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【创新设计】2016届 数学一轮第8讲 曲线与方程


第 8讲

曲线与方程

基础诊断

考点突破

课堂总结

考试要求

1.方程的曲线与曲线的方程的对应关系,A级要求;

2.解析几何的基本思想和利用坐标法研究曲线的简单性质,A级
要求;3.根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程,B级 要求.

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考点突破

课堂总结

知识梳理 1.曲线与方程

一般地,在平面直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合
或适合某种条件的点的轨迹 ) 上的点与一个二元方程 f(x , y) =0的实数解建立了如下关系: (1)曲线上点的坐标都是 这个方程的解 . (2)以这个方程的解为坐标的点都是 曲线上的点 ,那么这个

方程叫做 曲线的方程 ,这条曲线叫做 方程的曲线



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考点突破

课堂总结

2.求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系——建立适当的坐标系.

(2)设点——设轨迹上的任一点P(x,y).
(3)列式——列出动点P所满足的关系式. (4) 代换 —— 依条件式的特点,选用距离公式、斜率公式等将 其转化为x,y的方程式,并化简. (5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.

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考点突破

课堂总结

3.两曲线的交点 (1)由曲线方程的定义可知,两条曲线交点的坐标应该是两个

曲线方程的公共解,即两个曲线方程组成的方程组的实数
解;反过来,方程组有几组解,两条曲线就有几个交点;方 程组无解,两条曲线就没有交点. (2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组 有实数解.可见,求曲线的交点问题,就是求由它们的方程

所组成的方程组的实数解问题.

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课堂总结

诊断自测 1.思考辨析(请在括号中打“√”或“×”)

(1) f(x0 , y0) = 0 是点 P(x0 , y0) 在曲线 f(x , y) = 0 上的充要条
件. (2)方程x2+xy=x的曲线是一个点和一条直线. ( √ ) ( ×) ( ×)

(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2=y2.

(4)方程y=与x=y2表示同一曲线.

( ×)

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课堂总结

2.设m>1,则关于x,y的方程(1-m)x2+y2=m2-1表示的曲线 是________.
y2 x2 解析 原方程可化为 2 - =1, m -1 m+1 ∵m>1,∴m2-1>0,m+1>0, ∴表示焦点在 y 轴上的双曲线.

答案 焦点在y轴上的双曲线

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课堂总结

3.(2015·焦作模拟)设点A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,PA是 圆的切线,且PA=1,则P点的轨迹方程为________.

解析 由题意知 P 到圆心(1,0)的距离为 2,∴P 的轨迹方程 为(x-1)2+y2=2.
答案 (x-1)2+y2=2

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课堂总结

4.(2015·枣庄一模)已知△ABC的顶点B(0,0),C(5,0),AB边上 的中线长CD=3,则顶点A的轨迹方程为_________.
解析 法一 直接法.设 A(x,y),则 ∴CD=
?x ? ? -5?2+ ?2 ? ? x y? D? , ?, ? 2 2?

y2 4 =3,

化简得(x-10)2+y2=36,由于 A、B、C 三点构成三角形, ∴A 不能落在 x 轴上,即 y≠0.

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课堂总结

法二

定义法.如图所示,设A(x,

y) , D 为 AB 的中点,过 A 作 AE∥CD
交x轴于E. ∵CD = 3 , ∴ AE = 6 , BE = 10 ,则 E(10,0). ∴ 顶点 A 的轨迹为以 E 为圆心, 6 为

半径的圆,即(x-10)2+y2=36,又
A、B、C三点构成三角形,∴A点的 纵坐标 y≠0 ,故顶点 A 的轨迹方程 为(x-10)2+y2=36(y≠0). 答案 (x-10)2+y2=36(y≠0)
基础诊断 考点突破 课堂总结

5.已知⊙O方程为x2+y2=4,过M(4,0)的直线与⊙O交于A、B

两点,则弦AB中点P的轨迹方程为_________.

