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数学:2.3.1《直线与平面垂直的判定》教案(新人教A版必修2)


2.3.1 直线与平面垂直的判定 教学目标 1、知识与技能 (1)使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理; (2)使学生掌握判定直线和平面垂直的方法; (3)培养学生的几何直观能力,使他们在直观感知,操作确认的基础上学会归纳、概括结 论。 2、过程与方法 (1)通过教学活动,使学生了解,感受直线和平面垂直的定义的形成过程; (2)探究判定直线与平面垂直的方法。 3、情态与价值 培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知。 教学重点、难点 直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。 教学过程: 一、复习准备: 1. 复习直线与平面平行的判定定理及性质定理. 2. 讨论:日常生活中有哪些现象给人以直线与平面垂直的感觉?(竖直站立的人与地面、旗 杆与地面、生日蛋糕与蜡烛┅) 二、讲授新课: 1.教学直线与平面垂直的定义: ①引入:一个人走在灯火通明的大街上,会在地面上形成影子,随着人不停的走动,这个影 子忽前忽后、忽左忽右,但是无论怎样,人始终与影子相交于一点,并始终保持垂直. ②定义:如果直线 l 与平面 ? 内的任意一条直线都垂直,则直线 l 与平面 ? 互相垂直,记作

l ? ? . l 叫平面 ? 的垂线,? 叫直线 l 的垂面,它们的唯一公共点 P 叫做垂足.(线线垂直 ?
线面垂直) ③举例:生活中直线与平面垂直的现象有哪些?

? 提问:你觉得垂直的依据是什么? ? 思考:给定一条直线和一个平面,如何判定它们是否垂直?
(1)问题:虽然可以根据定义判定直线与平面垂直,但这种方法实际上难以实施。有没有比 较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢? (2)师生活动:请同学们准备一块三角形的纸片,我们一起来做

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如图 2.3-2 试验:过△ABC 的顶点 A 翻折纸片,得到折痕 AD, 将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD、DC 与桌面接触) , 问如何翻折才能保证折痕 AD 与桌面所在平面垂直? 图 2.3-2

(3)归纳结论:引导学生根据直观感知及已有经验(两条相交直线确定一个平面) ,进行合 情推理, 2.教学直线与平面垂直的判定: ①判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则这条直线与该平面垂直. 老师特别强调:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学 思想。 图形语言→符号语言:若 l ⊥ m , l ⊥ n , m ∩ n =B, m ? ? , n ? ? ,则 l ⊥ ? ②→辨析(讨论正确性) :A.若一条直线垂直于平面内的两条直线,则这条直线垂直于这个平 面; B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,则这条直线垂直于这个平面; C.若一条直线平行于一个平面,则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线; D.若一条直线垂直于一个平面,则垂直于这条直线的另一直线必垂直于这个平面. ③练习:如图,在长方体 ABCD ? A' B ' C ' D ' 中, 与平面 B ' C ' CB 垂直的直线有 与直线 AA' 垂直的平面有 ; .

④出示例 1:如图,已知 a // b, a ? ? ,求证: b ? ? (分析:线面垂直 ? 线线垂直 ? 线面垂直) ⑤练习:P66 探究; P67 练习 1、2(线线垂直 ? 线面垂直 ? 线线垂直) ⑥定义:直线与平面所成角;→ 讨论范围( 0 ? ? ? 90 ) ;→ 辨析(P67 练习 3).
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练习: (1)在正方体 ABCD ? A' B ' C ' D ' 中,直线 AB ? 与面 ABCD 所成的角为



( 2 ) 在 正 方 体 ABCD ? A' B ' C ' D ' 中 , 直 线 BD ? 与 面 ABCD 所 成 的 角 的 余 弦 是 。

⑦出示例 2:在正方体 ABCD ? A' B ' C ' D ' 中,求直线 A' B 和平面 A' B ' C ' D ' 所成的角. (讨论 ? 老师引导 ? 学生版书) 强调:一作,二证,三求 3. 小结: 直线与平面垂直的定义与判定. 三、巩固练习: (依时间而定) 1. 平行四边形 ABCD 所在平面?外有一点 P,且 PA=PB=PC=PD,

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求证:点 P 与平行四边形对角线交点 O 的连线 PO 垂直于 AB、AD 2. 如图,已知 AP⊥⊙O 所在平面,AB 为⊙O 的直径,C 是圆周上的任意,过 A 作 AE ? PC 于 点 E. 求证: AE ? 平面 PBC. 3. 作业: 《习案》第十四课时。

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