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湖南省株洲三中2015届高三上学期期中数学试卷(理科)


湖南省株洲三中 2015 届高三上学期期中数学试卷(理科)
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 2 1. (5 分)已知集合 M={x|(x﹣1) <4,x∈R},N={﹣1,0,1,2,3},则 M∩N=() A.{0,1,2} B.{﹣1,0,1,2} C.{﹣1,0,2,3} D.{0,1,2,3} 2. (5 分)已知 A.﹣1

B. 1 ,其中 i 为虚数单位,则 a+b=() C. 2 D.3

3. (5 分)下列命题中真命题是() A. C. ?x∈R,x ≥x﹣1
2

B. ?x∈(﹣∞,0) ,2 >1 D.?x∈(0,π) ,sinx>cosx

x

4. (5 分)设函数 f(x)= () A.1 个

,则函数 g(x)=f(x)﹣log2x 的零点个数为

B. 2 个

C. 3 个

D.4 个

5. (5 分)函数 y=

的图象大致是()

A.

B.

C.

D. 6. (5 分)给定两个命题 p,q.若¬p 是 q 的必要而不充分条件,则 p 是¬q 的() A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件

7. (5 分)若函数 f(x)= A.lg101 B. 2
x

,则 f(f(10) )=() C. 1 D.0

8. (5 分)若存在正数 x 使 2 (x﹣a)<1 成立,则 a 的取值范围是() A.(﹣∞,+∞) B.(﹣2,+∞) C.(0,+∞) D.(﹣1,+∞) 9. (5 分)已知函数 A. C. (﹣∞,﹣1)∪(3,+∞) 10. (5 分)若函数 b 为常数) ,则函数 f(x)在(0,+∞)上 () A.有最大值 5 B.有最小值 5 ,则不等式 f(2﹣x )+f(2x+1)>0 的解集是() B. D.(﹣1,3) 在(﹣∞,0)上有最小值﹣5, (a,
2

C.有最大值 3

D.有最大值 9

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 25 分) (11、12、13 任选两小题作答,若三 道题都作答,则取前两题计分) 11. (5 分)如图,在△ ABC 中,∠C=90°,∠A=60°,AB=20,过 C 作△ ABC 的外接圆的切 线 CD,BD⊥CD,BD 与外接圆交于点 E,则 DE 的长为.

12. (5 分)在极坐标系中,点(2,

)到直线 ρsinθ=2 的距离等于.

13.在实数范围内,不等式||x﹣2|﹣1|≤1 的解集为. 14. (5 分)曲线 f(x)=x +alnx 在点(1,f(1) )处的切线斜率为 4,则 a=. 15. (5 分)函数 f(x)= 的定义域为.
2

16. (5 分)已知 f(x)=

,θ∈,则 f′(1)取值范围为.

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 17. (12 分)计算: (1)2 + + ?log5 .
2





(2)log22?log3

18. (12 分)已知集合 A={x|2﹣a≤x≤2+a},B={x|x ﹣5x+4≥0}, (1)当 a=3 时,求 A∩B,A∪(?RB) ; (2)若 A∩B=?,求实数 a 的取值范围. 19. (12 分)已知函数 f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数,且满足 f(xy)=f(x)+f(y) , f(3)=1 (1)求 f(9) ,f(27)的值 (2)解不等式 f(x)+f(x﹣8)<2. 20. (13 分)如图 1,在边长为 1 的等边三角形 ABC 中,D,E 分别是 AB,AC 边上的点, AD=AE,F 是 BC 的中点,AF 与 DE 交于点 G,将△ ABF 沿 AF 折起,得到如图 2 所示的三 棱锥 A﹣BCF,其中 BC= .

(1)证明:DE∥平面 BCF; (2)证明:CF⊥平面 ABF; (3)当 AD= 时,求三棱锥 F﹣DEG 的体积 VF﹣DEG.

21. (13 分)一个盒子里装有 7 张卡片,其中有红色卡片 4 张,编号分别为 1,2,3,4; 白 色卡片 3 张,编号分别为 2,3,4.从盒子中任取 4 张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能 性相同) . (Ⅰ)求取出的 4 张卡片中,含有编号为 3 的卡片的概率. (Ⅱ)在取出的 4 张卡片中,红色卡片编号的最大值设为 X,求随机变量 X 的分布列和数学 期望.

