) ? 3x2 ? 5x ? 2 ? (3x ? 1)( x ? 2) .

1 1 令 f ?(x)<0,解得 ?2 ? x ? ,所以 f(x)的单调减区间为 (?2 , ) . ??????????4 分 3 3
2 ?3 x0 ? 5 x0 ? a ? 0 ? 2 (2) f ?( x) ? 3x ? 5x ? a ,由题意知 ? 3 5 2 消去 a , ? x0 ? x0 ? ax0 ? b ? x0 ? 2

5 得 2 x03 ? x02 ? x0 ? b ? 0 有唯一解.???????????????????????6 分 2 5 令 g ( x) ? 2x3 ? x2 ? x ,则 g ?( x) ? 6x2 ? 5x ? 1 ? (2 x ? 1)(3x ? 1) , 2 1 1 1 1 所以 g ( x) 在区间 (??, ? ) , (? , ??) 上是增函数,在 (? , ? ) 上是减函数,?????8 分 2 3 2 3 1 1 1 7 又 g (? ) ? ? , g ( ? ) ? ? , 2 8 3 54 7 1 故实数 b 的取值范围是 (??, ? ) ? (? , ??) . ?????????????????10 分 54 8
·48·

(3)设 A( x0 , f ( x0 )) ,则点 A 处切线方程为 y ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ) ,

5 与曲线 C : y ? f ( x) 联立方程组,得 f ( x) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ) ,即 ( x ? x0 )2 [ x ? (2 x0 ? )] , 2 5 所以 B 点的横坐标 xB ? ?(2 x0 ? ) . ??????????????????????12 分 2 5 25 2 由题意知, k1 ? f ?( x0 ) ? 3x0 ? 5x0 ? a , k2 ? f ?(?2x0 ? ) ? 12x02 ? 20x0 ? ?a, 2 4 25 ? a ? ? (3x02 ? 5x0 ? a) , 4 25 即存在常数 ? ,使得 (4 ? ? )(3x02 ? 5x0 ) ? (? ? 1)a ? , 4 4 ? ? ? 0, ? 25 ? 所以 ? 解得 ? ? 4 , a ? . ??????????????????15 分 25 12 (? ? 1)a ? ? 0. ? ? 4
若存在常数 ? ,使得 k2 ? ? k1 ,则 12x02 ? 20x0 ? 故a?

25 25 时,存在常数 ? ? 4 ,使 k2 ? 4k1 ; a ? 时,不存在常数 ? ,使 k2 ? ? k1 .??16 分 12 12

20.(1)(ⅰ)因为 Sn?1 ? Sn ? Sn?1 ? 3n2 ? 2(n ≥ 2, n ? N* ) ,所以 S3 ? S2 ? S1 ? 14 , 即 a3 ? 2a2 ? 3a1 ? 14 ,又 a1 ? x, a2 ? 3x ,所以 a3 ? 14 ? 9 x , ????????????2 分

又因为数列 {a n} 成等差数列,所以 2a2 ? a1 ? a3 ,即 6 x ? x ? ?14 ? 9 x ? ,解得 x ? 1 , 所以 an ? a1 ? ? n ? 1? d ? 1 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2n ? 1 n ? N* ;

?

?

????????????4 分

(ⅱ)因为 an ? 2n ? 1 n ? N* ,所以 bn ? 2an ? 22n?1 ? 0 ,其前 n 项和 Bn ? 0 , 又因为 cn ? t 2bn?2 ? tbn?1 ? bn ? 16t 2 ? 4t ? 1 bn ,??????????????????5 分 所以其前 n 项和 Cn ? 16t 2 ? 4t ? 1 Bn ,所以 Cn ? Bn ? 2 8t 2 ? 2t ? 1 Bn ,???????7 分

?

?

?

?

?

?

?

?

1 1 1 1 当 t ? ? 或 t ? 时, Cn ? Bn ;当 t ? ? 或 t ? 时, Cn ? Bn ; 4 2 4 2 1 1 当 ? ? t ? 时, Cn ? Bn .??????????????????????????9 分 4 2
(2)由 Sn?1 ? Sn ? Sn?1 ? 3n2 ? 2(n ≥ 2, n ? N* ) 知 Sn?2 ? Sn?1 ? Sn ? 3? n ? 1? ? 2(n ? N* ) ,
2

两式作差,得 an? 2 ? an?1 ? an ? 6n ? 3(n ≥ 2, n ? N* ) ,????????????????10 分 所以 an?3 ? an?2 ? an?1 ? 6 ? n ? 1? ? 3(n ? N* ) ,作差得 an?3 ? an ? 6(n ≥ 2, n ? N* ) , ?????11 分 所以,当 n ? 1 时, an ? a1 ? x ;
·49·

