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福田区2011年高三冲刺阶段基础训练题集(1)


福田区 2011 年高三冲刺阶段基础训练题集Ⅰ 一、三角函数部分(福田实验学校提供)
三角基础训练(一)
一. 选择题 1、下列各角中与角—240°终边相同的角为 A. 2π 3 B.- 5π 6 C.- 2π 3 D. 7π 6

2.下列等式中成立的是 A.sin(360°-40°)=sin40° C.cos370°= —cos350°

; ; B.cos(2π— ? )=cos ? ;
4 4

D.cos 25 π=cos(- 19 π)
6
6

3.若点 P(cos 0, sin1) 是角 ? 的终边上一点,则角 ? 的终边必在 (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 4.给出四个函数,则同时具有以下两个性质的函数是:①最小正周期是 ? ;②图 象关于点( ? ,0)对称
6

A.

y ? cos(2 x ?

?
6

)

B.

y ? sin(2 x ?

?
6

)

C.

x ? y ? sin( ? ) 2 6

D. y ? tan(x ? ? )
3

5. 函数 y ? sin x ? 3 cos x 在区间 R 上的最小值为 A. 0; B. 2; C. —2; D.
3

6.已知 x ? (? A
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?
2

, 0) , cos x ?
? 7 24

4 ,则 tan 2 x ? 5
24 7

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?

24 7

二. 填空题 7. 设扇形的周长为 8cm ,面积为 4cm2 ,则扇形的圆心角的弧度数是 8.计算:
sin 65 o +sin 15 o sin 10 o 的值为 sin 25 o - cos 15 o cos 80 o

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三. 解答题 9.已知函数 )的图象关于直线 x= (其中 对称.(1)求 的值;( 2 ) 求
1

的单调

减区间. 10.在 ? ABC 中, A、 C 的对边长分别是 a、 c, b c s C ? (2a ? c) c s B ? 0. 角 B、 b、 若 o o (1)求内角 B 的大小; 答案 选择题 ABADCD7.2; 8.2+
[?
3 9. =

(2)若 b=2,求 ? ABC 面积的最大值.
11? 12
2π ; 3
3 . 3



?
3

? k? ,

?
6

? k? ], k ? z 10. B ?

三角基础训练(二)
一、选择题 1. cos(?1200 ) 的值等于 A.
1 2

B.

3 2

C .?

1 2

D .?

3 2

2. 函数 y ? 2cos 2 x 是 A. 周期为 ? 的奇函数 C. 周期为 2? 的奇函数 B. 周期为 ? 的偶函数 D. 周期为 2? 的偶函数
2

3. 已知函数 y ? 2sin(2x ? ? ) ? 2的一部分图象如右图所示,如果 | ? |? ? , 则 A. ? ? ?

?
6

B. ? ?

?
6

C. ? ?

?
3

D. ? ? ?

?
3

4. 将函数 y ? sin x 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) , 再将所得图像向左平移 A. y ? sin
? 个单位,则所得函数图像对应的解析式为 3

1 2

x
?
6

1 ? B. y ? sin( x ? ) 2 2

C.

1 ? y ? sin( x ? ) 2 6

D.

y ? sin(2x ?

)

? 1 5.若 ? ? ( , ? ) ,且 sin? cos? ? ? ,则 sin? ? cos? 的值为 8 2
A. ?
3 2

B.

3 2

C. ?

5 2

2

D.

5 2

6.已知 ? ? ? ? A.-1

?
4

,则

tan ? ? tan ? 的值是 1 ? tan ? tan ?

B.1

C.2

D.4 二、填空题 7. sin 63? cos 27? ? cos63? sin 27? =

。 。

8.在 ?ABC 中, a ? 6 , B ? 30 ? , c ? 2 ,则 ?ABC 的面积是 三、解答题 9. 已知函数 y ? sin( x ? ), x ? R 。求函数的最大值及取最大值时 x 的集合。 3 sin ? ? cos ? 10.已知 tan ? ? 2 ,求 值:(1) ; (2) sin ? cos ? 。 sin ? ? cos ? 答案 1. C 2. B 3. B 4. C 5. D 6. B 7. 18. 3 ? 2 9. x ? ? 2k? 时,函数有最大值 1。10. (1)3; (2) 。 6 5

?

三角基础训练(三)
一、选择题 1.已知点 P( tan? , cos? )在第二象限,则角 ? 在 A.第一象限 B.第二象限 D.第四象限 2.函数 y ? ? sin 2 x , x? R 是 A.最小正周期为 ? 的奇函数 C.最小正周期为 2? 的奇函数 1 ? tan15? 3. ? 1 ? tan15? A.
3

C.第三象限

B.最小正周期为 ? 的偶函数 D.最小正周期为 2? 的偶函数

B.

3 3
1 10

C.
1 5

3 2

D.

3 6

4.已知 ? , ? 为锐角,且 cos ? =

,cos ? =

,则 cos(? ? ? ) 的值是

A.

2 2

B.

3 2

C. ?

2 2

D. ?

3 2

5.在 ?ABC 中,一定成立的等式是 A.

B.
3

D. 3 1 ? ? 6.已知 tan (α+β) = , tan (β- )= ,那么 tan (α+ )为 5 4 4 4 13 3 13 7 A. B. C. D. 18 18 23 23 二、填空题 2 ? 7.若 sin ? ? ? , 且 ? ? (? ,0) , 则 cos 2? 的值是 。 2 3 8. △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,若 c ? 2,b ? 6,B ? 120? , 则 ?C ? 三、解答题 .
12 4 ,sin( ? + ? )= , ? 与 ? 均为锐角,求 cos(α+β). 13 5

C.

9.已知 sin ? =

10.已知函数 f ( x) ? cos x ? cos(x ? ) , x? R . (Ⅰ)求 f ( x) 的最大值; (Ⅱ)求 2
f ( x) 的单调区间.

?

答案 1. D 2. A3. A 4. C5. C 6. C 7.
3

1 ? 8. 6 9 6

9.解 cos(α+β)=- .10.解: (1) f ( x) ? cos x ? cos( x ? ) ? sin( x ? ) , 5 2 4 最大值为 1;

?

?

? ? 3? ? ? 2 k? , ? 2 k? ? , k ? Z (2)单调区间是 ? ? 4 ? 4 ?

三角基础训练(四)
一、选择题: 1. sin 300 0 ? A.
1 2

B. ?

1 2

C.

3 2

D. ?

3 2

2.函数 5.函数 f ( x) ? sin x cos x 最小值是 A.-1 B. ?
1 2

C.

