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【步步高】2016高考数学大一轮复习 1.2命题及其关系、充分条件与必要条件试题 理 苏教版


第2讲
一、填空题

命题及其关系、充要条件

1. 在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 x+(m+1)y=2-m 与直线 mx+2y=-8 互相垂直的充要 条件是 m=________. 2 解析 x+(m+1)y=2-m 与 mx+2y=-8 垂直?1·m+(m+1)·2=0?m=- . 3 2 答案 - 3 2.对于定义在 R 上的函数 f(x),给出三个命题: ①若 f(-2)=f(2),则 f(x)为偶函数;②若 f(-2)≠f(2),则 f(x)不是偶函数;③若

f(-2)=f(2),则 f(x)一定不是奇函数.其中正确命题的序号为________.
解析 ①设 f(x)=x(x -4),则 f(-2)=f(2),但 f(x)是奇函数;②正确;③设 f(x) =0(x∈R),则 f(-2)=f(2)=0,f(x)是奇函数.所以②正确. 答案 ② 3.下列命题是假命题的是________(填序号). ①命题“若 x≠1,则 x -3x+2≠0”的逆否命题是“若 x -3x+2=0,则 x=1”; π 2 ②若 0<x< ,且 xsin x<1,则 xsin x<1; 2 ③互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是两条互相平行的直线; ④“x>2”是“ 3
2 2 2

x+1

-1≤0”的充分不必要条件.

π 2 解析 ①正确;②由 0<x< ,得 0<sin x<1,又 xsin x<1,则 xsin x<sin x<1,②正确; 2 ③射影可能是点,③不正确;④由 答案 ③ 4. “a=3”是“直线 ax+3y=0 与直线 2x+2y=3 平行”的________条件. 解析 本题考查了充分、 必要条件的判断及两直线平行的充要条件. 解决本题的关键是 3

x+1

-1≤0,得 x<-1 或 x≥2,所以④正确.

a 3 牢记两直线平行的充要条件. 直线 ax+3y=0 与直线 2x+2y=3 平行的充要条件是 = 2 2
0 ≠ ,解得 a=3. 3 答案 充要条件 5.有下面四个判断: ①命题“设 a、b∈R,若 a+b≠6,则 a≠3 或 b≠3”是一个假命题; ②若“p 或 q”为真命题,则 p、q 均为真命题;
1

③命题“? a、b∈R,a +b ≥2(a-b-1)”的否定是“? a、b∈R,a +b ≤2(a-b- 1)”; ④若函数 f(x)=ln?a+

2

2

2

2

? ?

2 ? 的图象关于原点对称,则 a=3. x+1? ?

其中正确的有________个. 解析 对于①:此命题的逆否命题为“设 a、b∈R,若 a=3 且 b=3,则 a+b=6”, 此命题为真命题,所以原命题也是真命题,①错误;“p 或 q”为真,则 p、q 至少有一 个为真命题,②错误;“? a、b∈R,a +b ≥2(a-b-1)”的否定是“? a、b∈R,a
2 2 2 2

+b <2(a-b-1)”,③错误;对于④:若 f(x)的图象关于原点对称,则 f(x)为奇函数, 则 f(0)=ln(a+2)=0,解得 a=-1,④错误. 答案 0 6.给出下列命题:

p:函数 f(x)=sin4x-cos4x 的最小正周期是 π ; q:? x∈R,使得 log2(x+1)<0; r:已知向量 a=(λ ,1),b=(-1,λ 2),c=(-1,1),则(a+b)∥c 的充要条件是
λ =-1. 其中所有的真命题是________. 解析
2