当 n ? 3k ? 1 时, an ? a3k ?1 ? a2 ? ? k ? 1? ? 6 ? 3x ? 6k ? 6 ? 2n ? 3x ? 4 ; 当 n ? 3k 时, an ? a3k ? a3 ? ? k ? 1? ? 6 ? 14 ? 9x ? 6k ? 6 ? 2n ? 9x ? 8 ; 当 n ? 3k ? 1 时, an ? a3k ?1 ? a4 ? ? k ? 1? ? 6 ? 1 ? 6x ? 6k ? 6 ? 2n ? 6x ? 7 ;??????14 分 因为对任意 n ? N* , an ? an?1 恒成立,所以 a1 ? a2 且 a3k ?1 ? a3k ? a3k ?1 ? a3k ? 2 ,
? x ? 3x ?6 k ? 3 x ? 6 ? 6 k ? 9 x ? 8 13 7 ? 13 7 ? ? 所以 ? ,解得, ? x ? ,故实数 x 的取值范围为 ? , ? .?16 分 15 6 ? 15 6 ? ?6 k ? 9 x ? 8 ? 6 k ? 6 x ? 5 ? ?6 k ? 6 x ? 5 ? 6 k ? 3 x

数学Ⅱ部分
21. 【选做题】 A.(选修 4—1:几何证明选讲) 由圆 D 与边 AC 相切于点 E ,得 ?AED ? 90? ,因为 DF ? AF ,得 ?AFD ? 90? , 所以 A, D, F , E 四点共圆,所以 ?DEF ? ?DAF . ??????????????5 分

1 1 1 又 ?ADF ? ?ABD ? ?BAD ? (?ABC ? ?BAC ) ? (180? ? ?C ) ? 90? ? ?C , 2 2 2
1 所以 ?DEF ? ?DAF ? 90? ? ?ADF ? ?C ,由 ?C ? 50? ,得 ?DEF ? 25? .?????10 分 2 B. (选修 4-2:矩阵与变换)
设曲线 C :x 2 + y 2 = 1上任意一点 P ( x, y ) ,在矩阵 M 所对应的变换作用下得到点 P 1 ( x1 , y1 ) ,

?ax ? x1 ? a 0? ? x ? ? x1 ? 则? . ??????????????????????5 分 ? ? ? ,即 ? ? ? ? ? 0 b ? ? y ? ? y1 ? ?by ? y1
x12 x2 ax 2 2 ? ? y12 ? 1 ,则 ? by 2 ? 1 为曲线 C 的方程. 又点 P 1 ( x1 , y1 ) 在曲线 C : ? y ? 1 上,所以 4 4 4
又曲线 C 的方程为 x 2 + y 2 = 1 ,故 a 2 = 4 , b 2 = 1 ,

b > 0 ,所以 a + b = 3 . ??????????????????????10 分 因为 a > 0 ,
C. (选修 4-4:坐标系与参数方程) 因为圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos? ? 2 sin ? ,所以 ? 2 ? 2? cos? ? 2? sin ? , 所以圆 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 0 ,圆心为 ? ?

? 2 2? ? ,半径为 1,?4 分 ,? ? 2 2 ? ?

·50·

? ?x ? ? l 因为直线 的参数方程为 ? ?y ? ? ?

2 t, 2 ( t 为参数) , 2 t?4 2 2

? 2t 2t ? 所以直线 l 上的点 P ? ? 2 , 2 ?4 2? ? 向圆 C 引切线长是 ? ?
? 2t 2 ? ? 2t 2? PC 2 ? R 2 ? ? ? ? ? 4 2 ? ? ? ? ?1 ? ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? 2 ?
2 2

?t ? 4?

2

? 24 ≥ 2 6 ,

所以直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 2 6 . ??????????????10 分 D. (选修 4-5:不等式选讲)
2

b, c 均为正数,由均值不等式得 a 2 ? b2 ? c2 ≥ 3(abc) 3 ,?????????2 分 证法一:因为 a ,
因为
1 2 ? ? 1 1 1 1 1 1 ? ? ≥ 3(abc) 3 ,所以 ( ? ? )2 ≥ 9( abc) 3 .?????????????5 分 a b c a b c 2 2 ? 1 1 1 故 a 2 ? b 2 ? c 2 ? ( ? ? )2 ≥ 3(abc) 3 ? 9(abc) 3 . a b c

又 3 (abc) 3 ? 9(abc) 3 ≥ 2 27 ? 6 3 ,所以原不等式成立.?????????????10 分

2

?

