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2011年高考数学试题(理)(北京卷)


2011 年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理) 北京卷) 数学( (北京卷) (北京卷
本试卷共 5 页, 分。 150 考试时间长 120 分钟。 考生务必将答案答在答题卡上, 在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分(选择题 共 40 分) 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项。 (1)已知集合 P={x︱x2≤1},M={a}.若 P∪M=P,则 a 的取值范围是 (A)(-∞, -1] +∞) (2)复数 (A) i
i?2 = 1 + 2i

(B)[1, +∞)

(C)[-1,1]

(D)(-∞,-1] ∪[1,

(B) -i

4 3 (C) ? i ? 5 5

4 3 (D) + i ? 5 5

(3)在极坐标系中,圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标系是 (A) (1, ) 2 (D)(1, π ) (4)执行如图所示的程序框图,输出的 s 值为 (A)-3 (B)(C)
1 3 1 2

π

(B) (1, ? ) 2

π

(C)

(1,0)

(D)2 (5)如图,AD,AE,BC 分别与圆 O 切于点 D,E,F,延长 AF 与圆 O 交于另 一点 G。给出下列三个结论: 1 ○AD+AE=AB+BC+CA;

-1-

2 ○AF·AG=AD·AE ③△AFB ~△ADG 其中正确结论的序号是 (A)①② (C)①③ (B)②③ (D)①②③

(6)根据统计,一名工作组装第 4 件某产品所用的时间(单位:分钟)为

(A,C 为常数) 。已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟,组装 第 A 件产品用时 15 分钟,那么 C 和 A 的值分别是 (A)75,25 (B)75,16 (C)60,25 (D)60,16

(7)某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中,最大的是

(A) 8

(B) 6 2

(C)10

(D) 8 2

(8) A ( 0, 0 ) , B ( 4,0 ) , ( t + 4, 4 ) , D ( t , 4 )( t ∈ R ) .记 N ( t ) 为平行四边形 ABCD 设 C 内部(不含边界)的整点的个数,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则函 数 N ( t ) 的值域为

-2-

(A) {9,10,11} (C) {9,11,12} 第二部分 (非选择题 共 110 分)

(B) {9,10,12} (D) {10,11,12}

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9)在 ?ABC 中。若 b=5, ∠B = a=_______________。 (10)已知向量 a=( 3 ,1) b=(0,-1) c=(k, 3 ) ,b ,c 。若 a-2b 与 c 共线, b 则 k=___________________。 (11)在等比数列{an}中,a1= 1 ,a4=-4,则公比 q=______________; 2

π
,tanA=2,则 sinA=____________;
4

a1 + a2 + ... + an = _________________。
(12)用数字 2,3 组成四位数,且数字 2,3 至少都出现一次,这样的四位数共 有__________个。 (用数字作答)
?2 x≥2 ? , (13)已知函数 f ( x) = ? x 若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实 ?( x ? 1)3 , x < 2 ?

根,则数 k 的取值范围是_______ (14)曲线 C 是平面内与两个定点 F1(-1,0)和 F2(1,0)的距离的积等于 常数 a2 (a >1)的点的轨迹.给出下列三个结论: ① 曲线 C 过坐标原点; ② 曲线 C 关于坐标原点对称; ③若点 P 在曲线 C 上,则△F 1 PF 2 的面积大于 其中,所有正确结论的序号是
1 2 a 。 2



三、解答题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) = 4 cos x sin( x + ) ? 1 。 6 (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期:

π

-3-

? π π? (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 ? ? , ? 上的最大值和最小值。 ? 6 4?

(16) (本小题共 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ⊥ 平面 ABCD ,底面 ABCD 是菱形, AB = 2, ∠BAD = 60o .

(Ⅰ)求证: BD ⊥ 平面 PAC ; (Ⅱ)若 PA = AB, 求 PB 与 AC 所成角的余弦值; (Ⅲ)当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时,求 PA 的长. (17)本小题共 13 分 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数 据模糊,无法确认,在图中以 X 表示。

(Ⅰ)如果 X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差; (Ⅱ)如果 X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植 树总棵树 Y 的分布列和数学期望。 (注:方差 s 2 = 注
xn 的平均数)
2 2 2 1? x1 ? x + x2 ? x + K + xn ? x ? ,其中 x 为 x1 , x2 ,…… ? ? ? n?

(

) (

)

(

)

-4-

(18) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) = ( x ? k ) 2 e k 。 (Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间;
1 (Ⅱ)若对于任意的 x ∈ (0, +∞) ,都有 f ( x) ≤ ,求 k 的取值范围。 e
x

(19) (本小题共 14 分) x2 已知椭圆 G : + y 2 = 1 .过点(m,0)作圆 x 2 + y 2 = 1 的切线 l 交椭圆 G 于 A,B 4 两点. (I)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (II)将 AB 表示为 m 的函数,并求 AB 的最大值. (20)(本小题共 13 分) 若数列 An = a1 , a2, ..., an (n ≥ 2) 满足 ak +1 ? ak = 1(k = 1, 2,..., n ? 1) ,数列 An 为 E 数 列,记 S ( An ) = a1 + a2 + ... + an . (Ⅰ)写出一个满足 a1 = as = 0 ,且 S ( As ) 〉0 的 E 数列 An ; (Ⅱ)若 a1 = 12 ,n=2000,证明:E 数列 An 是递增数列的充要条件是 an =2011; (Ⅲ)对任意给定的整数 n(n≥2) ,是否存在首项为 0 的 E 数列 An ,使得

S ( An ) =0?如果存在,写出一个满足条件的 E 数列 An ;如果不存在,说明理由。

-5-


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