本题考查简易逻辑中的相关知识.对于 p : f(x) = sin x - cos x = (sin x +
2 2

4

4

2

cos x)·(sin x-cos x)=-cos 2x,最小正周期 T=π ,故 p 为真命题;对于 q:因为 log2(x+1)的范围是 R,所以? x∈R,使得 log2(x+1)<0,故 q 为真命题;对于 r:由 (a+b)∥c 得 λ -1+λ +1=0,∴λ =0 或 λ =-1,故 r 为假命题. 答案 p、q 7.下列命题中,①△ABC 的三边分别为 a,b,c,则该三角形是等边三角形的充要条件为
2

a2+b2+c2=ab+ac+bc;②数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 Sn=An2+Bn 是数列{an}为等差
数列的必要不充分条件;③A=B 是 sin A=sin B 的充分不必要条件;④已知 a1,b1,c1,

a2,b2,c2 都是不等于零的实数,关于 x 的不等式 a1x2+b1x+c1>0 和 a2x2+b2x+c2>0 的解
集分别为 P、Q,则 = = 是 P=Q 的充分必要条件. 其中正确的命题是________. 解析 △ABC 中,由 a +b +c =ab+ac+bc,得(a-b) +(a-c) +(b-c) =0,则 a =b=c; 若△ABC 是等边三角形, 则 a=b=c, 故 ab+ac+bc=a +b +c , 故①正确. Sn =An +Bn 是数列{an}为等差数列的充要条件,故②错.显然③正确.对于④,由于两 不等式的系数不确定,由 = = 不能推出 P=Q;反之 P=Q 时,若 P=Q=?,则不一
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

a1 b1 c1 a2 b2 c2

a1 b1 c1 a2 b2 c2

2

定有 = = ,故 = = 是 P=Q 的既不充分也不必要条件. 答案 ①③ 8.关于 x 的方程 x -(2a-1)x+a -2=0 至少有一个非负实根的充要条件的 a 的取值范围 是________. 解析 设方程的两根分别为 x1,x2,当有一个非负实根时,x1x2=a -2≤0,即- 2≤a Δ =(2a-1) -4(a -2)≥0, ? ? ? 1 ? ≤ 2; 当有两个非负实根时, ??a>2, ?x1+x2=2a-1>0, ? ?x1x2=a2-2≥0 ?
2 2 2 2 2

a1 b1 c1 a2 b2 c2

a1 b1 c1 a2 b2 c2

4a≤9,

?a≤-

2或a≥ 2.

9 9 即 2≤a≤ .综上,得- 2≤a≤ . 4 4 9? ? 答案 ?- 2, ? 4? ? 9.若三条抛物线 y=x +4ax-4a+3,y=x +(a-1)x+a ,y=x +2ax-2a 中至少有一条 与 x 轴有公共点,则 a 的取值范围是________________. 解析 假设这三条抛物线与 x 轴均无公共点,则 Δ 1=(4a) -4(-4a+3)<0, ? ? 3 2 2 解得- <a<-1. ?Δ 2=(a-1) -4a <0, 2 ? ?Δ 3=4a2-4(-2a)<0,
2 2 2 2 2

? 3 ? 记 A=?- ,-1?,则所求 a 的范围是 ? 2 ?
3? ? ?RA=?-∞,- ?∪[-1,+∞). 2? ? 3? ? 答案 ?-∞,- ?∪[-1,+∞) 2? ? 10.使得关于 x 的方程 ax +2x+1=0 至少有一个负实根的充要条件的 a 的取值范围是 ________. 解析 当 a=0 时,原方程变形为一元一次方程 2x+1=0,有一个负实根,当 a≠0 时, 原方程为一元二次方程,有实根的充要条件是Δ =4-4a≥0,即 a≤1, 2 1 设两根分别为 x1,x2,则 x1+x2=- ,x1x2= ,
2