1 2

D.1

3.若 sin ? ? 0 且 tan ? ? 0 ,则 ? 是 A. 第一象限的角 限的角 4.要得到 y ? sin(2 x ? B. 第二象限的角 C. 第三象限的角 D. 第四象

?
4

) 的图象只需将 y ? sin 2 x 的图象
4

? ? 个单位 B.向右平移 个单位 4 4 ? ? C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位 8 8 5.在 ?ABC 中,三边分别为 3,5,7,则 ?ABC 中最大角为
A.向左平移 A. 60 0 B. 90 0 C. 120 0 D. 150 0

6.函数 y ? 2 sin(2 x ?

?
3

) 的图象

A.关于原点对称 B.关于点(-

? 对称 6 二、填空题:
x= 7. 在 ?ABC 中, A ? 8.若 tan? ? 2 ,则 三、解答题:

? ,0)对称 C.关于 y 轴对称 6

D.关于直线

?
3

, b ? 4, c ? 3 ,则 ?ABC 的面积为

sin ? ? cos? = sin ? ? cos?

4 , cos A ? , b ? 3 。 3 5 (Ⅰ)求 sin C 的值; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

9.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, B ?

?

??? ? 10. 已知向量 OA ? (cos ? ,sin ? ) ( ? ? [?? , 0] ).向量 m ? (2,1) , n ? (0, ? 5) ,

??? ? ??? ? 2 且 m ? (OA ? n) .( Ⅰ) 求向量 OA ;( Ⅱ) 若 cos( ? ? ? ) ? , 0 ? ? ? ? ,求 10 . cos( 2 ? ? ) ?

答案 1. C 2.B3. A 4.C 5.C 6.B 9 . 解 : (1) sin C =
2 2

7. 3 3

8.3

9 3 ? 36 2 5 5 3 , ? ) (2) (2) S ? 10 . 解 : 1 ) OA ? (? ( 50 5 5 5

cos(2? ? ? ) =

三角基础训练(五)
一、选择题: 1. sin 75 0 的值为 A
3? 2 2

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B

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C

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6? 2 2

D

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5

2.若 A 为 ?ABC 的内角,则下列函数中一定取正值的是 1 A sin A B cos A C tan A D tan A
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3.已知 P(?3,4) 为角 ? 终边上一点,则 A
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sin ? ?

4 5

B

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sin ? ? ?

3 5

C

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cos? ?

4 5

D

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tan ? ? ?

3 4

4.函数 f ( x) ? sin x ? cos x 的最小正周期和最大值分别为 A
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? ,2

B

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?, 2

C

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2? ,2

D

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2? , 2

5.下列各式中,正确的是 A C
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sin(? ? ? ) ? sin ? cos( ? ? ) ? cos? ?

B

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sin( ? ? ) ? ? cos? 2
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?

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D

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cos( ? ? ) ? ? sin ? 2

?

6 . 已 知 函 数 y ? As i n x ? ? ) ? B 的 一 部 分 图 象 如 右 图 所 示 , 如 果 ?(
A ? 0,? ? 0, | ? |?

?
2

,则 B.? ? 1 C. ? ?

A. A ? 4 二、填空题: 7.已知 cos? ?

?
6

D. B ? 4

4 ,且 ? 为第四象限的角,则 sin ? = 5

8.函数 y ? 2 sin(x ? 三、解答题:

?

3

), x ? ?0, ? ? 的最大值、最小值分别为



9.在 ?ABC 中,若 a cos A ? b cos B ? c cosC, 试判断 ?ABC 的形状。 10.已知 f ( x) ? sin(2 x ? ), x ? R 6 (Ⅰ)写出的单调递增区间; (Ⅱ)如何由 y ? sin x 的图象变形得到 y ? f (x) 的图象? 答案 1. C 2.A3.A 4.B 5.D 6.C7. ?
? 2k?, ? 2k? ] (2) 略 6 3 一、选择题:
3 5

?

8.2, ?

3 9.解:略 10.解: 2

(1) [?

?

?

1. sin 75 0 的值为

6

A

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3? 2 2

B

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3? 2 4

C

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6? 2 2

D

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2.若 A 为 ?ABC 的内角,则下列函数中一定取正值的是 1 A sin A B cos A C tan A D tan A
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3.已知 P(?3,4) 为角 ? 终边上一点,则 A
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sin ? ?

4 5

B

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sin ? ? ?

3 5

C

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cos? ?

4 5

D

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tan ? ? ?

3 4

4.函数 f ( x) ? sin x ? cos x 的最小正周期和最大值分别为 A
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? ,2

B

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?, 2

C

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2? ,2

D

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2? , 2

5.下列各式中,正确的是 A C
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sin(? ? ? ) ? sin ? cos( ? ? ) ? cos? ?

B

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sin( ? ? ) ? ? cos? 2
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?

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D

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cos( ? ? ) ? ? sin ? 2

?

6 . 已 知 函 数 y ? As i n x ? ? ) ? B 的 一 部 分 图 象 如 右 图 所 示 , 如 果 ?(
A ? 0,? ? 0, | ? |?

?
2

,则 B.? ? 1 C. ? ?

A. A ? 4 二、填空题: 7.已知 cos? ?

?
6

D. B ? 4

4 ,且 ? 为第四象限的角,则 sin ? = 5

8.函数 y ? 2 sin(x ? 三、解答题:

?

3

), x ? ?0, ? ? 的最大值、最小值分别为



9.在 ?ABC 中,若 a cos A ? b cos B ? c cosC, 试判断 ?ABC 的形状。 10.已知 f ( x) ? sin(2 x ? ), x ? R 6 (Ⅰ)写出的单调递增区间; (Ⅱ)如何由 y ? sin x 的图象变形得到 y ? f (x) 的图象? 答案 1. C 2.A3.A 4.B 5.D 6.C7. ? (1) [?
3 5

?

8.2, ?

3 9.解:略 10.解: 2

?

? 2k?, ? 2k? ] (2) 略 6 3
7

?

二、 立体几何部分(福景外语学校提供)
立体几何基础训练(一)
一、选择题: 1.下列命题中,正确的是( ) A.有两个面互相平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B.棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面 C.棱柱的侧面是平行四边形,而底面不是平行四边形 D.棱柱的侧棱都相等,侧面是平行四边形 2.在空间中,给出下面四个命题,则其中正确命题的个数为( ① 过平面 ? 外的两点,有且只有一个平面与平面 ? 垂直; ② 若平面 ? 内有不共线三点到平面 ? 的距离都相等,则 ? // ? ; ③ 若直线 l 与平面内的无数条直线垂直,则 l ? ? ; ④ 两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条平行线;

)

A

0

B

1

C

2

D

3

3.图示最左边的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的 圆锥而得。现用一个竖直的平面去截这个几何体,则所截得的图形可能是( )

A. (2) (1)

(1) B. (3) (1)

(2) C. (4) (1)

(4) (3) D. (5) (1)

(5)

4.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大 圆上,则该正三棱锥的体积是( )

正 视图

侧 视图

3 3 3 C. D. 4 3 12 5.如左图所示是某一容器的三视图,现向容器中匀速注水,
A.

