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【成才之路】2015-2016学年高中数学 3.1.2复数的几何意义练习 新人教A版选修1-2


3.1.2 复数的几何意义

一、选择题 1.复数 z=-2+i,则复数 z 在复平面内对应的点位于( A.第一象限 C.第三象限 [答案] B [解析] 复数 z 在复平面内对应的点为(-2,1),位于第二象限. → → 2.若OZ=(0,-3),则OZ对应的复数为( A.0 C.-3i [答案] C [解析] 复数的实部为 0,虚部为-3,所以对应的复数为

-3i. 3.复数 z=1+(2-sinθ )i 在复平面内对应的点所在的象限为( A.第一象限 C.第三象限 [答案] A [解析] ∵1>0,2-sinθ >0, ∴复数对应的点在第一象限. 4.复数 z 与它的模相等的充要条件是( A.z 为纯虚数 C.z 是正实数 [答案] D [解析] ∵z=|z|,∴z 为实数且 z≥0. 5.已知复数 z=(m-3)+(m-1)i 的模等于 2,则实数 m 的值为( A.1 或 3 C.3 [答案] A [解析] 依题意可得 ?m-3? +?m-1? =2,解得 m=1 或 3,故选 A. → 6.已知平行四边形 OABC,O、A、C 三点对应的复数分别为 0、1+2i、3-2i,则向量AB → 的模|AB|等于( A. 5 ) B.2 5
2 2

)

B.第二象限 D.第四象限

) B.-3 D.3

)

B.第二象限 D.第四象限

) B.z 是实数 D.z 是非负实数

)

B.1 D.2

C.4 [答案] D

D. 13

→ → [解析] 由于 OABC 是平行四边形,故AB=OC, → → 因此|AB|=|OC|=|3-2i|= 13,故选 D. 二、填空题 7.已知复数 x -6x+5+(x-2)i 在复平面内的对应点在第三象限,则实数 x 的取值范 围是________. [答案] (1,2) [解析] 由已知,得? 解得 1<x<2. 8.已知复数 z1=-2+3i 对应点为 Z1,Z2 与 Z1 关于 x 轴对称,Z3 与 Z2 关于直线 y=-x 对称,则 Z3 点对应的复数为 z=________. [答案] 3+2i [解析] Z1(-2,3),Z2(-2,-3),Z3(3,2) ∴z=3+2i. 9.若复数 z=(m -9)+(m +2m-3)i 是纯虚数,其中 m∈R,则|z|=________. [答案] 12 [解析]
? ?m +2m-3≠0 由条件知? 2 ?m -9=0 ?
2 2 2 2

?x -6x+5<0 ? ? ?x-2<0

2





∴m=3,∴z=12i,∴|z|=12. 三、解答题 10.如果复数 z=(m +m-1)+(4m -8m+3)i(m∈R)对应的点在第一象限,求实数 m 的 取值范围. [解析] ∵z=(m +m-1)+(4m -8m+3)i,
? ?m +m-1>0 由题意得? 2 ?4m -8m+3>0 ?
2 2 2 2 2



-1- 5 3 解得 m< 或 m> , 2 2 即实数 m 的取值范围是 m< -1- 5 3 或 m> . 2 2

一、选择题

1.已知复数 z=(x-1)+(2x-1)i 的模小于 10,则实数 x 的取值范围是( 4 A.- <x<2 5 4 C.x>- 5 [答案] A [解析] 由条件知,(x-1) +(2x-1) <10, 4 2 ∴5x -6x-8<0,∴- <x<2. 5 2.设复数 z=(2t +5t-3)+(t +2t+2)i,t∈R,则以下结论中正确的是( A.复数 z 对应的点在第一象限 C.复数 z 对应的点在实轴上方 [答案] C [解析] ∵2t +5t-3=0 的 Δ =25+24=49>0, ∴方程有两根,2t +5t-3 的值可正可负,∴A、B 不正确. 又 t +2t+2=(t+1) +1>0, ∴D 不正确,∴C 正确. 3.已知复数 z 的模为 2,则|z-i|的最大值为( A.1 C. 5 [答案] D B.2 D.3 )
2 2 2 2 2 2 2 2

)

B.x<2 4 D.x<- 或 x>2 5

)

B.复数 z 一定不是纯虚数 D.复数 z 一定是实数

[解析] |z|=2,复数 z 对应的点在以原点为圆心,半径为 2 的圆上,|z-i|表示圆上 的点到(0,1)的距离,最大为 2+1=3. 4.已知 0<a<2,复数 z 的实部为 a,虚部为 1,则|z|的取值范围是( A.(1,5) C.(1, 5) [答案] C [解析] 由已知,得|z|= a +1. 由 0<a<2,得 0<a <4, ∴1<a +1<5. ∴|z|= a +1∈(1, 5). 故选 C. 二、填空题 5.已知复数 z1=-1+2i、z2=1-i、z3=3-2i,它们所对应的点分别是 A、B、C,若
2 2 2 2

)

B.(1,3) D.(1, 3)

→ → → O C =x O A +y O B (x、y∈R),则 x+y 的值是______.
[答案] 5 [解析] 由复数的几何意义可知,

→ → → O C =xOA+yOB,即
3-2i=x(-1+2i)+y(1-i), ∴3-2i=(y-x)+(2x-y)i. 由复数相等可得
? ?y-x=3 ? ?2x-y=-2 ?

,解得?

? ?x=1 ?y=4 ?

.

∴x+y=5. 6.设(1+i)sinθ -(1+icosθ )对应的点在直线 x+y+1=0 上,则 tanθ 的值为 ________. [答案] 1 2

[解析] 由题意,得 sinθ -1+sinθ -cosθ +1=0, 1 ∴tanθ = . 2 三、解答题 7.已知 a∈R,则复数 z=(a -2a+4)-(a -2a+2)i 所对应的点在复平面的第几象限 内?复数 z 的对应点的轨迹是什么曲线? [解析] a -2a+4=(a-1) +3≥3, -(a -2a+2)=-(a-1) -1≤-1. 由实部大于 0,虚部小于 0 可知,复数 z 的对应点在复平面的第四象限内. 设 z=x+yi(x,y∈R), 则 x=a -2a+4,y=-(a -2a+2). 消去 a -2a,得 y=-x+2(x≥3). 所以复数 z 的对应点的轨迹是以(3, -1)为端点, -1 为斜率, 在第四象限的一条射线. 8.设 z∈C,则满足条件|z|=|3+4i|的复数 z 在复平面上对应的点 Z 的集合是什么图 形? [解析] 解法一:|z|=|3+4i|得|z|=5. → 这表明向量OZ的长度等于 5,即点 Z 到原点的距离等于 5. 因此,满足条件的点 Z 的集合是以原点 O 为原点,以 5 为半径的圆. 解法二:设 z=x+yi(x、y∈R),则|z| =x +y . ∵|3+4i|=5,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

∴由|z|=|3+4i|得 x +y =25, ∴点 Z 的集合是以原点为圆心,以 5 为半径的圆.

2

2


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