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2012届高三第四次模拟数学(理)


2012 届高三第四次模拟

数学(理)试题
本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1. 答题前,考生先将自己的姓名、学生代号填写清楚; 2. 选择题必须使用2B铅笔填涂; 3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答, 超出答题区域书写的答案无效; 在草稿纸、 试题卷

上答题无效。

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题分别给出四个选项,只有 一个选项符合题意) 1.已知集合 A ? x x ? 2, x ? R , B ? x log 2 A. (0, 2) 2.已知复数 z ? B. (0, 2] C. ?1, 2?

?

?

?

x ? 2, x ? Z ,则 A ? B ? (
D.

?

)

?0,1, 2?
)

1 ? 3i , z 是 z 的共轭复数,则 z ? z 等于( 3 ?i
B.4 C.1 D.

A.16 3.设曲线 y ? A.2

x ?1 在点(3,2) x ?1
B. ?2

1 16
)

处的切线与直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂直,则 a ? ( C. ?

4.已知 p, q 为两个命题,则" p ? q 是假命题"是" ?p 为真命题"的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 2

D.

1 2

)

?x ? y ? 0 ? 5.在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? y ? 4 ? 0 ( a 是常数)所表示的平面区域的面积是 9,那 ?x ? a ?
么实数 a 的值为( )

A. 3 2 ? 2

B. ?3 2 ? 2

C. ?5

D.1 )

6.已知 S n 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S1 ? 1 ,

S S4 ? 4 ,则 6 的值为( S2 S4
D.4
2

A.

9 4

B.

3 2

C.

5 4

7.已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 2 x ,若 f (2 ? a ) ? f ( a ) ,则
2

实数 a 的取值范围是( A. (??, ?1) ? (2, ??)

) B. (?2,1) C. (?1, 2) ) D. (??, ?2) ? (1, ??)

8.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A. 2 B. 1 C.

1 3

D.

2 3

9.函数 f ( x) ? lg x 3 的大致图象是(

2

)

10.已知 OA ? 1, OB ? k , ?AOB ?

??? ?

??? ?

???? ??? ? 2? ,点 C 在 ?AOB 内, OC ? OA ? 0 ,若 3
) D. 4

???? ??? ? ??? ? OC ? 2mOA ? mOB(m ? 0) ,则 k ? (
A. 1 B. 2 C.

3

11.已知如图所示的程序框图(未完成),设当箭头 a 指向①时,输出的结果为 s ? m ,当箭头 a 指向②时,输出的结果为 s ? n ,则 m ? n 等于( ) A. 30 B. 20 C. 15 D. 5 12.已知数列 ?an ? 满足 an ? ( ) B. an , S n 都没有最小值

3 ,前 n 项的和为 S n ,关于 an , S n 叙述正确的是 2n ? 11

A. an , S n 都有最小值

C. an , S n 都有最大值

D. an , S n 都没有最大值

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题 5 分,共20 分) 13.某人 5 次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为 x,8,10,11,9 ,已知这组数据的平均数为

10 ,则其方差为___________.
14.已知 sin(

?
4

??) ?

2 ? (0 ? ? ? ) ,则 cos ? ? ___________. 10 2

15.已知半径为 4 的球 O 中有一内接圆柱,当圆柱的侧面积最大时,球的表面积与该圆柱的侧 面积之差是_____________. 16.直线 y ? kx ? 1 与双曲线 x ? y ? 1 的左支交于 A, B 两点,另一条直线 l 过点 (?2, 0) 和
2 2

AB 的中点,则直线 l 在 y 轴上的截距 b 的取值范围为____________.
三、解答题(本大题共6题,满分 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤) 17.如图,某市拟在长为 8km 的道路 OP 的一侧修建一条运动赛道, 赛道的前一部分为曲线段

OSM ,该曲线段为函数 y ? A sin ? x( A ? 0, ? ? 0), x ? ? 0, 4? 的图象,且图象的最高点为
S (3, 2 3) ;赛道的后一部分为折线段 MNP .为保证参赛运动员的安全,限定 ?MNP ? 120O .
(1) 求 A, ? 的值和 M , P 两点间的距离; (2) 应如何设计,才能使折线段线段 MNP 最长?

18.如图,在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ?

2 AA1 ,

点 D 是 A1 B1 的中点,点 E 在 A1C1 上,且 DE ? AE . (1) 证明:平面 ADE ? 平面 ACC1 A1 ; (2) 求直线 AD 和平面 ABC1 所成角的正弦值.

19.在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中,规定每人最多投 3 次:在 A 处每投进一球得 3 分,在 B 处每投进一球得 2 分;如果前两次得分之和超过 3 分即停止投篮,否则投第三次.某同 学在 A 处的命中率 q1 为 0.25 ,在 B 处的命中率为 q2 ,该同学选择先在 A 处投一球,以后都在

B 处投,用 ? 表示该同学投篮训练结束后所得的总分,其分布列为

?
p
(1) 求 q2 的值;

0

2

3

4

5

0.03

p1

p2

p3

p4

(2) 求随机变量 ? 的数学期望 E? ; (3) 试比较该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分与选择上述方式投篮得分超过 3 分的概 率的大小.

20.已知椭圆 E 经过点 A(2,3) ,对称轴为坐标轴,焦点 F1 , F2 在

x 轴上,离心率 e ?

1 . 2

(1) 求椭圆 E 的方程; (2) 求 ?F1 AF2 的平分线所在直线 l 的方程; (3) 在椭圆 E 上是否存在关于直线 l 对称的相异两点?若存在,请找出;若不存在,说明理由.

21.已知函数 f ( x) ? ( x ? k ) e k .
2

x

(1) 求 f ( x) 的单调区间; (2) 若对于任意的 x ? (0, ??) ,都有 f ( x) ?

1 ,求 k 的取值范围. e

22,23 为选修题目,两题选择一个作答,如果两题都答,则按第一题评分。 22.选修 4-1:几何证明选讲 如图, E 是圆 O 内两弦 AB 和 CD 的交点, F 是 AD 延长线上一点, FG 与圆 O 相切于点 G ,且 EF ? FG . 求证:(1) ?EFD ~ ?AFE (2) EF ∥ BC

23.选修 4-4:坐标系与参数方程 已 知 曲 线 C1 的 参 数 方 程 为 ?

? x ? 2cos ? ? ( θ 为 参 数 ), 曲 线 C 2 的 参 数 方 程 为 ? y ? 2 sin ? ?

? 2 t ?x ? ? 2 ? 2 ? ?y ? 2 t? 2 ?

( t 为参数),且曲线 C1 与 C 2 相交于 A, B 两点. (1) 求曲线 C1 , C 2 的普通方程; (2) 若点 F ( 2 ,0) ,求 ΔFAB 的周长.

24.选修 4-5:不等式选讲 已知 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 1 ,不等式 f ( x) ? 4 的解集为 M . (1) 求 M ; (2) 当 a, b ? M 时,证明: 2 a ? b ? 4 ? ab

参考答案
一、选择题 CCBADA BDCDBA 二、填空题 2;

4 ;32 π ; ( ?? , ?2 ? 2) ? (2, ?? ) 5
T 4
2?

三、解答题 17. Ⅰ) ( 依题意, A ? 2 3(1’ ? 3 , T ? 有 ) 又
? y ? 2 3 sin

?

,? ? ?

?
6



(2’ ) (4’ )

?
6

x ,当 x ? 4 时,? y ? 2 3 sin

2? ? 3 ? M (4, 3) 3

又 p(8, 3) ? MP ? 42 ? 32 ? 5 (Ⅱ)解法一在△MNP 中∠MNP=120°,MP=5,设∠PMN= ? ,则 0°< ? <60° 由正弦定理得

(5’ )

MP NP MN 10 3 10 3 ) ? ? ? NP ? sin ? ,? MN ? sin(600 ? ? ) (7’ 3 3 sin1200 sin ? sin(600 ? ? )

故 NP ? MN ?
?

10 3 10 3 10 3 1 3 10 3 ) sin ? ? sin(600 ? ? ) ? ( sin ? ? cos ? ) ? sin(? ? 600 )(10’ 3 3 3 2 3 3

0

°

<

?

<60

°

(11’ ) ? 当 ? =30°时,折线段赛道 MNP 最长,亦即,将∠PMN 设计为 30°时,折线段道 MNP 最长 (12’ ) 解法二:在△MNP 中,∠MNP=120°,MP=5, 由余弦定理得 MN 2 ? NP 2 ? 2MN ?NP ?cos ∠MNP= MP 2 即 MN 2 ? NP 2 ? MN ?NP ? 25 (7’ ) 故 ( MN ? NP) 2 ? 25 ? MN ?NP ? (
MN ? NP 2 3 10 3 ) , 从 而 ( MN ? NP)2 ? 25 , 即 MN ? NP ? 2 4 3

(10’ ) 当且仅当 MN ? NP 时, 折线段道 MNP 最长 18.(I)由正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的性质知 AA1 ? 平面 A1 B1C1 , 又 DE ? 平面 A 1 B 1 C 1 ,所以 DE ? AA 1 . 而 DE ? AE, 1 ? AE=A 所以 DE ? 平面 AC C 1 A 1 AA 又 DE ? 平面 ADE,故平面 ADE ? 平面 AC C 1 A 1 。

(12’ )

(2’ ) (4’ ) (6’ )

(2)设 O 为 AC 中点,以 O 为原点建立空间直角坐标系,不妨设 A A 1 = 2 ,则 AB=2, 则 A(0,-1,0) ,B( 3 ,0,0) C 1 (0,1, 2 ) , ,D(

3 1 ,- , 2 ) 2 2

(7’ )

直线 AD 和平面 ABC 1 所成角为 θ ,平面 ABC 1 的法向量为 n=(x,y,z)

由 AB =( 3 ,1,0), AC1 =(0,2, 2 ), AD =(

3 1 ,- , 2 ) 2 2

有?

?n· ? 3 x ? y ? 0, ? 3 ? AB ? y, z=- 2 y ,故可取 n=(1,- 3 , 6 ) (9’ ) ? 解得 x=3 ?n· 1 ? 2 y ? 2 z ? 0,? AC ? ?

cos
(11’ )

<n

·

AD

>=

n· AD n· AD

=

2 3 10 ? 3

=

10 5

所以, 直线 AD 和平面 ABC 1 所成角的正弦值为
2

10 。 5

(12’ )

19(Ⅰ) P?? ? 0 ? ? ?1 ? q1 ??1 ? q 2 ? ? 0.03解得q 2 ? 0.8 (Ⅱ) P?? ? 2 ? ? 0.75 ? 2 ? 0.8 ? 0.2 ? 0.24

(3’ )

P?? ? 3? ? 0.25 ? ?1 ? 0.8? ? 0.01
P?? ? 4 ? ? 0.75 ? 0.8 2 ? 0.48

P?? ? 5? ? 0.25 ? 0.8 ? 0.25 ? 0.2 ? 0.8 ? 0.24 E ?? ? ? 0 ? 0.03 ? 2 ? 0.24 ? 3 ? 0.01 ? 4 ? 0.48 ? 5 ? 0.24 ? 3.63
(9’ ) (Ⅲ)设“同学选择 A 处投,以后再 B 处投得分超过 3 分”为事件 A 设“同学选择都在 B 处投得分超过 3 分”为事件 B

(7’ )

P? A? ? 0.48 ? 0.24 ? 0.72
P?B ? ? 0.8 2 ? 2 ? 0.8 ? 0.2 ? 0.8 ? 0.896
(11’ )

P? A? ? P?B ? ,该同学选择都在 B 处得分超过 3 分的概率大于该同学选择第一次在 A 处以
后都在 B 处投得分超过 3 分的概率。 20(1)椭圆方程 E 为: (12’ ) (3’ )

x2 y2 ? ?1 16 12

(2) (法一) AF1 方程为: 3 x ? 4 y ? 6 ? 0 , AF2 方程为: x ? 2 设角分线上任意一点为 P ? x, y ? , 则

3x ? 4 y ? 6 5

? x?2 。

(5’ ) (7’ )

得 2 x ? y ? 1 ? 0 或 x ? 2 y ? 8 ? 0(舍, 斜率为正) 直线方程为 2 x ? y ? 1 ? 0 ?

(法二)

AF1 AF1

?

AF2 AF2

??

4 ?1,2? 5

(5’ )

? k ? 2,即 2 x ? y ? 1 ? 0
(3) 假设存在 B? x1 , y1 ? C ? x 2 , y 2 ? 两点关于直线 l 对称, k BC ? ? ? 方程为 y ? ?

(7’ )

1 2

(8’ )

2 2 1 2 2 m 3m ? (10’ BC ) x ? m 代人 x ? y ? 1 得 x ? mx ? m ? 12 ? 0 , 中点为 ? , ? ? 2 16 12 ?2 4 ?

在直线 2 x ? y ? 1 ? 0 上, m ? 4 。 得 BC 中点为 ?2,3? 与 A 重合, 不成立, 所以不存在满足题设条件的相异的两点。
x 1 2 2 k 21.(1) f (x)= (x - k )e > 0 k /

(11’ ) (12’ )

(2’ )

当 k ? 0 时, f ( x ) 的增区间为 ( ?? , ? k );( k , ?? ) , f ( x ) 的减区间为 ( ? k ,k ) 当 k ? 0 时, f ( x ) 的增区间为 ( k , ? k ) , f ( x ) 的减区间为 ( ?? ,k );( ? k , ?? ) (2) k ? 0 时, f ( k ? 1 ) ? e 当
k ?1 k

(4’ ) (6’ )

?

1 1 ,所以不会有 ?x ? ( 0 , ?? ), f ( x ) ? e e

(8’ )

4k 2 当 k ? 0 时, (1) f ( x ) 在 ( 0 , ?? ) 上的最大值是 f ( ? k ) ? 由 有 e
所以 ?x ? ( 0 , ?? ), f ( x ) ?

(10’ )

1 4k 2 1 1 ? ?? ?k?0 等价于 f ( ? k ) ? e e e 2
的 范 围 为

综 (12’ )



k

? 1 ? ? ? 2 ,0 ? ? ?

22.(1)因为 FG 与圆 O 相切于点 G,

FG 2 ? FD ? FA, EF ? FG ,? EF 2 ? FD ? FA ? ?

EF FA ? FD EF
(5’ ) (10’ )

? ?EFD ? ?AFE ,? ?EFD ~ ?AFE
(2)由(1)知, ?FED ? ?FAE , 又因为

? ?FAE ? ?BCD,??FED ? ?BCD ? EF // BC

23. 1) ( 曲线 C1 的直角坐标方程为

x2 y2 ? ? 1, 4 2
2.

(3’ )

曲线 C 2 的直角坐标方程为 y ? x ? (2) 由(1)知点 F 则 椭 (10’ ) 圆

(6’ )

?

2 ,0 是椭圆 C1 的右焦点,且曲线 C 2 过椭圆 C1 的左焦点 ? 2 ,0 ,
的 定 义 可 得

?

?

?

?FAB









8.

24. (1)? x ? 1 ? x ? 1 ? 4 ,原不等式等价于

? x ? ?1 ? x ? 1 ?? 1 ? x ? 1 , ,? ,? ? ? 2 x ? 4 ?2 x ? 4 ?2 ? 4 ?
解得 ? 2 ? x ? ?1或 ? 1 ? x ? 1或1 ? x ? 2 不等式的解集是 ?? 2,2 ? ; (2)? a, b ? M , 即 ? 2 ? a ? 2,?2 ? b ? 2

(2’ ) (4’ ) (5’ )

? 4?a ? b ? ? ?4 ? ab ? ? a 2 ? 4 4 ? b 2 ? 0
2 2

?

??

?

(8’ )

? 4?a ? b ? ? ?4 ? ab ? ,? 2 a ? b ? 4 ? ab
2 2

(10’ )


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