3 3 4

B.

容器中水面的高度 h 随时间 t 变化的可能图象是( )

h
俯 视图

h

h

h

O
A

t

O
B

t

O
C

t

O
D

t

二、填空题: 6.如图是一个空间几何体的主视图、侧视图、俯视图,如果主 视图、侧视图所对应的三角形皆为边长为 2 的正三角形,俯视 图对应的四边形为正方形,那么这个几何体的表面积
8



,体积是



7.?A?B?C ? 是正△ABC 的斜二测画法的水平放置图形的直观图,若 ?A?B?C ? 的面积为 3 , 那么△ABC 的面积为_______________。 8 . 已 知 边 长 为 a 正 方 体 ABCD ? A1 B1C1 D1 , O 为 上 底 面 D1 A1 E D A B O C1 B1 C

A1 B1C1 D1 的中心, E 为棱 A1 B1 上的一点且 AE ? EO 的长为最
小,则最小值是 。

三、解答题: 9.如下的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图.它的正视图和 侧视图在下面画出(单位:cm) G E A

D?
F D B

C?
B?
C

2

6

2 2 4 4

(Ⅰ) 在正视图下面, 按照画三 视图的要求画出该多面体的俯 视图; (Ⅱ) 按照给出的尺寸, 求该多 面体的体积;

(Ⅲ)在所给直观图中连结 BC ? ,证明: BC? ∥面 EFG .

10.如图 1,在直角梯形 ABCD 中, ?ADC ? 90? , CD / / AB , AB ? 4, AD ? CD ? 2 , M 为 线段 AB 的中点.将 ?ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC ? 平面 ABC ,得到几何体 D ? ABC ,如 图 2 所示. (Ⅰ) 求证: BC ? 平面 ACD ; (Ⅱ) 求二面角 A ? CD ? M 的余弦值. D D C C A

M 图1

.

B 参考答案

A

立体几何基础训练(一)

M 图2

B

一、选择题:
9

题号 答案 二、填空题: 6. 12 ,

1 D

2 A

3 D

4 C

5 B

4 3 3



7. _____ 2 6 __________。

三、解答题: 9.解: (Ⅰ)如图 2 6 4 (正视图) (Ⅱ)所求多面体体积 4 (侧视图) 2 2 2 2 (俯视图) 6 4

1 ?1 284 ? V ? V长方体 ? V正三棱锥 ? 4 ? 4 ? 6 ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? 2 ? (cm3 ) 。 3 ?2 3 ?
(Ⅲ)证明:在长方体 ABCD ? A?B?C?D? 中, 连结 AD? ,则 AD? ∥ BC? . 因为 E,G 分别为 AA? , A?D? 中点,所以 AD? ∥ EG , 从而 EG ∥ BC? .又 BC? ? 平面 EFG , 所以 BC? ∥面 EFG .

A?
E A

G

D?
F

C?
B?
C B

D

10.解:(1)在图 1 中,可得 AC ? BC ? 2 2 ,从而 AC 2 ? BC 2 ? AB 2 ,故 AC ? BC 取 AC 中点 O 连结 DO ,则 DO ? AC ,又面 ADE ? 面 ABC , 面 ADE ? 面 ABC ? AC , DO ? 面 ACD ,从而 OD ? 平面 ABC , ∴ OD ? BC 又 AC ? BC , AC ? OD ? O , ∴ BC ? 平面 ACD z D ( 2) 建立 空间直 角坐 标系 O ? xyz 如 图 所示 ,则

C O A x M B y

M (0, 2, 0) , C (? 2, 0, 0) , D(0, 0, 2) ???? ? ??? ? CM ? ( 2, 2, 0) , CD ? ( 2, 0, 2) ?? 设 n1 ? ( x, y, z ) 为面 CDM 的法向量, ?? ???? ? ?n1 ? CM ? 0 ? 2 x ? 2 y ? 0 ? y ? ?x ? ? 则 ? ?? ??? 即? ,解得 ? ? ?z ? ?x ? 2x ? 2z ? 0 ?n1 ? CD ? 0 ? ? ?? ?? ? 令 x ? ?1 , 可 得 n1 ? (? 1, 1, 1) n2 ? (0,1, 0) 为 面 又
10

ACD 的一个法向量 ?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 1 3 ? ? ∴ cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? ? 3 | n1 || n2 | 3
∴二面角 A ? CD ? M 的余弦值为

3 . 3

立体几何基础训练(二)
一、选择题 1、 (2009 揭阳)某师傅需用合板制作一个工作台,工作台由主体和附属两 部分组成,主体部分全封闭,附属部分是为了防止工件滑出台面而设置 的三面护墙,其大致形状的三视图如右图所示(单位长度: cm), 则按图 中尺寸,做成的工作台用去的合板的面积为(制作过程合板的损耗和合 板厚度忽略不计) ( A. 40000cm2 C. 1600(22 ? 17)cm2 ) B 40800cm2 D. 41600cm2 )
俯视图 20

80 80 正视图 侧视图

80

2、 (2009 广东五校)在下列关于直线 l 、 m 与平面 ? 、 ? 的命题中,真命题是( (A)若 l ? ? ,且 ? ? ? ,则 l ? ? (C)若 ? ? ? ? m ,且 l ? m ,则 l // ?

(B)若 l ? ? ,且 ? // ? ,则 l ? ? (D)若 l ? ? ,且 ? ? ? ,则 l // ?

3、 (2009 番禺)一个几何体的三视图如右图,其中主视图和左视图都是 边长为 1 的正三角形,那么这个几何体的侧面积为( A. ) D.

1 ? 2

B.

2 ? 2

C.

2 ? 4

? 4

4、(2008 惠州调研二文)下列四个几何体中,每个几何体的三视图 有且仅有两个视图相同的是( ) .

①正方体 A.①②

②圆锥 B.①③ C.①④

③三棱台 D.②④

④正四棱锥

5、 (2009 北江中学)已知 ? , ? 是两个不同的平面,m,n 是两条不同的直线,给出下列命题:
11

①若 m ? ? , m ? ?,则? ? ? ; ②若 m ? ? , n ? ? , m // ?,n // ? , 则? // ? ; ③如果 m ? ? , n ? ? , m、n是异面直线,那么n与? 相交; ④若 ? ? ? ? m, n // m,且n ? ? , n ? ?,则n // ?且n // ? . 其中正确的命题是( A.①② ) B.②③ C.③④ D.①④

二、填空题 6、 (2009 北江中学)如图是一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图,如 果主视图、左视图所对应的三角形皆为边长为 2 的正三角形,俯视图对应 的四边形为正方形,那么这个几何体的体积为 7、表面积为 16? 的球的内接正方体的体积为 . .

8、一个平面四边形的斜二测化法的直观图是一个边长为 1 的正方形,则原平 面四边形的面积为 .

三、解答题 9、已知四棱锥 P ? ABCD 的三视图如下图所示, E 是侧棱 PC 上的动点. (1) 求四棱锥 P ? ABCD 的体积; (2) 是否不论点 E 在何位置,都有 BD ? AE ?证明你的结论; P

E
2 2 1

D

C
1 1 侧视图 1 俯视图 正视图

A

B

10、如图,已知 AB ? 平面 ACD , DE ? 平面 ACD ,△ ACD 为等边三角形,

AD ? DE ? 2 AB , F 为 CD 的中点.
(1) 求证: AF // 平面 BCE ;
12

B

E

A

C

D

(2) 求证:平面 BCE ? 平面 CDE ;

立体几何基础训练(二) 参考答案
一、选择题 1、D; 二、填空题 6、 三、解答题 9、解:(1) 由三视图可知,四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长为 1 的正方形, 侧棱 PC ? 底面 ABCD ,且 PC ? 2 . ∴ VP ? ABCD ? 2、B; 3、A; 4、D; 5、D;

4 3 64 3 ; 7、 ; 8、 2 2 ; 3 9

1 1 2 S正方形ABCD ? PC ? ?12 ? 2 ? , 3 3 3
2 . 3

即四棱锥 P ? ABCD 的体积为

(2) 不论点 E 在何位置,都有 BD ? AE . 证明如下:连结 AC ,∵ ABCD 是正方形,∴ BD ? AC . ∵ PC ? 底面 ABCD ,且 BD ? 平面 ABCD ,∴ BD ? PC . 又∵ AC ? PC ? C ,∴ BD ? 平面 PAC . ∵不论点 E 在何位置,都有 AE ? 平面 PAC . ∴不论点 E 在何位置,都有 BD ? AE . 10、(1) 证法一:取 CE 的中点 G ,连 FG、BG . A D F B B

P

E

C

1 ∵ F 为 CD 的中点,∴ GF // DE 且 GF ? DE . 2
∵ AB ? 平面 ACD , DE ? 平面 ACD , ∴ AB // DE ,∴ GF // AB . 又 AB ? H G A

E

M

1 DE ,∴ GF ? AB . 2

C

F

D

∴四边形 GFAB 为平行四边形,则 AF // BG . ∵ AF ? 平面 BCE , BG ? 平面 BCE , ∴ AF // 平面 BCE .
13

证法二:取 DE 的中点 M ,连 AM、FM . ∵ F 为 CD 的中点,∴ FM // CE . ∵ AB ? 平面 ACD , DE ? 平面 ACD ,∴ DE // AB . 又 AB ?

1 DE ? ME , 2

∴四边形 ABEM 为平行四边形,则 AM // BE . ∵ FM、AM ? 平面 BCE , CE、BE ? 平面 BCE , ∴ FM // 平面 BCE , AM // 平面 BCE . 又 FM ? AM ? M ,∴平面 AFM // 平面 BCE . ∵ AF ? 平面 AFM , ∴ AF // 平面 BCE . (2) 证:∵ ?ACD 为等边三角形, F 为 CD 的中点,∴ AF ? CD . ∵ DE ? 平面 ACD , AF ? 平面 ACD ,∴ DE ? AF . 又 CD ? DE ? D ,故 AF ? 平面 CDE . ∵ BG // AF ,∴ BG ? 平面 CDE . ∵ BG ? 平面 BCE , ∴平面 BCE ? 平面 CDE .

立体几何基础训练(三)
一.选择题 1.如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,已知 AB=1,D 在 BB1 上, 且 BD=1,若 AD 与侧面 AA1CC1 所成的角为 ? ,则 ? 的值为 ( A. )

? 3
arctan 10 4

B.

? 4
6 4


C1
A1

B1
D

C.

D. arcsin

2.直线 a 与平面 ? 成 ? 角,a 是平面 ? 的斜线,b 是平面 ? 内与 a 异面的任意直线,则 a 与 b 所成的角( A. 最小值 ? ,最大值 ? ? ? C B. 最小值 ? ,最大值

B

A ? 2 ? C. 最小值 ? ,无最大值 D. 无最小值,最大值 4 3.已知在 ?ABC 中,AB=9,AC=15, ?BAC ? 120 ? ,它所在平面外一点 P 到 ?ABC 三顶 点的距离都是 14,那么点 P 到平面 ?ABC 的距离为( )
14

A.

13

B. 11

C. 9 )

D. 7

4.在一个正四棱锥,它的底面边长与侧棱长均为 a ,现有一张正方形包装纸将其完全包住 (不能裁剪纸,但可以折叠) ,那么包装纸的最小边长应为( A. ( 2 ? 6 )a B.

2? 6 a 2

C.

(1 ? 3 )a

D.

1? 3 a 2

5.已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,A1A=AB=2,若棱 AB 上存在点 P,使 D1 P ? PC ,则棱 AD 的长的取值范围是 ( A. ) B.

?0,1?


?0, 2 ?

C.

?0,2?

D.

?1, 2 ?
D.

6.将正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,使点 D 在平面 ABC 外,则 DB 与平面 ABC 所成的角一定 不等于( A. 30? B. 45? C. 60? 二、填空题 1.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E 是 A1B1 的中 点,则下列四个命题: A1

90?
B1 C1

D1 E

1 ① E 到平面 ABC1D1 的距离是 ; 2
② 直线 BC 与平面 ABC1D1 所成角等于 45? ; ③ 空间四边形 ABCD1 在正方体六个面内的射影围成 ④ A D B C

BE 与 CD1 所成的角为 arcsin

10 10

2.在水平横梁上 A、B 两点处各挂长为 50cm 的细绳,

AM、BN、AB 的长度为 60cm,在 MN 处挂长为 60cm 的木条,MN 平行于横梁,木条的中点为 O,若木条 绕过 O 的铅垂线旋转 60°,则木条比原来升高了
_________. 三.解答题 1. 在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,底面边长为 a,D 为 BC 为中点,M 在 BB1 上,且 BM= 又 CM⊥AC1; (1) 求证:CM⊥C1D; (2) 求 AA1 的长. 2.如图,四棱锥 S—ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,SD 垂直于底 面 ABCD,SB= 3 . (1)求证 BC ? SC; (2)求面 ASD 与面 BSC 所成二面角的大小; (3)设棱 SA 的中点为 M,求异面直线 DM 与 SB 所成角的 大小.

1 B1M, 3

15

立体几何基础训练(三) 参考答案
一.选择题 1.D 提示:AD 在面 ACC1A1 上的射影应在 AC 与 A1C1 中点的连线上,令射影为 E,则∠EAD 为

3 3 DE 6 , AD ? 2 . ? sin ?EAD ? ? 2 ? . 所求的角.在 Rt△EAD 中, DE ? 2 AD 4 2
? ?EAD ? arcsin
1 , 3 ? ?? 2.B 提示:由最小角定理知,最小角为 ? ,又异面直线所成角的范围为 ? 0, ? ,?最大角 , ? 2? 5 为

6 . 4

? . 2

3.D 提示:由 P 到△ABC 三个顶点的距离都是 14,知 P 在底面 ABC 的射影是△ABC 的外心, 所以 PO 为所求.由余弦定理得: BC=21.由 2 R ?

BC 21 ? ? 14 3 得外接圆半径为 sin120 ? 3 2

7 3 ,即 OB ? 7 3 ,在 Rt△POB 中, PO ? PB 2 ? BO 2 ? 7.
4.B 提示:将正棱锥展开,设正方形边长为 m,则 2m ? a ? 3a,? m ?

2? 6 2

5.A 提示:? D1 P ? PC,? DP ? PC,? 在长方形 ABCD 中 AB 边存在 P,作 DP ? PC , 又因为 AB=2,由对称性可知,P 为 AB 的中点时,AD 最大为 1,? AD ? ?0,1? 故选 A. 6.D 提示: BD 与平面 ABC 所成的角为 90? , 平面ABD ? 平面ABC , AC 的中点 O, 若 则 取 则 BD ? AC,DO ? AC 且 BO=DO,? BD与BO 不垂直,故 BD 与平面 ABC 所成的角一定 不等于 90? . 二.填空题

16

1.②③④

提 示 : 对 于 ① , 由 VE ? ABC 1 ? VC1 ? ABE 得

1 1 ? h ? S ?ABC 1 ? ? 1 ? S ?ABE , 3 3

?h ?

S ?ABE 2 ? ,①错.对于②连 CB1 交 BC1 于 O,则 O 为 C 在面 ABC1D1 上的射影, S ?ABC 1 2

? ?CBO ? 45? 为所成的线面角,②正确.作图易知③正确,对于④连 A1B,则 ?A1 BE 为所
成的角,解 ?A1 BE 得 sin ?A1 BE ? . 2.10cm 提示:MO=NO=30cm,过 O 作 M ' N ' 与旋转前的 MN 平行且相等,所以旋转后 AB 与 平面 M ? N ? 的距离为 50 ? 30 ? 40 ,故升高了 50-40=10cm. O
2 2

10 ,④正确. 10

三、解答题 1. (1)证明:在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,D 为 BC 中点,则 AD⊥面 BCC1B1,从而 AD⊥MC 又∵CM⊥AC1,则 MC 和平面 ADC1 内两相交直线 AD,AC1 均垂直 ∴MC⊥面 ADC1,于是 MC⊥DC1. (2)解:在矩形 BB1C1C 中,由 CM⊥DC1 知△DCC1∽△BMC,设 BB1=h,则 BM= ∴

1 h 4

1 a h:a= :h, 求得h ? 2a 4 2

从而所求 AA1= 2a 2. (1)证法一:如图,∵底面 ABCD 是正方形, ∴BC⊥DC. ∵SD⊥底面 ABCD,∴DC 是 SC 在平面 ABCD 上的射影, 由三垂线定理得 BC⊥SC. 证法二:如图 1,∵底面 ABCD 是正方形, ∴BC⊥DC.∵SD⊥底面 ABCD, ∴SD⊥BC,又 DC∩SD=D,∴BC⊥平面 SDC,∴BC⊥SC. (2)解:如图 2,过点 S 作直线 l // AD, ? l 在面 ASD 上, ∵底面 ABCD 为正方形,? l // AD // BC,? l 在面 BSC 上,

图1

? l 为面 ASD 与面 BSC 的交线. ? l ? SD ? AD, BC ? SC,? l ? SD, l ? SC,
∴∠CSD 为面 ASD 与面 BSC 所成二面角的平面角. ∵BD= 2 ,SB= 3 ,SAD=1.∴ ?CSD ? 450. (3)解 1:如图 2,∵SD=AD=1,∠SDA=90°, ∴△SDA 是等腰直角三角形.又 M 是斜边 SA 的中点, ∴DM⊥SA.∵BA⊥AD,BA⊥SD,AD∩SD=D,∴BA⊥面 ASD,SA 是 SB 在面 ASD 上的射影.由 三垂线定理得 DM⊥SB. ∴异面直线 DM 与 SB 所成的角为 90°.
图2

解 2: 如图 3,取 AB 中点 P,连结 MP,DP.在△ABS 中,由中位线定理得 MP//SB, ?DMP ?
17

是异面直线 DM 与 SB 所成的角.? MP ? 1 SB ? 3 ,又 DM ? 2 , DP ? 1 ? ( 1 ) 2 ? 5 ,
2 2
2 2 2

∴在△DMP 中,有 DP =MP +DM ,? ?DMP ? 90? ∴异面直线 DM 与 SB 所成的角为 90°.
2 2 2

立体几何基础训练(四)
一.选择题 1.在一个 45? 的二面角的一平面内有一条直线与二面角的棱成 45? 角,则此直线与二面角 的另一平面所成的角为( A. ) B.

30?

45?

C.

60?

D. D1 A1

90?
C1 B1

2.如图,直平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长均为 2,

?BAD ? 60? ,则对角线 A1C 与侧面 DCC1D1 所成
的角的正弦值为( A. ) B.

1 2
2 2

3 2 3 4
) A1 A

D B

C

C.

D.

3.如图,在棱长为 3 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别是棱

A1B1、A1D1 的中点,则点 B 到平面 AMN 的距离是(
A.

D1 N M D A B B1

C1

9 2
6 5 5

B.

3

C.

D. 2

A

4.将 ?QMN ? 60? ,边长 MN=a 的菱形 MNPQ 沿对角线 NQ 折成

60? 的二面角,则 MP 与 NQ 间的距离等于(
A.

) C.

3 a 2

B.

3 a 4

6 a 4

D.

3 a 4

5.二面角 ? ? l ? ? 的平面角为 120 ? ,在 ? 内, AB ? l 于 B,AB=2,在 ? 内,CD ? l 于 D,

CD=3,BD=1, M 是棱 l 上的一个动点,则 AM+CM 的最小值为( )
A.

2 5

B.

2 2

C.

26

D.

2 6

6.空间四点 A、B、C、D 中,每两点所连线段的长都等于 a, 动点 P 在线段 AB 上, 动点 Q 在 线段 CD 上,则 P 与 Q 的最短距离为( )

18

A.

1 a 2

B.

2 a 2

C.