解析 根据垂径定理知: OP⊥PM,∴P 点轨迹是以 OM 为直径的圆在⊙O 内的部分, 以 OM 为直径的圆的方程为 (x-2)2+y2=4,它与⊙O 的交点为(1,± 3), 结合图形可知所求轨迹方程为(x-2)2+y2=4(0≤x<1).
答案 (x-2)2+y2=4(0≤x<1)
基础诊断 考点突破

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考点一 直接法求轨迹方程 【例1】 (2013·陕西卷选编 )已知动圆过定点 A(4,0),且在y轴上 截得弦MN的长为8.试求动圆圆心的轨迹C的方程.

解 如图,设动圆圆心为O1(x,y),
由题意,O1A=O1M, 当O1不在y轴上时,过O1作O1H⊥MN 交MN于H,则H是MN的中点.

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考点突破

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∴O1M= x2+42, 又 O1A= ?x-4?2+y2, ∴ ?x-4?2+y2= x2+42,化简得 y2=8x(x≠0). 当 O1 在 y 轴上时,O1 与 O 重合,点 O1 的坐标(0,0)也满足方程 y2=8x, ∴动圆圆心的轨迹 C 的方程为 y2=8x.

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考点突破

课堂总结

规律方法 直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等 量关系翻译为代数方程,要注意翻译的等价性.通常将步骤简 记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤,但最后

的证明可以省略,如果给出了直角坐标系则可省去建系这一
步,求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性.

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课堂总结

【训练 1】 (2015· 南通模拟选编)在平面直角坐标系 xOy 中,已 知定点 F(1,0),点 P 在 y 轴上运动,点 M 在 x 轴上,点 N 为 →· → =0,PM → +PN → =0. 平面内的动点,且满足PM PF 求动点 N 的轨迹 C 的方程.

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课堂总结

解 设点 N(x,y),M(a,0),P(0,b). → +PN → =0 可知,点 P 是 MN 的中点, 由PM ? ?a+x=0, ? 2 所以? ?0+y =b, ? 2 ? ?a=-x, ? 即? y b= , ? 2 ?
? y? M(-x,0),P?0, ?. 2? ?

所以点

? y? → ? y? → 所以PM=?-x,- ?,PF=?1,- ?. 2? 2? ? ?
2 y → → 由PM· PF=0 可得-x+ =0,即 y2=4x. 4

所以动点 N 的轨迹 C 的方程为 y2=4x.
基础诊断 考点突破 课堂总结

考点二 定义法求轨迹方程 【例 2】 (2013· 新课标全国 Ⅰ 卷改编 ) 已知圆 M : (x + 1)2 + y2 = 1 ,圆 N : (x - 1)2 + y2 = 9 ,动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内

切,圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程. 解 由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆N的圆
心为N(1,0),半径r2=3.设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.

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考点突破

课堂总结

因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切, 所以 PM+PN=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4. 由椭圆的定义可知,曲线 C 是以 M,N 为左,右焦点,长半 x2 轴长为 2, 短半轴长为 3的椭圆(左顶点除外), 其方程为 4 + y2 =1(x≠-2). 3

基础诊断

考点突破

课堂总结

规律方法

(1)求轨迹方程时,若动点与定点、定线间的等量关

系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义,则可直接根据定义 先确定轨迹类型,再写出其方程. (2)关键:理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键. (3) 利用定义法求轨迹方程时,还要看所求轨迹是否是完整的 圆、椭圆、双曲线、抛物线,如果不是完整的曲线,则应对其 中的变量x或y进行限制.

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→ |=4,△ABC 的内 【训练 2】 (2015· 临汾模拟)在△ABC 中,|BC → |-|CD → |=2 2,求顶点 A 的轨迹方 切圆切 BC 于 D 点,且|BD 程.
解 以BC的中点为原点,中垂线为y轴建立如图所示的坐标 系,E、F分别为两个切点.