22. (13 分)已知函数 f(x)=x +ax+b,g(x)=e (cx+d)若曲线 y=f(x)和曲线 y=g(x) 都过点 P(0,2) ,且在点 P 处有相同的切线 y=4x+2. (Ⅰ)求 a,b,c,d 的值; (Ⅱ)若 x≥﹣2 时,f(x)≤kg(x) ,求 k 的取值范围.

2

x

湖南省株洲三中 2015 届高三上学期期中数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 2 1. (5 分)已知集合 M={x|(x﹣1) <4,x∈R},N={﹣1,0,1,2,3},则 M∩N=() A.{0,1,2} B.{﹣1,0,1,2} C.{﹣1,0,2,3} D.{0,1,2,3} 考点: 交集及其运算;一元二次不等式的解法. 专题: 计算题. 分析: 求出集合 M 中不等式的解集,确定出 M,找出 M 与 N 的公共元素,即可确定出两 集合的交集. 解答: 解:由(x﹣1) <4,解得:﹣1<x<3,即 M={x|﹣1<x<3}, ∵N={﹣1,0,1,2,3}, ∴M∩N={0,1,2}. 故选 A 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
2

2. (5 分)已知 A.﹣1 B. 1

,其中 i 为虚数单位,则 a+b=() C. 2 D.3

考点: 复数代数形式的混合运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 先化简复数,再利用复数相等,解出 a、b,可得结果. 解答: 解:由 另解:由 得 a+2i=bi﹣1,所以由复数相等的意义知 a=﹣1,b=2,所以 a+b=1 得﹣ai+2=b+i(a,b∈R) ,则﹣a=1,b=2,a+b=1.

故选 B. 点评: 本题考查复数相等的意义、复数的基本运算,是基础题. 3. (5 分)下列命题中真命题是() A. C. ?x∈R,x ≥x﹣1
2

B. ?x∈(﹣∞,0) ,2 >1 D.?x∈(0,π) ,sinx>cosx

x

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 常规题型. 分析: 根据倍角公式及三角函数的值域,我们可以判断 A 的正误,根据指数函数的性质, 我们可以判断 B 的真假,解一元二次不等式,可以判断 C 的正误,根据三角函数的性质,我 们可判断 D 的对错,进而得到答案. 解答: 解:∵sinxcosx= sin2x,若 sinxcosx= ,则 sin2x= >1,故 A 错误; ∵当 x∈(﹣∞,0) ,2 <1 恒成立,故 B 错误; 2 2 2 ∵方程 x ﹣x+1=0 的△ =1﹣4=﹣3<0,函数 y=x ﹣x+1 的图象为开口朝上的抛物线,故 x ﹣ 2 x+1≥0 恒成立,即?x∈R,x ≥x﹣1,故 C 正确; ∵当 x= ∈∈(0,π) ,sinx=cosx,故?x∈(0,π) ,sinx>cosx,故 D 错误;
x

故选 C 点评: 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用,其中利用函数的性质,逐一分析四个 结论的正误是解答本题的关键.

4. (5 分)设函数 f(x)= () A.1 个

,则函数 g(x)=f(x)﹣log2x 的零点个数为

B. 2 个

C. 3 个

D.4 个

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 令 g(x)=0,得到方程 f(x)=log2x,然后分别作出函数 y=f(x)与 y=log2x 的图象, 观察交点的个数,即为函数 g(x)的零点个数. 解答: 解:g(x)=0 得 f(x)=log2x,在同一坐标系下分别作出函数 y=f(x)与 y=log2x 的图象, 如图: 由图象可知两个图象共有 3 个交点, 则函数 g(x)=f(x)﹣log2x 的零点个数为 3 个. 故选 C.

点评: 本题考查函数与方程问题,求解此类问题的基本方法是令 g(x)=0,将函数分解为 两个基本初等函数,然后在同一坐标系下,作出两函数的图象,则两函数图象的交点个数,即 为函数零点的个数.

5. (5 分)函数 y=

的图象大致是()

A.

B.

C.

D. 考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数的定义域排除 C,再利用 x=﹣1,排除 A,再根据 x 趋向于正穷时,函数的 值趋向于 0,故排除 D,问题得以解决. 解答: 解:因为函数的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞) ,故排除 C. 当 x=﹣1 时,y=﹣2,故排除 A,

当 x 趋向于正穷时,函数的值趋向于 0,故排除 D, 故选:B 点评: 本题主要考查了指数函数和幂函数的图象和性质,选特殊的值时关键,属于基础题. 6. (5 分)给定两个命题 p,q.若¬p 是 q 的必要而不充分条件,则 p 是¬q 的() A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;命题的否定. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据互为逆否命题真假性相同,可将已知转化为 q 是?p 的充分不必要条件,进而根 据逆否命题及充要条件的定义得到答案. 解答: 解:∵?p 是 q 的必要而不充分条件, ∴q 是?p 的充分不必要条件,即 q??p,但?p 不能?q, 其逆否命题为 p??q,但?q 不能?p, 则 p 是?q 的充分不必要条件. 故选 A. 点评: 本题考查的知识点是充要条件的判断,其中将已知利用互为逆否命题真假性相同, 转化为 q 是?p 的充分不必要条件,是解答的关键.

7. (5 分)若函数 f(x)= A.lg101 B. 2

,则 f(f(10) )=() C. 1 D.0

考点: 函数的值. 专题: 计算题. 分析: 通过分段函数,直接求出 f(10) ,然后求出 f(f(10)的值. 解答: 解:因为函数 f(x)= ,

所以 f(10)=lg10=1; f(f(10)=f(1)=2. 故选 B. 点评: 本题考查分段函数的值的求法,考查计算能力. 8. (5 分)若存在正数 x 使 2 (x﹣a)<1 成立,则 a 的取值范围是() A.(﹣∞,+∞) B.(﹣2,+∞) C.(0,+∞) D.(﹣1,+∞) 考点: 其他不等式的解法;函数单调性的性质. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 转化不等式为 ,利用 x 是正数,通过函数的单调性,求出 a 的范围即可.
x

解答: 解:因为 2 (x﹣a)<1,所以 函数 y=

x



是增函数,x>0,所以 y>﹣1,即 a>﹣1,

所以 a 的取值范围是(﹣1,+∞) . 故选:D. 点评: 本题考查不等式的解法,函数单调性的应用,考查分析问题解决问题的能力.
2

9. (5 分)已知函数 A. C. (﹣∞,﹣1)∪(3,+∞) 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 计算题. 分析: 注意函数 后,利用单调性来解. 解答: 解:函数
2

,则不等式 f(2﹣x )+f(2x+1)>0 的解集是() B. D.(﹣1,3)

在定义域内是奇函数且是单调增函数,将不等式等价转化

在定义域内是奇函数且是单调增函数,不等式即:f(2﹣

x )>f(﹣2x﹣1) , 2 2 ∴2﹣x >﹣2x﹣1,即:x ﹣2x﹣3<0, ∴﹣1<x<3, 故答案选 D. 点评: 本题中,函数表达式只说明函数是奇函数,且是增函数,没有必要根据 f(x)的解 析式求 f(2﹣x )和 f(2x+1)得解析式. 10. (5 分)若函数 b 为常数) ,则函数 f(x)在(0,+∞)上 () A.有最大值 5 B.有最小值 5 考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 计算题;导数的综合应用. 分析: 先令 g(x)=ax +blog2(x+
3 2

在(﹣∞,0)上有最小值﹣5, (a,

C.有最大值 3

D.有最大值 9

) ,判断其奇偶性,再由函数 在(﹣∞,0)上有最小值﹣5,得到函数 g(x)在

(﹣∞,0)上有最小值﹣7,从而有 g(x)在(0,+∞)上有最大值 7,则由 f(x)=g(x) +2 得到结论. 解答: 解:令 g(x)=ax +blog2(x+ 其定义域为 R,
3

) ,

又 g(﹣x)=a(﹣x) +blog2(﹣x+ =﹣=﹣g(x) 所以 g(x)是奇函数. 由根据题意:

3



在(﹣∞,0)上有最小值﹣5,

所以函数 g(x)在(﹣∞,0)上有最小值﹣7, 由函数 g(x)在(0,+∞)上有最大值 7, 所以 f(x)=g(x)+2 在(0,+∞)上有最大值 9. 故选 D. 点评: 本题主要考查函数的构造进而研究性质,若看到 x 与﹣x 这样的信息,一般与函数的 奇偶性有关. 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 25 分) (11、12、13 任选两小题作答,若三 道题都作答,则取前两题计分) 11. (5 分)如图,在△ ABC 中,∠C=90°,∠A=60°,AB=20,过 C 作△ ABC 的外接圆的切 线 CD,BD⊥CD,BD 与外接圆交于点 E,则 DE 的长为 5.

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 直线与圆. 分析: 利用直角△ ABC 的边角关系即可得出 BC, 利用弦切角定理可得∠BCD=∠A=60°. 利 2 用直角△ BCD 的边角关系即可得出 CD,BD.再利用切割线定理可得 CD =DE?DB,即可得 出 DE. 解答: 解:在△ ABC 中,∠C=90°,∠A=60°,AB=20,∴BC=AB?sin60°= . ∵CD 是此圆的切线,∴∠BCD=∠A=60°. 在 Rt△ BCD 中,CD=BC?cos60°= ,BD=BC?sin60°=15. 由切割线定理可得 CD =DE?DB,∴
2

,解得 DE=5.

故答案为 5. 点评: 熟练掌握直角三角形的边角关系、弦切角定理、切割线定理是解题的关键.

12. (5 分)在极坐标系中,点(2,

)到直线 ρsinθ=2 的距离等于



考点: 专题: 分析: 解答:

简单曲线的极坐标方程. 坐标系和参数方程. 直线 ρsinθ=2 化为 y=2.即可得出. 解:直线 ρsinθ=2 化为 y=2.

∴点(2, 故答案为:

)到直线 ρsinθ=2 的距离= .



点评: 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式,属于基础题. 13.在实数范围内,不等式||x﹣2|﹣1|≤1 的解集为. 考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 选作题;不等式. 分析: 利用绝对值不等式的等价形式,利用绝对值不等式几何意义求解即可. 解答: 解:不等式||x﹣2|﹣1|≤1 的解集,就是﹣1≤|x﹣2|﹣1≤1 的解集,也就是 0≤|x﹣2|≤2 的 解集, 0≤|x﹣2|≤2 的几何意义是数轴上的点到 2 的距离小于等于 2 的值,所以不等式的解为:0≤x≤4. 所以不等式的解集为. 故答案为: . 点评: 本题考查绝对值不等式的解法,绝对值不等式的几何意义,注意不等式的等价转化 是解题的关键. 14. (5 分)曲线 f(x)=x +alnx 在点(1,f(1) )处的切线斜率为 4,则 a=2. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 由求导公式求导函数,由题意得求出 f′(1)=4,代入求出 a 的值. 解答: 解:由题意得 f(x)=x +alnx,则 f′(x)=2x+ , 因为在点(1,f(1) )处的切线斜率为 4, 所以 f′(1)=4,即 2+a=4,解得 a=2, 故答案为:2. 点评: 本题考查导数的几何意义,属于基础题. 15. (5 分)函数 f(x)= 的定义域为(0,2].
2 2

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由二次根式的被开方数大于或等于 0,且对数的真数大于 0,可求出 x 的取值范围. 解答: 解:∵f(x)= ∴1﹣2log4x≥0, 即 log4x≤ ; 解得 0<x≤2, ∴f(x)的定义域是(0,2]. ,

故答案为: (0,2]. 点评: 本题考查了求函数的定义域的问题,求函数的定义域,应使函数的解析式有意义, 从而列出不等式(组) ,求出自变量的取值范围,通常是基础题. ,θ∈,则 f′(1)取值范围为.