3 a 2

D. a

二、填空题 1.如图,在四棱柱 ABCD---A1B1C1D1 中,P 是 A1C1 上的动点,E 为 CD 上的动点,四边形 ABCD 满 足___________时,体积 VP ? AEB 恒为定值(写上 你认为正确的一个答案即可) 2.边长为 1 的等边三角形 ABC 中,沿 BC 边高线 AD 折起,使得折后二面角 B-AD-C 为 60°,则点 A 到 D A1

D1 P B1

C1

E A B

C

BC 的距离为_________,点 D 到平面 ABC 的距离
为__________. 三.解答题

1. 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面是矩形且 AD=2,AB=PA= 2 , PA⊥底面 ABCD,E 是 AD 的中点,F 在 PC 上. (1) 求 F 在何处时,EF⊥平面 PBC; (2) 在(1)的条件下,EF 是不是 PC 与 AD 的公垂线段.若是,求 出公垂线段的长度;若不是,说明理由; (3) 在(1)的条件下,求直线 BD 与平面 BEF 所成的角.

2.如图,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直,AB= 2 , AF=1,M 是线段

EF 的中点.
(1)求证 AM//平面 BDE; (2)求二面角 A?DF?B 的大小; (3)试在线段 AC 上确定一点 P,使得 PF 与

BC 所成的角是 60?.

立体几何基础训练(四) 参考答案
一.选择题 1.A 提示:由最小角定理知,此直线与另一面所成的角应小于等于它与交线所成的角,故 排除 C、D,又此二面角为 45°,则此直线与另一平面所成的角只能小于它与交线所成的角, 故选 A. 2.D 提示:由题意,A1 在面 DCC1D1 上的射影应在 C1D1 延长线 E 上,且 D1E=1,则∠A1CE 为所
19

求角,在 Rt△AA1C 中, A1C ?

AA12 ? AC 2 ? 4, A1 E ? 3 ,? sin ?A1CE ?

A1 E 3 ? . A1C 4

3.D 提示:由题图得 VB ? AMN ? VN ? AMB . ? ? h ? S ?AMN ?

1 3

1 3 ? ? S ?AMB 3 2

3S?AMB 3 ? 1 ? 32 2 ?h ? ? ? 2. 2S?AMN 2 ? S?AMN
4.B 提示:连结 MP、NQ 交于 O,由四边形 MNPQ 是菱形得 MP⊥NQ 于 O,将 MNQ 折起后易得

MO⊥QN,OP⊥QN,所以∠MOP=60°,且 QN⊥面 MOP,过 O 作 OH⊥MP,所以 OH⊥QN,从而 OH
为异面直线 MP、QN 的公垂线,经计算得 OH ?

3 a. 4

5.C 提示:把 ? 半平面展到半平面 ? 内,此时,连结 AC 与棱的交点为 M,这时 AM+CM 取最小
2 值等于 AC. (AM+CM)min= 1 ? ( 2 ? 3) ?

26 .

6.B 提示:P、Q 的最短距离即为异面直线 AB 与 CD 间的距离,当 P 为 AB 的中点,Q 为 CD 的中点时符合题意. 二.填空题 1.AB∥CD 提示: VP ? AEB ? 位置无关,则 AB∥CD 2.

1 ? hP ? S ?ABE ,要使体积为定值,则 S ?ABE 为定值,与 E 点 3

15 , 4

15 10

提示:作 DE ? BC 与 E,易知 AD ? 平面BCD ,从而 AE ? BC ,

?BDC ? 60? 又由 BD ? DC ?

3 3 1 ,得 DE ? ,又AD ? , 4 2 2

? AE ? DE 2 ? AD 2 ?
三.解答题

15 ,由可解的点到平面的距离为 4

15 10

1.解:(Ⅰ)以 A 为坐标原点,以射线 AD、AB、AP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标 系,则 p(0,0, 2 ),A(0,0,0),B(0, 2 ,0),C(2, 2 ,0),D(2,0,0),E(1, 0,0) ∵F 在 PC 上,∴可令 PF ? ? PC, 设 F(x,y,z)
BC ? ?2,0,0?, PC ? 2, 2 ,? 2 , EF ? ?x ? 1, y , z ?

?

?

∵EF⊥平面 PBC,∴ EF ? PC ? 0 且 EF ? BC ? 0 ,又 PF ? ? PC , 可得 ? ?
1 2 , x ? 1, y ? z ? 故 F 为 PC 的中点. 2 2
20

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知:EF⊥PC,且 EF⊥BC 即 EF⊥AD ∴EF 是 PC 与 AD 的公垂线段,其长为| EF |=1 (Ⅲ)由(Ⅰ)可知 PC ? 2, 2 ? 2 即为平面 BEF 的一个法向量而 BD ? 2,? 2 ,0 设 BD 与平面 BEF 所成角θ ,则:sinθ =cos BD ? PC ?
3 3 .故 BD 与平面 BEF 所成角为 arcsin 6 6
BD ? PC 3 ? BD ? PC 6

?

?

?

?

∴θ =arcsin

2.解法一: (1)记 AC 与 BD 的交点为 O,连接 OE, ∵O、M 分别是 AC、 EF 的中点,ACEF 是矩形,∴四边形 AOEM 是平行四边形, ∴AM∥OE. OE ? 平面 BDE, AM ? 平面 BDE, ∵ ∴AM∥平面 BDE. (2)在平面 AFD 中过 A 作 AS⊥DF 于 S, 连结 BS, ∵AB⊥AF, AB⊥AD, AD ? AF ? A, ∴AB⊥平面 ADF,∴AS 是 BS 在平面 ADF 上的射影, 由三垂线定理得 BS⊥DF.∴∠BSA 是二面角 A—DF—B 的平面角. 在 RtΔ ASB 中, AS ? 6 , AB ? 2,
3

∴ tan ?ASB ? 3, ?ASB ? 60?, ∴二面角 A—DF—B 的大小为 60?. (3)设 CP=t(0≤t≤2),作 PQ⊥AB 于 Q,则 PQ∥AD, ∵PQ⊥AB,PQ⊥AF, AB ? AF ? A ,∴PQ⊥平面 ABF,QF ? 平面 ABF,∴PQ⊥QF.在 RtΔ PQF 中,∠FPQ=60?,PF=2PQ.

2 (2 ? t ). 又∵Δ PAF 为直角 2 三角形,∴ PF ? (2 ? t ) 2 ? 1 ,∴ (2 ? t ) 2 ? 1 ? 2 ? 2 (2 ? t ). 所以 t=1 或
∵Δ PAQ 为等腰直角三角形,∴ PQ ?
2

t=3(舍去),即点 P 是 AC 的中点. 解法二: (1)建立如图所示的空间直角坐标系. 设 AC ? BD ? N ,连接 NE, 则点 N、E 的坐标分别是( ∴ NE ? (? 2 ,? 2 ,1) ,
2 2
( 2 , 2 ,0) ,(

2 2 、 (0,0,1), , ,0 ) 2 2

又点 A、M 的坐标分别是

2 2 , ,1) 2 2

2 2 ,? ,1) ∴ NE ? AM 且 NE 与 AM 2 2 不共线,∴NE∥AM.又∵ NE ? 平面 BDE, AM ? 平
∴ AM =( ? 面 BDE,∴AM∥平面 BDF. (2)∵AF⊥AB,AB⊥AD,AF ? AD ? A, ∴AB⊥平面 ADF. ∴ AB ? (? 2 ,0,0) 为平面 DAF 的法向量. ∵ NE ? DB =( ? 2 ,? 2 ,1) · (? 2 , 2 ,0) =0,
2 2 ∴ NE ? NF =( ? 2 ,? 2 ,1) · ( 2 , 2 ,0) =0 得 2 2

NE ? DB , NE ? NF ,∴NE 为平面 BDF 的法向量.
21

1 ∴AB 与 NE 的夹角是 60?.即所求二面角 A—DF—B 的大小是 60?. 2 (3)设 P(t,t,0)(0≤t≤ 2 )得 PF ? ( 2 ? t , 2 ? t ,1), ∴ BC =( 2 ,0,0)
∴cos< AB ? NE ? = 又∵PF 和 BC 所成的角是 60?.∴ cos 60? ?
( 2 ? t) ? 2 ( 2 ? t)2 ? ( 2 ? t)2 ? 1 ? 2

解得 t ? 2 或 t ? 3 2 (舍去) ,即点 P 是 AC 的中点. 2 2

立体几何基础训练(五)
一、选择题 1.在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,各棱长相等,侧掕垂直于底面,点 D 是侧面 BB1C1C 的中心, 则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是 ( A. 30? B. 45? C. 60? ) D. 90?
w.w.w.k.s.5. u.c.o. m

2.一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A. 2? ? 2 3 B. 4? ? 2 3

).

2 3 C. 2? ? 3

2 3 D. 4? ? 3

2

2

2 2 侧(左)视图

俯视图

2 正(主)视图

3.已知α ,β 表示两个不同的平面,m 为平面α 内的一条直线,则“ ? ? ? ”是“ m ? ? ” 的( ) B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件

4.已知三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱与底面边长都相等, A1 在底面 ABC 上的射影为 BC 的 中点,则异面直线 AB 与 CC1 所成的角的余弦值为( )

(A)

3 4

(B)

5 4

(C)

7 4

(D)

3 4

5.已知正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA1 ? 2 AB, 为 AA1 中点,则异面直线 BE 与 CD1 E 所成的角的余弦值为 ( )
22

A.

10 10

B.

1 5

C.

3 10 10

D.

3 5

6.如图,已知六棱锥 P ? ABCDEF 的底面是正六边形, PA ? 平面ABC , PA ? 2 AB ,则 下列结论正确的是 A. PB ? AD C. 直线 BC ∥平面 PAE B.平面 PAB ? 平面PBC D. 直线PD与平面ABC所成的角为45
?

二、填空题 1.如图,在长方形 ABCD 中, AB ? 2 , BC ? 1 , E 为 DC 的中点, F 为线段 EC (端点 除外)上一动点.现将 ?AFD 沿 AF 折起,使平面 ABD ? 平面 ABC .在平面 ABD 内过 点 D 作 DK ? AB , K 为垂足.设 AK ? t ,则 t 的取值范围是 .

2.在空间直角坐标系中,已知点 A(1,0,2),B(1,-3,1),点 M 在 y 轴上,且 M 到 A 与 到 B 的距离相等,则 M 的坐标是________。 三.解答题 1.如图,正方形 ABCD 所在平面与平面四边形 ABEF 所在平面互相垂直,△ ABE 是等腰 直角三角形, AB ? AE , FA ? FE , ?AEF ? 45 (I)求证: EF ? 平面BCE ; (II)设线段 CD 、 AE 的中点分别为 P 、 M ,求证: PM ∥ 平面BCE (III)求二面角 F ? BD ? A 的大小。
?

E W F A D C M B

P

2. 如图, 四棱锥 S=ABCD 的底面是正方形, SD⊥平面 ABCD,SD =AD=a,点 E 是 SD 上的点,且 DE= ? a(0< ? ≦1).
23

(Ⅰ)求证:对任意的 ? ? (0、1) ,都有 AC⊥BE: (Ⅱ)若二面角 C-AE-D 的大小为 60 C,求 ? 的值。
0

立体几何基础训练(五) 参考答案
一选择题 1.【答案】 :C 【解析】 :取 BC 的中点 E,则 AE ? 面 BB1C1C ,
w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

? AE ? DE ,因此 AD 与平面 BB1C1C 所成角即为 ?ADE ,设 AB ? a ,则 AE ?
DE ? a ,即有 tan ?ADE ? 3,??ADE ? 600 . 2

3 a, 2

2.【答案】:C 【解析】 :该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,圆柱的底面半径为 1,高为 2,体积为 2? , 四棱锥的底面边长为 2 ,高为 3 ,所以体积为 ?

1 3

? 2? ?
2

3?

2 3 3

所以该几何体的体积为 2? ?

2 3 . 3

【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力, 由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地 计算出.几何体的体积.
w.w.w.k.s.5.u.c.o. m

3.【答案】:B. 【解析】:由平面与平面垂直的判定定理知如果 m 为平面α 内的一条直线, m ? ? ,则

? ? ? ,反过来则不一定.所以“ ? ? ? ”是“ m ? ? ”的必要不充分条件 .
【命题立意】:本题主要考查了立体几何中垂直关系的判定和充分必要条件的概念. 4.【答案】 :D 【解析】 设 BC 的中点为 D, : 连结 A1 D, 易知 ? ? ?A1 AB 即为异面直线 AB AD, 与 CC1 所成的角,由三角余弦定理,
C D
24

C 1 A1 B 1

A

B

易知 cos ? ? cos ?A1 AD ? cos ?DAB ? 5.【答案】 :C

AD AD 3 ? ? .故选 D A1 A AB 4

【解析】 :令 AB ? 1则 AA1 ? 2 ,连 A1 B ? C1 D ∥ A1 B ?异面直线 BE 与 CD1 所成的角即

A1B 与 BE 所成的角。在 ?A1BE 中由余弦定理易得 cos ?A1 BE ?
6.【答案】 :D

3 10 。 10

【考点定位】本小题考查空间里的线线、线面关系,基础题。 解:由三垂线定理,因 AD 与 AB 不相互垂直,排除 A;作 AG ? PB 于 G , 因面 PAB ? 面 ABCDEF,而 AG 在面 ABCDEF 上的射影在 AB 上,而 AB 与 BC 不相互垂直, 故排除 B;由 BC // EF ,而 EF 是平面 PAE 的斜线,故排除 C,故选择 D。 解析 2:设低面正六边形边长为 a ,则 AD ? 2a ,PA ? 2AB ? 2 ,由 PA ? 平面 ABC 可知 a

PA ? AD , PA 且 AD ,所以在 Rt ?PAE 中有直线 PD 与平面 PAE 所成的角为 45? ,故应
选 D。 二、填空题(4 题,每题 5 分) 1.【答案】 ? :

?1 ? ,1? ?2 ?

【解析】此题的破解可采用二个极端位置法,即对于 F 位于 DC 的中点时, t ? 1 ,随着 F 点 到 C 点 时 , 因 CB ? AB, CB ? DK ,?CB ? 平 面 A D B, 即 有 C B ? B D, 对 于

C D ? 2 , B C? 1, B D? ?
的取值范围是 ?

3 AD ? 1, AB ? 2 ,因此有 AD ? BD ,则有 t ? ,又

1 ,因此 t 2

?1 ? ,1? ?2 ?

w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m

2.【答案】 (0,-1,0)

w.w.w.k.s. 5.u.c.o.m

【解析】设 M (0, y,0) 由 1 ? y ? 4 ? 1 ? (?3 ? y) ? 1 可得 y ? ?1 故 M (0, ?1, 0)
2 2 2

三.解答题 1.【解析】解法一: 因为平面 ABEF⊥平面 ABCD,BC ? 平面 ABCD,BC⊥AB,平面 ABEF∩平面 ABCD=AB, 所以 BC⊥平面 ABEF. 所以 BC⊥EF. 因为⊿ABE 为等腰直角三角形,AB=AE, 所以∠AEB=45°, 又因为∠AEF=45,
25

所以∠FEB=90°,即 EF⊥BE. 因为 BC ? 平面 ABCD, BE ? 平面 BCE, BC∩BE=B

w.w.w.k.s.5.u. c.o.m

所以 EF ? 平面BCE ???????6 分 (II)取 BE 的中点 N,连结 CN,MN,则 MN

1 AB 2

PC

∴ PMNC 为平行四边形,所以 PM∥CN. ∵ CN 在平面 BCE 内,PM 不在平面 BCE 内, ∴ PM∥平面 BCE. ????????????????8 分 (III)由 EA⊥AB,平面 ABEF⊥平面 ABCD,易知 EA⊥平面 ABCD. 作 FG⊥AB,交 BA 的延长线于 G,则 FG∥EA.从而 FG⊥平面 ABCD, 作 GH⊥BD 于 H,连结 FH,则由三垂线定理知 BD⊥FH. ∴ ∠FHG 为二面角 F-BD-A 的平面角. ∵ FA=FE,∠AEF=45°, ∠AEF=90°, ∠FAG=45°. 设 AB=1,则 AE=1,AF=

2 1 ,则 FG ? AF ? sin FAG ? 2 2

在 Rt⊿BGH 中, ∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+

1 3 = , 2 2

w.w.w.k.s.5 .u. c.o. m

GH ? BG ? sin GBH ?

3 2 3 2 ? ? , 2 2 4 FG 2 ? , GH 3 2 ???????????12 分 3

在 Rt⊿FGH 中, tan FHG ?



二面角 F ? BD ? A 的大小为 arc tan

解法二: 因 ?ABE 等腰直角三角形, AB ? AE ,所以 AE ? AB 又因为平面 ABEF ? 平面ABCD ? AB ,所以 AE ⊥平面 ABCD , 所以 AE ? AD 即 AD、AB、AE 两两垂直;如图建立空间直角坐标系, (I) 设 AB ? 1 ,则 AE ? 1 , B(0,1,0), D(1,0,0), E (0,0,1), C (1,1,0) ∵ FA ? FE, ?AEF ? 45? ,∴ ?AFE=90 0 , 从而 F(0,- , )

1 1 2 2 1 1 EF ? (0,? ,? ) , BE ? (0,?1,1), BC ? (1,0,0) 2 2
26

于是 EF ? BE ? 0 ? ∴

1 1 ? ? 0 , EF ? BC ? 0 2 2

EF ⊥ BE , EF ⊥ BC
∴ EF ? 平面BCE

∵ BE ? 平面 BCE , BC ? 平面 BCE , BC ? BE ? B (II) M (0,0, ), P(1,

1 1 1 ,0) ,从而 PM ? (?1,? , ) 2 2 2 1 1 1 1 1 1 于是 PM ? EF ? (?1,? , ) ? (0,? ,? ) ? 0 ? ? ? 0 2 2 2 2 4 4 ∴ PM ⊥ EF ,又 EF ⊥平面 BCE ,直线 PM 不在平面 BCE 内, 故 PM ∥平面 BCE

1 2

(III)设平面 BDF 的一个法向量为 n1 ,并设 n1 =( x, y, z )

3 1 BD ? (1,?1,0), BF ? (0,? , ) 2 2

?n1 ? BD ? 0 ? ? ?n1 ? BF ? 0 ?

?x ? y ? 0 ? 即? 3 1 ?? 2 y ? 2 z ? 0 ?

w.w.w.k. s.5.u.c. o.m

取 y ? 1 ,则 x ? 1, z ? 3 ,从而 n1 =(1,1,3) 取平面 ABD D 的一个法向量为 n 2 ? (0,0,1)

cos ? n1、2 ?? n

n1 ? n2 n1 ? n2

?

3 11 ? 1

?

3 11 11

,故二面角 F ? BD? A的大小 为

arccos

3 11 11

2.本小题主要考察空间直线与直线、直线与平面的位置关系和二面角等基础知识,考查空间 想象能力、推理论证能力和运算求解能力。 (满分 12 分) (Ⅰ)证发 1:连接 BD,由底面是正方形可得 AC ? BD。

?SD ? 平面ABCD,?BD 是 BE 在平面 ABCD 上的射影,
由三垂线定理得 AC ? BE. (II)解法 1:?SD ? 平面 ABCD,CD ? 平面ABCD,? SD ? CD. 又底面ABCD是正方形,? CD ? AD,又SD ? AD=D,?CD ? 平面 SAD。 过点 D 在平面 SAD 内做 DF ? AE 于 F,连接 CF,则 CF ? AE, 故 ? CFD 是二面角 C-AE-D 的平面角,即 ? CFD=60°

27

在 Rt△ADE 中,?AD= a , DE= 于是,DF=

?a , AE= a ?2 ? 1 。

AD ? DE ? AE

?a ?2 ? 1
DF ? CD

在 Rt△CDF 中,由 cot60°=

? ?2 ? 1



? ? ?1
2

?

3 , 3
2 2

即 3? ? 3 =3 ?
2

? ? (0,1] , 解得 ? =

28


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