2

b, c 均为正数,由基本不等式得 a2 +b2 ≥ 2ab , b2 +c2 ≥ 2bc , c2 +a2 ≥ 2ca . 证法二:因为 a ,
所以 a2 +b2 + c2 ≥ ab ? bc ? ca .??????????????????????????2 分 1 1 1 1 1 1 同理 2 + 2 + 2 ≥ ? ? ,?????????????????????????5 分 a b c ab bc ca 1 1 1 3 3 3 所以 a2 +b2 + c2 ? ( + + )2 ≥ ab ? bc ? ca ? ? ? ≥6 3 . a b c ab bc ca 所以原不等式成立.??????????????????????????????10 分 3 C4 1 ? . 22. (1)设该单位购买的 3 辆汽车均为 B 种排量汽车为事件 M ,则 P ( M ) ? 3 C12 55 所以该单位购买的 3 辆汽车均为 B 种排量汽车的概率为 (2)随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3. 则 P( X ? 1) ?
3 3 3 1 1 1 C5 ? C4 ? C3 C5 C 4 C3 3 3 P ( X ? 3) ? ? , ? , 3 3 C12 11 C12 44

1 . ????????????4 分 55

P( X ? 2) ? 1 ? P( X ? 1) ? P( X ? 3) ?

29 . 44
1 2 3

X

·51·

所以 X 的分布列为

P

3 44

29 44

3 11

???????????8 分 3 29 3 97 数学期望 E( X ) ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? .??????????????????10 分 44 44 11 44 ??? ? ??? ? ??? ? 23.(1)设 P( x, y ) ,则 AP ? ( x ? 1, y) , FP ? ( x ? 1, y) , AF ? (2,0) ,

??? ? ??? ? ??? ? 由 AP ? AF ? 2 | FP | ,得 2( x ? 1) ? 2 ( x ? 1)2 ? y2 ,化简得 y 2 ? 4 x .
故动点 P 的轨迹 C 的方程 y 2 ? 4 x . ??????????????????????5 分

(2)直线 l 方程为 y ? 2( x ? 1) ,设 Q( x0 , y0 ) , M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) . 过点 M 的切线方程设为 x ? x1 ? m( y ? y1 ) ,代入 y 2 ? 4 x ,得 y 2 ? 4my ? 4my1 ? y12 ? 0 , y 由 ? ? 16m2 ? 16my1 ? 4 y12 ? 0 ,得 m ? 1 ,所以过点 M 的切线方程为 y1 y ? 2( x ? x1 ) ,??7 分 2 同理过点 N 的切线方程为 y2 y ? 2( x ? x2 ) .所以直线 MN 的方程为 y0 y ? 2( x0 ? x) ,???9 分 2 又 MN // l ,所以 ? 2 ,得 y0 ? 1 ,而 y0 ? 2( x0 ? 1) , y0

1 故点 Q 的坐标为 (? ,1) . ??????????????????????????10 分 2

·52·


赞助商链接
相关文章:
2014江苏数学一模南京盐城_无锡_南通_苏北四市
2014江苏数学一模南京盐城_无锡_南通_苏北四市_数学_高中教育_教育专区。南京市 2014 届高三第一次模拟考试 数学一、填空题 1.已知集合 A ? {?3, ?1,1, ...
【2014南京盐城一模】江苏省南京市、盐城市2014届高三...
2014南京盐城一模江苏省南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试数学试题 Word版含答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2014南京盐城一模,江苏省南京市,盐城...
2017年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷
2017年江苏省南京市盐城市高考数学一模试卷 - 2017 年江苏省南京市盐城市高考数学一模试卷 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需...
南京市、盐城市2016届高三一模数学
南京市盐城市2016届高三一模数学_高三数学_数学_高中教育_教育专区。南京市、...2013年江苏省南京市、盐... 17页 免费 江苏省南京市盐城市20... 16页...
2018年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷
2018年江苏省盐城市南京市高考数学一模试卷 - 2018 年江苏省盐城市南京市高考数学一模试卷 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需...
2013年江苏省南京市盐城市高考数学一模试卷
2013年江苏省南京市盐城市高考数学一模试卷_学科竞赛_高中教育_教育专区。2013 年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题:本大题共 14...
江苏省南京市、盐城市2013届高三数学一模试题(含解析)...
江苏省南京市盐城市2013届高三数学一模试题(含解析)苏教版_数学_高中教育_教育...2014全国高考状元联手分享状元笔记 衡水中学文科学霸高中数学笔记 清华附中文科学霸...
1江苏省南京盐城市2014届高三年级第一次模拟考试数学20...
1江苏省南京盐城市2014届高三年级第一次模拟考试数学2014.1.13_高三数学_数学_高中教育_教育专区。江苏省各市一模试卷 南京市 2014 年高三一模试题 江苏省南京盐城...
2017年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷[1]
2017年江苏省南京市盐城市高考数学一模试卷[1] - 2017 年江苏省南京市盐城市高考数学一模试卷 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分....
江苏省南京盐城市2014届高三年级第一次模拟考试数学wor...
江苏省南京盐城市2014届高三年级第一次模拟考试数学word版 含答案_数学_高中教育_教育专区。江苏省南京盐城市 2014 届高三年级第一次模拟考试数学试题 (总分 160 ...
更多相关标签: