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梁的平面弯曲[1]


第十章

梁的平面弯曲

10.1 基本概念 10.2 利用平衡微分方程作梁的内力图 10.3 平面弯曲梁的正应力 10.4 梁的变形

1

回顾

承受弯曲作用的杆,称为梁。

杆件:某一方向尺寸远大于其它方向尺寸的构件。 直杆:杆件的轴线为直线。 杆的可能变形为:

轴向拉压





弯 曲

轴向拉压—内力为轴力。如拉、撑、活塞杆、钢缆、柱。 扭转 —内力为扭矩。如各种传动轴等。 (轴) 弯曲 —内力为弯矩。如桥梁、房梁、地板等。(梁)
2

10.1 基本概念
1、梁的分类
F
q

2、平面弯曲
简支梁 悬臂梁 梁的横截面

M

都有对称轴 外伸梁
纵向对称面

集中力,集中力偶,分布载荷

平面问题,梁受 三个约束,都是 静定梁。

梁有纵向对称面,且载荷均作用在 纵向对称面内,变形后梁的轴线仍 在该平面内,称为平面弯曲。 3

3、纯弯曲

F
a FQ F M FQ=0 M=Fa

F
a

M0

FQ
M

FQ=0 M=M0

纯弯曲: 梁横截面上的内力只有弯矩。
横力弯曲: 若梁的横截面上既有弯矩,又有剪力。
4

10.2 利用平衡微分关系作梁的内力图
y

作梁的内力图的 一般步骤
求约 束反 力 静力 平衡 方程

F FAy 3F
A

FB 45?

F
B

M

0

a

FAx a

x

FN

0

a

x FQ

截取 研究 对象
载荷 突变 处分 段。

受 力 图

列平 衡方 程 矩心 取截 面形 心。

求解 内力 内 力 方 程

画内 力图 图形 应封 闭。
5

内力 按正 向假 设。

内力的符号规定 内力 右截面正向 左截面正向 FQ M 微段变形(正)
顺时针错动 向上凹

6

10.2.1梁的平衡微分方程
考察承受分布载荷、长dx 的 微梁段的受力与平衡。 假定q(x)向上为正,截面 内力FQ、M均按正向假设。 在x+dx截面上,FQ、M均 有相应的增量。
y
A

q(x)

F
dx
B

x

x

q(x)
M
c

M+dM
dx

FQ

FQ+dFQ

平衡方程:SFy=FQ+q(x)dx-(FQ+dFQ)=0 SMC(F)=M+dM-M-FQdx-q(x)dx2/2=0
7

平衡方程:SFy=FQ+q(x)dx-(FQ+dFQ)=0 SMC(F)=M+dM-M-FQdx-q(x)dx2/2=0 整理并略去二阶小量,得到:

q(x)dx=dFQ(x)
dM(x)=FQ(x)dx

dFQ(x)/dx=q(x) dM(x)/dx=FQ(x)

梁的平衡微分方程: d M ( x) dQ( x) = = q ( x) dx2 dx
8

2

讨论:q –FQ-M关系:
平衡微 分方程

FAy
A

q
B 4m

M0

F

FE
x

dFQ d M =q 2 = dx dx

2

C D E 2m 2m 4m

FQ/kN
49 + 13 -

结论一、 剪力沿坐标x的变 化率等于分布载荷集度, 即FQ图中曲线上某点的斜 率等于梁上对应截面处的 载荷集度q。q=0,FQ图为 水平线。

x

M/kN?m
124

32
150 + 128

A

B

C

D

E x

结论二、弯矩M延坐标x的变化率等于剪力FQ,即 M图曲线某点的斜率等于对应截面上的剪力。
9

dFQ d 2M =q 2 = dx dx 若梁段AB只有q作用的,则
FQB - FQA = ?A q(x)dx
B

平衡微 分方程

FAy
A

q
B 4m

M0

F

FE
x

C D E 2m 2m 4m

FQ/kN
49 + 13 -

MB - MA=?AFQ (x)dx

B

x

结论三、 二截面间剪力 的增量等于该段梁上分布 载荷图形的面积。

M/kN?m
124

32 150 + 128

A

B

C

D

E x

结论四、 二截面间的弯矩增量等于 该段梁上剪力图的面积。

MA FQA

q(x)
MB
c
10 FQB

由此,可给出梁剪力、弯矩图的简捷画法。
q FQ图 q=0 q=const.>0 q=const.<0 FQ>0 FQ<0 FQ等于分布载荷 左边图形面积 +向上的集中力

FQ>0 FQ<0 FQ>0 FQ<0
M图 集中力(偶) FQ图 M图 突变 转折 无变化 突变

M等于FQ图左边 面积+顺时针集 中力偶 11

FQ、M图的简捷:

例1 已知q=9kN/m,F=45kN,M0=48kN?m, 求梁的内力。
FAy q M0
B 4m

F

FAx=0 A

C D 2m 2m

解:1)求约束反力: x E SFx=FAx=0 4m FE SFy=FAy+FE-F-4q=0 MA(F )=12FE+M0-8F-2×4q=0 FAy=49kN;FE=32kN
12

49 1)确定控制点。 约束力、集中力(偶)作用点, 分布载荷起止点。 A、B、C、D、E

q=9
A 4m B

48

45

32
x

C D E 2m 2m 4m

2)计算控制点处FQ、M值。 左边面积+集中载荷 力 、力偶 为正。 3)依据微分关系判定控制点 间各段 FQ、M图的形状, 连接各段曲线。

FQ/kN
49 + 13 32 128 + D E x
13

x

M/kN?m
124

150 102

A

B

C

例10.2 作图示外伸梁的 FQ、M图。
解:1.求支座反力 SMA=2q+6?30-60-4FB=0 FB=35 kN SFy=2q+FA+FB-30=0 FA=-25 kN 2)画FQ、M图 从左起,计算控制点的 FQ、M值。 由微分关系判断线形。

q=10kN.m M=60kN.m 30kN
C FA A D B E

2m 1m 3m
FQ/kN 20

FB

2m
30

o
M/kNm 20

5

x

15

o
45
60
14

x

3)检查图形是否封闭。

10.3 梁的应力与强度
概念回顾: 1.平面弯曲
q F

纵向对称面

梁有纵向对称面,且载荷均作用在纵向 对称面内,变形后梁的轴线仍在该平面 内,称为平面弯曲。
15

概念回顾:
2.纯弯曲

F
a FQ F M FQ=0 M=Fa

F
a

M0

FQ
M

FQ=0 M=M0

一般情况 横力弯曲: 若梁的横截面上既有弯矩,又有剪力。 简单特例

纯弯曲: 梁横截面上的内力只有弯矩。
16

梁的应力与强度
讨论平面纯弯曲梁。 横截面上只有弯矩。

M

y M

z

s

x

弯矩分布在横截面上, 只能是正应力。

问题: 平面纯弯曲梁横截面上的正应力?

思路: 仍延研究变形体力学问题的主线。
变形的几何协调 (几何分析) 力与变形之关系 (物理关系) 力的平衡 (已熟悉)
17

10.3.1 弯曲变形几何分析
M

讨论矩形截面纯弯曲梁。 1. 弯曲变形实验现象
AA、BB仍保持直线,但相对 地转过一角度d?。 aa 缩短,bb伸长,变为弧形, 但仍与AA、BB线正交。
M

A

B

M

a
b A

a
b B

d?
A a b A B a b B

M

2. 弯曲的基本假设—平面假设

变形后

梁的横截面在弯曲变形后仍保持为平面,且仍与 梁的轴线垂直。
18

2. 弯曲的基本假设—平面假设 梁的横截面在弯曲变形后仍保持 为平面,且仍与梁的轴线垂直。

M

A

B

M

a
b A

a
b B

3. 推论:

有中性层存在

M
A a b A

d?
B a b B

M

若梁由纵向纤维组成,则其变形 是伸长或缩短。 凹部纤维aa 缩短,凸部bb纤维伸 长,总有一层纤维既不伸长又不 缩短,此层称为中性层。 中性层与横截面的交线称为中性 轴。

变形后
中性轴

中性层(面)
19

4. 变形几何关系
考虑梁AA-BB间的微段,oo 在中性层上,r为中性层的 曲率半径。截面坐标如图。
d? M
A B a o B

r

M

y

a o A

距中性层为y的纵向纤维aa: 变形前: aa = oo

变形后: aa = (r - y )d? Dl aa - aa (r - y) d? - r d? = =应变: e = =
l

y
y
a z o

aa

r d?

r

横截面上任一点处线应变e的大小与该点到 中心层的距离y成正比。 e = - y /r 20

10.3.2 材料的物理关系
基于: 问题:

y

r =?

smax压
中性轴

? 纵向纤维受单向拉压; 中心轴位置 ? ? 材料拉压弹性常数相等。则

x

线弹性应力-应变关系: s=Ee=-Ey/r Hook 定理

M

z

smax拉

横截面上各点的正应力s 的大小与该点到中性 轴的距离y成正比。
中性轴以上,y>0, s为负,是压应力,纤维缩短。 中性轴以下,y<0, s为正,是拉应力,纤维伸长。 到中性轴距离相同各处,y=const. ,应力相等。 中性轴上,s=0,截面上、下缘, s =s max 。 21

10.3.3 静力平衡条件
微段平衡:截面弯矩 M ?=M, M ?分布在截面上,截面内力 与M构成xy 面内的平衡力系。

y

dA y

中性轴 x

?Fx=0,即 : ?As dA=- r ? ydA = 0;M
E
A

z

E、r均不为零,后一积分是截面对z轴的静矩S z, S z=0, 表示中性轴z过截面形心(垂直于y)。

? M Z=0, - ysdA - M = 0;即: E ?A y 2dA = M ? r
A

令: I z = ? y 2 dA 则有:1/r=M/EIz Iz 为截面对z 轴的惯性矩,取决于截面几何。
A
22

= ? y 2 dA 截面对z 轴的惯性矩 I z的计算: I z
A

矩形截面: 取微面积如图 dA=bdy

y

hb I z = ? y dA = ? y bdy = 12 -h/2 A
2 2

h/2

3

dy y
z o b
y dA z
z y r

h

圆形截面:取微面积如图。 I r = ? r 2dA =? ( y 2 + z 2 ) dA= I z + I y
A A

由对称 性知:

I y = Iz = Ir / 2 =

pd

4

d

o
23

64

分析结果汇总:
变形几何关系: e=-y/r 物理关系: s=Ee=-y/r 静力平衡条件: ?A ydA=0 中性轴z过截面形心
1/r=M/EIz 梁的曲率
M

y

smax压

x

smax拉

Iz--截面对z轴的惯性矩。

EI--截面抗弯刚度。
s =s max 。
24

结论: s=-My/Iz
中性轴上,s=0,截面上、下缘,

10.3.4 平面弯曲的最大正应力及强度条件
y

My 弯曲正应力公式: s = Iz
按绝对值计算应力s 的大小,依 据弯曲后的拉压情况判断正负。
M

smax压 M?
x

smax拉

适用范围:
横截面有对称轴的平面弯曲。 纯弯曲 横力弯曲 载荷作用在纵向对称面内; 平面弯曲的条件 梁的高跨比 h/L< 0.25; 变形平面假设的条件 25

最大弯曲正应力:
y=ymax 时,s=s max ,故

y

smax压 M?
x

Mymax M s max = = Iz Wz

M

smax拉

Wz=I z /y max,是抗弯截面模量。(如表10-1或手册)

梁的弯曲强度条件:
M s max = ? [s ] Wz
作用 抗力

若材料拉压性能不同,则

s max拉 ? [s 拉 ] s max压 ? [s 压 ]
处处均应满足强度条件。 26

例10.3 空心矩形截面梁的横截面尺寸H=120mm, B=60mm,h=80mm,b=30mm,若[s]=120MPa, 试校核梁的强度。 q=20kN/m 解:1)作Q、M图。 z h H O 固定端弯矩最大, A L=1.2m M max=qL 2/2=14.4 kN.m b

2) 抗弯截面模量W? z 查表9-1有: Wz =H2[B-b(h/H)3]/6 =1.227 10 -4 m 3 3)强度校核:

B

x FQ图 qL x M图 qL2/2

Mmax 14.4 ?10 3 s max = = - 4 = 117MPa<[s]=120Mpa 强度足够。 27 Wz 1.227?10

例10.4 矩形截面木梁的横截面高宽比h/b=3/2,已知 F=15kN,a=0.8m,[s]=10MPa。设计截面尺寸。? 解:1. 求支反力: F A =FB=3F 2. 作FQ、M图。 M max =Fa=12 kN.m
a a a a a F 2F 2F F

FA 2F
F Fa Fa

a FB
F

x

3. 注意h/b=3/2,则: W z=bh 2 /6=3b 3/8
4. 强度条件: 3 ?10 3 3b ? Mmax =12 Wz = ? 8 [s ] 10?10 6 解得:b?0.147m?150mm

FQ
Fa

x
2F

M

x Fa
28

讨论一: M max =Fa=12 kN.m,[s]=10MPa,
试设计木梁不同截面的尺寸。 截面设计应尽可能使 h h/b=3/2 h/b=1 b 材料远离中性轴。 b Wz =bh 2 /6=3b 3 /8
b

h/b=2/3 h

M

O

b

s max b

Wz=b3/6 强度条件:
b3 ? M max [s ] ?6

W z=2b 3 /27
强度条件:
2b 3 M max ? [s ] ?27

强度条件:
3 b 3 M max ? ? 8 [s ]

b=147 h=220.5mm

b==h=193mm

b=253 h=169mm 42757 mm2 115%
29

面积 32413 mm2 重量: 87%

37249 mm2 100%

讨论二:铸铁T形截面梁如图, 若[s]压/[s]拉=2,
试求其所能承受的最大正负弯矩之比。

中性轴在哪?
解:1) 求形心位置 压 8a 2y c =2a 4a 2-0.5a 拉 2 4a

y

y c =3a/4

4a a

z?

yc o C a 4a

z

2) M>0时: 截面应力分布?

smax拉=3.25aM/Iz smax压=1.75aM/Iz
强度条件: M+?[s]拉Iz/3.25a=4[s]拉Iz/13a

s max 压
C

y

1.75a M 3.25a
30

s max 拉

对于拉压力学性能(许用应力)不同的材料,应 讨论二:铸铁T形截面梁有 [s]压/[s]拉=2,试求其
注意按使用要求设计截面。 所能承受的最大正负弯矩之比。 M>0时,强度条件: M+?[s]拉Iz/3.25a=4[s]拉Iz/13a M<0时: 截面应力分布? smax拉=1.75aM/Iz smax压=3.25aM/Iz 强度条件:
1.75a

y

4a

a

z
3.25a

C

4a

y

s max 拉
C

a

M-?[s]

压Iz/3.25a=8[s]拉Iz/13a

M-?[s]拉Iz/1.75a=4[s]拉Iz/7a

M

s max 压

M+ 7 = M 13
31

10.3.5 矩形截面梁的弯曲剪应力
纯弯曲 横力弯曲 分 析

内力:弯矩 M
M ; 剪力 FQ

横截面上:正应力 s s : 剪应力 t
y

?

截面上t与FQ平行,指向相同。 h>b时,截面上y相同处t相同。 y= ±h/2处,t=0。

A1
z

h

取图示部分研究其在x方向的平衡:
My MS z F1 = ? sdA = ? dA = A1 A1 I Iz z
F2

FQ t
b

F3 t dx

s b F1 32

S z是面积A 1 对中性轴z的静矩。

研究x方向的平衡:
My MS z F1 = ? s dA = ? dA = A1 I z A1 Iz

F2

F3 dx

s t b F1

( M - dM ) y ( M - dM ) S z F2 = ? s dA = ? dA = A1 A1 Iz Iz

F3 = t bdx

有:SFx=F1-F2+F3=0 对于矩形截面,有:
Sz =? ydA =?
A1
h/ 2 y

Sz dM FQS z t= = ? Sz=? Iz b dx Iz b
A1 得到:

y b h2 by dy = ( - y 2 ) FQ S z h2 h 2 z t= ( -y ) 2 4 2Iz b 4
33

结论

y

中性轴处, y=0,Iz=bh /12, 截面上t与Q平行,指向相同。 横力弯曲梁中有剪应力。 故有: h 2 z 3FQ 截面上t与FQ平行,指向相同。 FQ t t± = FQ = = 1.5t m max y= h/2处,t=0。 h I z 2bh 8 h>b时,截面上y相同处t相同。 b 剪应力强度条件: t max ? [t ] y= ±h/2处,t=0。 纵向面上的剪应力t?由剪应力互等定理确定。

t max

矩形截面梁的弯曲剪应力为: t是y的函数,呈抛物线分布, FQSz h 2 t= ( -y ) 最大剪应力在中性轴处且等 2Iz 4
2

于平均剪应力的1.5倍。

34

讨论三、矩形截面梁AB受力如图。 [s]=150MPa,
[t]=60MPa, 若取h/b=2,试设计其尺寸。 解:1.求反力,作FQ、M图。
2. 按弯曲正 s = M max ? [s ] 应力设计: max bh 2/ 6
4b 3 6 ?103 ? 6 150?106
4kN.m 10kN
A

MB B

1m FQ

1m FB

b ? 0.182 m

2. 按弯曲剪 3FQmax t max= ? [t ] 应力设计: 2 bh
3 ?10?103 b2 ? 4 ? 60?106

x M 4kN.m

10kN
x 6kN.m
35

b ? 0.035 m

一般按正应力设计,再校核剪切强度。

小结:
1. 梁横截面上的正应力s呈线性 分布,其大小为 s =My/Iz 正负由弯曲后的拉压情况判断。
z

y s max压 = 3Q t max y

2bh

M
h C

FQ t
b

s max拉

2. 中性轴过截面形心,该处正应力s 等于零。 3. 梁的弯曲强度条件:
s max
Mymax M = = ? [s ] Iz Wz

I z为截面对z 轴的惯性矩,W z为抗弯截面模量。

4. 矩形截面梁的弯曲剪应力呈抛物线分布,最大剪 应力在中性轴处且等于平均剪应力的1.5倍。
36

10.4 梁的变形
杆的拉压
轴的扭转 伸长或缩短 DL 单位扭转角 q y
o

y 为正 梁的弯曲变形 q 截面 正 如何描述
挠度 q


转角

10.4.1 挠度和转角
梁在xy平面内弯曲。 挠曲线:弯曲后梁的轴线。

c

c? q x

x
挠曲线

挠度y:梁弯曲后各截面形心的垂直位移,y=y(x)。

转角q:各截面转过的角度(角位移),q=q(x)。 即 x处挠曲线的切线与x轴的夹角。

37

10.4.2 挠曲线微分方程
挠曲线方程: y=y(x),微分得 y
o

r

小变形 dy x c? q = tgq ? q x dx x处的截面转角q(x)等于挠曲线在该处的斜率。

c

q

讨论纯弯曲时,给出梁变形后的曲率为: 1 = M r EI
弹性理论精确分析指出,梁的跨高比 L/h>10时, 剪力对弯曲变形的影响可忽略不计。 故上式可应用于横力弯曲的普遍情况。
38

y??(x)应与M(x) 同号, M 梁变形后的曲率为:1 =
r
段,EI z是常量。故有:

EIz

挠曲线近似微分方程为: 对于材料和截面不变的梁

y
o

r

c

q

M ( x) 1 y ( x)==M ( x) EI r ( x) EIz z
''

c? q x

x

+ y? 2) 3 /2 数学分析曾给出: : r ( x) =±( 1 y??

略去二阶小量 y? 2,得到:

y

1 M ( x) y ( x) = =? r ( x) EI z
''

正负?

y(x)向上凹 M>0 y?(x)递增 y??(x)>0
39

x

10.4.3 用积分法求梁的变形
挠曲线近似微分方程为:
M ( x) y ( x) = EI z
''

即:

EI z y ( x) = M ( x)
''

EI是梁的抗弯刚度。对于一段等刚度梁,积分有: 挠曲线微分方程: EI z y '' ( x) = M ( x) 转角方程: 挠度方程:

EI zq = EI z y ' ( x) = ? M ( x)dx + C1
EI z y = ?? M ( x)dxdx + C1 x + C2

已知M(x),积分可求q、y,常数C1、C2如何确定 40 ?

积分常数C 1 、C 2的确定 考 虑
铰链: x=0, y=0 x=L, y=0 静定梁 平面问题

约束边界条件
分段连续条件 固定端 x=L, y=0 x=L, q=0 自由端

yy
AA 固定铰

C 滚动铰 B

C处 :: q1 ? q 2 y C处 L 1 y2
固定端 C B

B

xx

y
A

自由端

无约束

x

L/2

L/2

三个约束 限制移动和转动

Fx=0,二个约 束,限制y和q

确定挠 度转角

梁AC、CB二段M(x)不同,需分1、2二段积分。 分段连续条件为:x=L/2, y 1=y 2; q 1=q 2。

41

汇总 : 用积分法求梁的变形
挠曲线微分方程: EI z y '' ( x) = M ( x) 转角方程:

EI zq = EI z y ( x) = ? M ( x)dx + C1
'

挠度方程:

EI z y = ?? M ( x)dxdx + C1 x + C2

静定梁总有二个变形约束边界条件,确定积 分常数。 M(x)不同时,需分段积分。分段处必须保证 左右挠度、转角连续,可确定增加的常数。 梁的弯曲变形是客观存在的,总有唯一解。 42

例10.5 受均布载荷的悬臂梁如图,试求其挠曲线方 程、转角方程、及自由端B的挠度和转角。 y 解: 1. 求支承反力 q F=qL, M=-qL2/2 M 2. 列弯矩方程: SMC=0 M(x)=qLx-qL2/2-qx2/2
A F x

L

C

B

x

3. 挠曲线微分方程

EI z y?? (x ) = -

1 2 1 + qLx - qx 2 qL 2 2

积 转角方程 EIz y '( x) = - 1 qL2x + 1 qLx2 - 1 qx 3 + C1 6 2 2 分 得 挠度方程 EI y ( x) = - 1 qL2x 2 + 1 qLx 3 - 1 qx 4+ C x+ C z 2 1
4
6 24
43

转角方程 EIz y '( x) = - 1 qL2x + 1 qLx2 - 1 qx 3 + C1 6
2 2

挠度方程

EI z y ( x) = -

1 2 2 1 1 + qLx 3 qL x qx 4+ C1 x+ C2 4 6 24

4. 边界条件(固定端):
x=0处, qA=0, yA=0

y
A

q
L

B x

5 . 代入挠曲线方程和转角方程,求得C1=C2=0。
故 qx 2 qx 2 y( x) = (6L2 - 4Lx+ x2) q ( x) = ( x -3Lx +3L2) 有 24EIz 6EIz

qL 6. B端(x=L)的 : yB = 挠度和转角 8 EIz

4

qL3 ; qB = 6 EIz

44

例10.6 试给出图示简支梁的挠曲线方程和转角方 程,并求确定梁的最大挠度和最大转角。
解:1. 求支反力: y
A

F
x

FA=Fb/L;
2. 列弯矩方程:

FB=Fa/L

c
a b

B

FA
A FA A FA

x FB

AC段: 0 ? x ? a M1(x)=FAx=Fbx/L CB段: a ? x ?L
M2(x)=Fbx/L-F(x-a)

L

M1
x a FQ

F
x

M2
FQ
45

3. 写挠曲线微分方程并积分:

3. 写挠曲线微分方程并积分:
AC段: 0 ? x ? a M1(x)=Fbx/L

EI z y1 = Fbx / L

?

CB段: a ? x ?L M2(x)=Fbx/L-F(x-a)

EI z y2 = Fbx / L - F ( x - a)

?

转 Fbx 2 F ( x - a) 2 Fbx 2 EI zq 2 = + D1 角 EI zq1 = 2 L + C1 2L 2 3 Fbx3 F ( x - a)3 Fbx 挠 + D1 x + D2 EI z y1 = + C1 x + C2 EI z y2 = 度 6L 6 6L 边界条件 x=0, y 1=0 x=L, y 2=0
连续条件: x=a, q 1 =q 2 x=a, y 1=y 2

y
A x a

F c
b
L

B

x
46

4. 确定积分常数:
转 Fbx 2 F ( x - a) 2 Fbx 2 EI zq 2 = + D1 角 EI zq1 = 2 L + C1 2L 2 Fbx3 Fbx3 F ( x - a)3 挠 + D1 x + D2 EI z y1 = + C1 x + C2 EI z y2 = 度 6L 6 6L 边界条件 x=0, y 1 =0 边界条件 x=L, y 2 =0 连续条件 x=a, q 1 =q 2 C 2 =0

D1 L + D2 = Fb(b - L ) / 6
2 2

C 1 =D 1 D 2 =0 C1=D1=Fb(b2-L2)/6
47

连续条件 x=a, y 1 =y 2
最后得到:

C2=D2=0;

5. 求最大转角:
转 角

y
A x a

F c
b

B

x

Fb L q1 = (3x 2 + b 2 - L2 ) 6 LEI z 0? x?a Fb 3L ( x - a ) 2 q2 = [3x 2 + (b 2 - L2 )] a ? x ? L 6 LEI z b
Fb( L2 - b 2 ) Fab( L + b) = x=0处: q A = 6 EIz L 6 EIz L Fb [3L2 - 3Lb - ( L2 - b 2 )] Fab( L + a ) = x=L处: q B = 6 EIz L 6 EIz L

q 取极值的条件是: dq/dx=M(x)/EIz=0,二端M(x)=0

若a>b,则 q max = q B > qA ,B处转角值最大。

48

5. 求最大挠度: (a>b)
转 角

y
A x a

F c
b

B

x

Fb L q1 = (3x 2 + b 2 - L2 ) 6 LEI z 0? x?a Fb 3L ( x - a ) 2 q2 = [3x 2 + (b 2 - L2 )] a ? x ? L 6 LEI z b

x=0处:q A = - Fab( L + b) x=L处: B = Fab( L + a) q 6 EI z L 6 EI z L

何处转角为零


是否在0?x 1 ?a 内?
49

令q 1=0,解得: x1 = ( L2 - b 2 ) / 3

2 2 2 可证 L - b < 3a 令q 2=0,得到的解将不在[a, L]内。

5. 求最大挠度: (a>b)
挠 度

y
A x a

F c
L b

B

x

Fbx y1 = ( x 2 + b 2 - L2 ) 6 LEI z

Fbx ( x - a)3 L y2 = [( x 2 + b 2 - L2 ) ] 6 LEI z bx

0? x?a a?x?L

y取极值的条件是: dy/dx=q=0,此时: x1= ( L2 - b 2 ) / 3 因为 0?x 1 ?a,由y 1给出:

ymax

Fb = 6 LEI z Fb = 18LEI z

L2 - b 2 L2 - b 2 2 2 ( +b - L ) 3 3 2 2 Fb ( L2 - b 2 ) 3 L -b ? 2(b 2 - L2 ) = 9 3LEI z 50 3

汇总:
Fab( L + b) x=0处: qA = 6 EIz L 转 角 Fab ( L + a ) x=L处:q B = 6 EI z L

y
A x a

F c
L b

B

x

讨论:
若a=b=L/2, 则:
FL 2 转角: q B = q A = 16 EI z

挠度最大处: x 1 = ( L2 - b 2 ) / 3
最大挠度值:

y

= max

- b 2 )3 Fb ( L
2

挠度最大处:x1=L/2
最大挠

9 3 LEIz

变形与载荷间是线性关系!

度值:

FL3 y max= 48 EI z
51

问题讨论:
y
A B

问题的边界条件、连续条件 ?
q c x
A C

D

B

a

a

a

边界条件
分几段? 连续条件

A处: yA=0 B处: yB=0

A处: yA=0 B处: yB=0, qB =0 分AC、CD、DB三段。 C处: y 1=y 2 D处:y 2=y 3 q 2=q 3
52

AB、BC二段
B处: y1 =y 2 q 1=q 2

进一步讨论 : 梁的变形、载荷微分关系
积 分 挠度方程: EI z y =

转角方程:
弯矩方程: 剪力方程:

?? M ( x)dxdx + C x + C EI q = EI y ( x) = ? M ( x)dx + C
1

2

'

z

z

1

EI z y ( x) = M ( x) 挠曲线微分方程
''

微 分 载荷方程:

EIy??? = FQ (x) 无为零处,极 '''' EIy = q( x) 值在端点处。

q 为零处, FQ取极值; FQ为零处,M取极值; M为零处, q 取极值; q 为零处, y取极值; 53

再讨论: 线性叠加方法
y 在线弹性小变形条件下, FA s=Ee, A 变形与载荷间有线性关系。

yC F
C

F
D l/4 l/4

FB
B x

l/2
l (a)

图(a)=图(b)+图(c)

y

若要求图(a)中的yC、qB, A 有: yC=yC1+yC2 ; qB=qB1+qB2 y 即可由已知简单情况的解, FA2 A 用叠加方法求复杂载荷情 况下的变形。
FA1

F
l/2 C

FB1
Bx

(b)

yC1 F
D l/4

yC2
(c)

FB2
Bx
54

10.4.4 梁的刚度条件
除保证梁的强度条件外,还可能要求变形不能 超过允许的限度。即需满足梁的刚度条件: ;q y ? [ y] ? [q ]
max

max

[y]、[q]分别为构件的许用挠度和许用转角。 一般主要是控制挠度。

55

例10.14中矩形截面梁h/b=2。若q=10kN/m ,L=3m, E=200GPa,[s]=120MPa,[y]=L/250,试设计截面。 y q 解: 1. 求支承反力 FA=qL=30kN, MA=-qL2/2=45kN.m
MA A FA B x L

2. 按强度条件设计 ---固定端处(A截面)弯矩最大 强度条件: Wz = 得到:

bh 6
3

2 h= 2 b

M max 2b = ? [s ] 3

3

3 ? 45 ?10 b? = 8.25 ?10-2 m = 8.25cm 2 ?120 ?106
3
56

3. 按刚度条件设计 自由端(B处)的挠度最大:

y
A
4

q
B x L

qL yB = 8EI z

4

qL L 刚度条件为: y ? [ y] = max = y B = 8EI z
即:
bh3 b(2b)3 2b 4 250qL3 Iz = = = ? 12 12 3 8E

250

得到: 4 3 ?10 ?103 ? 33 ? 250 b? = 8.92 ?10-2 m = 8.92cm 8 ? 200 ?109 ? 2 有:b=max{ 8.25,8.92 }?9cm, h=18cm。
57

讨论:如何提高梁的强度和刚度
M max 措施: 强度条件: s max = ? [s ] Wz 降低 Mmax M max f ( L,?) ? [ y ] 刚度条件: ymax = 提高Wz、Iz EI z 降低 Mmax:
y L/2
o L

F

y
o L/2

F
L/2

y
o

F
L/3 L/3 L/3

y
o

q=F/L
L

M FL/2

M

FL/4 M

FL/6 M

FL/8

悬臂梁

增加支点

加复梁

载荷均布
58

讨论:如何提高梁的强度和刚度
提高Wz、Iz:

I z = ? y2dA y ,Iz 、Wz
A



截面设计应尽可能使材料远离中性轴z。
空心 截面
工字 钢



槽 钢

拉压性能不同时,截面上下缘 应同时达到许用应力。 EI是抗弯刚度,提高E,当然 可以增加刚度、减少变形。但 钢材E相差不大。

s max 拉
C

s max 压 M
59

小结:
1)平面弯曲:载荷均作用在梁的纵向对称面内, 变形后梁的轴线仍在该平面内。(讨论直梁) 2)梁的内力有剪力、弯矩。作内力图基本方法:

求约 束反 力

截取 研究 对象

受 力 图

列平 衡方 程

内力 方程

画内 力图

必须 掌握

3)梁的平衡微分方程:

d 2 M / dx2 = dFQ / dx = q
正)。
60

FQ等于左边分布载荷图形面积+集中力(

M等于左边Q图面积+集中力偶 (

正)。

4)梁横截面上的正应力s呈线性 分布,其大小为 s =My/Iz 正负由弯曲后的拉压情况判断。

s max压
M

y

C

s max拉

5)中性轴过截面形心,该处正应力s 等于零。
6)梁的弯曲强度条件: s max
Mymax M = = ? [s ] Iz Wz

I z为截面对z 轴的惯性矩,W z为抗弯截面模量。
7)矩形截面梁的弯曲剪应力呈抛物线分布,最大 剪应力在中性轴处且等于平均剪应力的1.5倍。
61

8)梁的变形以挠度y与转角q表示。 挠曲线近似微分方程: EIZy??=M(x) 9)求梁变形的基本方法是积分法。 由边界条件、连续性条件可确定积分常数。 弹性小变形问题叠加法适用。
10)解变形体静力学问题的基本方程还是力的平衡 方程、变形几何协调方程和材料的物理方程; 静不定问题总有足够的补充变形协调方程。 弹塑性小变形问题,只是物理方程需要用弹塑

性模型描述。
62


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