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则 BE=BD,CD=CF, AE=AF.∴AB-AC=2 2, ∴点 A 的轨迹为以 B, C 的焦点的双曲线的右支(y≠0)且 a= 2, c=2,∴b= 2, x2 y2 ∴轨迹方程为 - =1(x> 2). 2 2

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考点三 相关点法求轨迹方程 【例 3】 (2012· 辽宁卷改编) 如图,动圆 C1:x2+y2=t2,1<t x2 2 <3,与椭圆 C2: 9 +y =1 相交于 A,B,C,D 四点.点 A1, A2 分别为 C2 的左,右顶点.求直线 AA1 与直线 A2B 交点 M 的轨迹方程.

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x2 2 解 由椭圆 C2: 9 +y =1,知 A1(-3,0),A2(3,0). 过点 A 的坐标为(x0,y0),由曲线的对称性得 B(x0,-y0), 设点 M 的坐标为(x,y), y0 直线 AA1 的方程为 y= (x+3).① x0+3 -y0 直线 A2B 的方程为 y= (x-3).② x0-3
2 - y 0 由①②得 y2= 2 (x2-9).③ x0-9

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又点 A(x0,y0)在椭圆 C 上,
2 x 0 故 y2 = 1 - .④ 0 9

x2 2 将④代入③得 -y =1(x<-3,y<0). 9 x2 2 因此点 M 的轨迹方程为 9 -y =1(x<-3,y<0).

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规律方法

(1)一是本题的轨迹方程中,要求x<-3,y<0 ,所

以求解时要结合几何性质和几何图形直观细心发掘.二是求解

中充分运用椭圆与圆的对称性,以及方程④的整体代入,避免
繁琐运算,优化解题过程. (2) 相关点法求轨迹方程:形成轨迹的动点 P(x , y) 随另一动点 Q(x′ , y′) 的运动而有规律地运动,而且动点 Q 的轨迹方程为 给定的或容易求得的,则可先将 x′ , y′ 表示成关于 x , y 的式

子,再代入Q的轨迹方程,求出动点P的轨迹方程.

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x2 【训练 3】 (2015· 大连、沈阳联考)已知 F1,F2 分别为椭圆 C: 4 y2 + =1 的左右焦点,点 P 为椭圆 C 上的动点,则△PF1F2 3 的重心 G 的轨迹方程为________.

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解析 依题意知 F1(-1,0),F2(1,0),设 P(x0,y0), ? x0-1+1 , ?x= 3 G(x,y),由三角形重心坐标关系可得? ?y=y0 3 ?
? x =3x, ? 0 即? ? ?y0=3y,
2 x2 y 0 0 代入 4 + 3 =1,

9x2 得重心 G 的轨迹方程为 4 +3y2=1(y≠0).

9x2 答案 +3y2=1(y≠0) 4
基础诊断 考点突破 课堂总结

[思想方法] 求轨迹方程的常用方法

1.直接法:根据题目条件,直译为关于动点的几何关系,再利
用解析几何有关公式 ( 两点距离公式、点到直线距离公式、 夹角公式等 ) 进行整理、化简,即把这种关系“翻译”成含 x,y的等式就得到曲线的轨迹方程了. 2.定义法:若动点轨迹满足已知曲线的定义,可先设定方程, 再确定其中的基本量,求出动点的轨迹方程.
基础诊断 考点突破 课堂总结

3.相关点法:有些问题中,其动点满足的条件不便用等式列
出,但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的,如果 相关点所满足的条件是明显的,或是可分析的,这时我们可 以用动点坐标表示相关点坐标,根据相关点所满足的方程即 可求得动点的轨迹方程,这种求轨迹的方法叫做相关点法.

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[易错防范]

1.求轨迹方程时,要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关
系.检验可从以下两个方面进行:一是方程的化简是否是同 解变形;二是是否符合题目的实际意义. 2.求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求,求轨迹时,应先求轨 迹方程,然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等.

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