16. (5 分)已知 f(x)=

考点: 导数的运算. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 由导数的运算和三角函数公式易得 f′(1)=2sin(θ+ 知识可得. 解答: 解:∵f(x)= ∴f′(x)=sinθ?x + cosθ?x ∴f′(1)=sinθ+ cosθ =2( sinθ+ ∵θ∈,∴θ+ ∴sin(θ+ cosθ)=2sin(θ+ ∈, )∈,∴2sin(θ+ )∈, ) ,
2

) ,由 θ 的范围和三角函数的



∴f′(1)取值范围为: 故答案为: 点评: 本题考查导数的运算,涉及三角函数的值域,属基础题. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 17. (12 分)计算: (1)2 + + ?log5 . ﹣ ;

(2)log22?log3

考点: 对数的运算性质;根式与分数指数幂的互化及其化简运算. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)化负指数为正指数,化 0 指数幂为 1,然后直接利用有理指数幂的运算性质化 简求值; (2)直接利用对数的运算性质化简求值. 解答: 解: (1)2 + + ﹣

=

= =2 ; ?log5

(2)log22?log3 =

=﹣4log32×(﹣2log53) =8× =8log52. 点评: 本题考查了有理指数幂的化简求值,考查了对数的运算性质,是基础的计算题. 18. (12 分)已知集合 A={x|2﹣a≤x≤2+a},B={x|x ﹣5x+4≥0}, (1)当 a=3 时,求 A∩B,A∪(?RB) ; (2)若 A∩B=?,求实数 a 的取值范围. 考点: 集合关系中的参数取值问题;交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: (1)当 a=3 时,求出集合 A,B,然后求出 CRB,即可求 A∩B,A∪(CRB) ; (2)若 A∩B=Φ,只需 2﹣a>1,并且 2+a<4,即可求实数 a 的取值范围. 解答: 解: (1)当 a=3 时,A={x|﹣1≤x≤5},B={x|x ﹣5x+4≥0}={x|x≤1 或 x≥4}, CRB={x|1<x<4} 所以 A∩B={x|﹣1≤x≤5}∩{x|x≤1 或 x≥4}={x|﹣1≤x≤1 或 4≤x≤5}, A∪(CRB)={x|﹣1≤x≤5}∪{x|1<x<4}={x|﹣1≤x≤5}; (2)A∩B=Φ 所以 或 2﹣a>2+a,解得 a<1 或 a<0,
2 2

所以 a 的取值范围是(﹣∞,1) 点评: 本题考查集合的基本运算,不等式的解集的求法,注意等价变形的应用,常考题型. 19. (12 分)已知函数 f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数,且满足 f(xy)=f(x)+f(y) , f(3)=1 (1)求 f(9) ,f(27)的值 (2)解不等式 f(x)+f(x﹣8)<2. 考点: 抽象函数及其应用;函数单调性的性质. 专题: 计算题. 分析: (1)从分利用条件 f(xy)=f(x)+f(y) ,f(3)=1, (2)利用条件:函数 f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数,列出不等式组,解出此不等式 组.

解答: 解: (1)f(9)=f(3)+f(3)=2, f(27)=f(9)+f(3)=3 (2)∵f(x)+f(x﹣8)=f<f(9) 而函数 f(x)是定义在(0,+∞)上为增函数,



即原不等式的解集为(8,9) 点评: 本题考查抽象函数的定义域、单调性及函数值. 20. (13 分)如图 1,在边长为 1 的等边三角形 ABC 中,D,E 分别是 AB,AC 边上的点, AD=AE,F 是 BC 的中点,AF 与 DE 交于点 G,将△ ABF 沿 AF 折起,得到如图 2 所示的三 棱锥 A﹣BCF,其中 BC= .

(1)证明:DE∥平面 BCF; (2)证明:CF⊥平面 ABF; (3)当 AD= 时,求三棱锥 F﹣DEG 的体积 VF﹣DEG.

考点: 直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离;立体几何. 分析: (1)在等边三角形 ABC 中,由 AD=AE,可得 ,在折叠后的三棱锥 A﹣BCF

中也成立,故有 DE∥BC,再根据直线和平面平行的判定定理证得 DE∥平面 BCF. (2)由条件证得 AF⊥CF ①,且
2 2 2

.在三棱锥 A﹣BCF 中,由

,可得

BC =BF +CF ,从而 CF⊥BF②,结合①②,证得 CF⊥平面 ABF. (3)由(1)可知 GE∥CF,结合(2)可得 GE⊥平面 DFG.再由 ,运算求得结果. 解答: 解: (1)在等边三角形 ABC 中,AD=AE,∴ 中也成立, ,在折叠后的三棱锥 A﹣BCF

∴DE∥BC. 又∵DE?平面 BCF,BC?平面 BCF, ∴DE∥平面 BCF. (2)在等边三角形 ABC 中,F 是 BC 的中点,所以 AF⊥BC,即 AF⊥CF ①,且 ∵在三棱锥 A﹣BCF 中, ,∴BC =BF +CF ,∴CF⊥BF②.
2 2 2



又∵BF∩AF=F,∴CF⊥平面 ABF. (3)由(1)可知 GE∥CF,结合(2)可得 GE⊥平面 DFG. ∴ = .

点评: 本题主要考查直线和平面平行的判定定理、直线和平面垂直的判定的定理的应用, 用等体积法求三棱锥的体积,属于中档题. 21. (13 分)一个盒子里装有 7 张卡片,其中有红色卡片 4 张,编号分别为 1,2,3,4; 白 色卡片 3 张,编号分别为 2,3,4.从盒子中任取 4 张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能 性相同) . (Ⅰ)求取出的 4 张卡片中,含有编号为 3 的卡片的概率. (Ⅱ)在取出的 4 张卡片中,红色卡片编号的最大值设为 X,求随机变量 X 的分布列和数学 期望. 考点: 离散型随机变量及其分布列;古典概型及其概率计算公式;离散型随机变量的期望 与方差. 专题: 概率与统计. 分析: (I)从 7 张卡片中取出 4 张的所有可能结果数有 ,然后求出取出的 4 张卡片中,

含有编号为 3 的卡片的结果数,代入古典概率的求解公式即可求解 (II)先判断随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4,根据题意求出随机变量的各个取值 的概率,即可求解分布列及期望值 解答: 解: (I)设取出的 4 张卡片中,含有编号为 3 的卡片为事件 A,则 P(A)= =

所以,取出的 4 张卡片中,含有编号为 3 的卡片的概率为 (II)随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4 P(X=1)=

P(X=2)=

P(X=3)=

=

P(X=4)= X 的分布列为 EX= x P 1

=

= 2 3 4

点评: 本题主要考查了古典概型及计算公式,互斥事件、离散型随机变量的分布列及期望 值的求解,考查了运用概率知识解决实际问题的能力. 22. (13 分)已知函数 f(x)=x +ax+b,g(x)=e (cx+d)若曲线 y=f(x)和曲线 y=g(x) 都过点 P(0,2) ,且在点 P 处有相同的切线 y=4x+2. (Ⅰ)求 a,b,c,d 的值; (Ⅱ)若 x≥﹣2 时,f(x)≤kg(x) ,求 k 的取值范围. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;函数恒成立问题. 专题: 压轴题;导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)对 f(x) ,g(x)进行求导,已知在交点处有相同的切线及曲线 y=f(x)和曲 线 y=g(x)都过点 P(0,2) ,从而解出 a,b,c,d 的值; (Ⅱ)由(I)得出 f(x) ,g(x)的解析式,再求出 F(x)及它的导函数,通过对 k 的讨论, 判断出 F(x)的最值,从而判断出 f(x)≤kg(x)恒成立,从而求出 k 的范围. 解答: 解: (Ⅰ)由题意知 f(0)=2,g(0)=2,f′(0)=4,g′(0)=4, x 而 f′(x)=2x+a,g′(x)=e (cx+d+c) ,故 b=2,d=2,a=4,d+c=4, 从而 a=4,b=2,c=2,d=2; (Ⅱ)由(I)知,f(x)=x +4x+2,g(x)=2e (x+1) x 2 设 F(x)=kg(x)﹣f(x)=2ke (x+1)﹣x ﹣4x﹣2, x x 则 F′(x)=2ke (x+2)﹣2x﹣4=2(x+2) (ke ﹣1) , 由题设得 F(0)≥0,即 k≥1, 令 F′(x)=0,得 x1=﹣lnk,x2=﹣2, 2 ①若 1≤k≤e ,则﹣2<x1≤0,从而当 x∈(﹣2,x1)时,F′(x)<0,当 x∈(x1,+∞)时,F′ (x)>0, 即 F(x)在(﹣2,x1)上减,在(x1,+∞)上是增,故 F(x)在. 点评: 此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程,函数恒成立问题,考查分类讨论 思想,解题的关键是能够利用导数工具研究函数的性质,此题是一道中档题.
2 x 2 x


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