a

a

a≤1, ? ? 当有一负实根时,?1 ?a<0, <0 ? ?a

3

? ?-2<0,?0<a≤1.综上所述,a≤1. 有两个负实根时,? a 1 ? ?a>0
a≤1,
答案 (-∞,1] 二、解答题 11.(1)是否存在实数 p,使“4x+p<0”是“x -x-2>0”的充分条件?如果存在,求出 p 的取值范围; (2)是否存在实数 p,使“4x+p<0”是“x -x-2>0”的必要条件?如果存在,求出 p 的取值范围. 解:(1)当 x>2 或 x<-1 时,x -x-2>0, 由 4x+p<0 得 x<- ,故- ≤-1 时, 4 4 “x<- ”? “x<-1”? “x -x-2>0”. 4 ∴p≥4 时,“4x+p<0”是“x -x-2>0”的充分条件. (2)若“4x+p<0”是“x -x-2>0”的必要条件, 则 x -x-2>0 的解集是 4x+p<0 的解 集的子集,由题知不存在.故不存在实数 p,使“4x+p<0”是“x -x-2>0”的必要条 件. 12.已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R.若 a+b≥0,则 f(a)+f(b)≥f(-
2 2 2 2 2 2 2

p

p

p

2

a)+f(-b).
问:这个命题的逆命题是否成立,并给出证明. 解 逆命题为“已知函数 f(x)是(-∞, +∞)上的增函数, a, b∈R, 若 f(a)+f(b)≥f(-

a)+f(-b),则 a+b≥0”.
该命题是真命题,证明如下: 法一 (利用原命题的逆命题与否命题等价证明): 若 a+b<0,则 a<-b,b<-a, 因为 f(x)是(-∞,+∞)上的增函数, 所以 f(a)<f(-b),f(b)<f(-a), 因此 f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b), 因为原命题的逆命题与它的否命题等价,所以该命题正确. 法二 (用反证法给出证明): 假设 a+b<0,则 a<-b,b<-a, 因为 f(x)在(-∞,+∞)上的增函数,

4

所以 f(a)<f(-b),f(b)<f(-a), 因此 f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b), 这与 f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)矛盾,该命题正确. 13.已知 p:|x-3|≤2,q:(x-m+1)(x-m-1)≤0,若綈 p 是綈 q 的充分而不必要条件, 求实数 m 的取值范围. 解 由题意 p:-2≤x-3≤2,∴1≤x≤5. ∴綈 p:x<1 或 x>5. q:m-1≤x≤m+1,∴綈 q:x<m-1 或 x>m+1. 又∵綈 p 是綈 q 的充分而不必要条件, ?m-1≥1, ? ∴? ∴2≤m≤4. ?m+1≤5. ? 14.已知全集 U=R,非空集合 A=?x?
? ? ? ?

x-2 ? ?x-?3a+1?

<0?,B=?x?
? ? ? ?

? ?

? ?

?x-a -2 ? x-a

2

<0?.
? ?

? ?

1 (1)当 a= 时,求(?UB)∩A; 2 (2)命题 p:x∈A,命题 q:x∈B,若 q 是 p 的必要条件,求实数 a 的取值范围. 解 1 (1)当 a= 时, 2
? ? ? 5 =?x?2<x< 2 ? ? ? ? ? ?, ? ?

? ?x-2 ? A=?x? 5 ?x- ? ? ? 2
9 ? ? ?x-4 B=?x? 1 x- ? ?? 2
? ? ? 1 ∴?UB=?x?x≤ 2 ? ? ?

<0

<0

? ? ?1 9 =?x? <x< 2 4 ? ? ?

? ? ?, ? ?

? 9? 或x≥ ?. 4? ? ? ? ?. ? ?
2

? ? ?9 5 ∴(?UB)∩A=?x? ≤x< 4 2 ? ? ?
2

(2)∵a +2>a,∴B={x|a<x<a +2}. 1 ①当 3a+1>2,即 a> 时,A={x|2<x<3a+1}. 3 ∵p 是 q 的充分条件,∴A? B.
?a≤2 ? ∴? 2 ?3a+1≤a +2 ?

1 3- 5 ,即 <a≤ . 3 2

1 ②当 3a+1=2,即 a= 时,A=?,不符合题意; 3

5

1 ③当 3a+1<2,即 a< 时,A={x|3a+1<x<2}, 3 由 A? B 得?
? ?a≤3a+1 ?a +2≥2 ?
2

1 1 ,∴- ≤a< . 2 3

? 1 1? ?1 3- 5? 综上所述:a∈?- , ?∪? , ? ? 2 3? ?3 2 ?

6


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