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4-4-2.4椭圆的参数方程


二、圆锥曲线的参数方程
1、椭圆的参数方程

y A M

B

?
x

o

设以ox为始边,OA为终边的角?,点M的坐标 y,由点A, B均在角?的终边上,由三角函数 的 y 定义有 A x ? OA cos? ? a cos? y ? OB sin ? ? b sin ?
o
B ?

是( x, y ),那么点A的横坐标为x, 点B的纵坐标为

M x

当半径OA绕点O旋转一周时,就得到了 M 点 的轨迹,它的参数方程 是 x ? a cos? { (?为参数) y ? b sin ? 这是中心在原点 ,焦点在x轴上的椭圆。 O

在椭圆的参数方程中, 通常规定参数 的 ? 范围是? ?[0,2? )

思考: 椭圆的参数方程中参数 的意义与圆的参数方 ? x ? r cos? 程{ (?为参数)中参数?的意义类似吗? y ? r sin ?

由图可以看出,参数 是点M所对应的圆的半 ? 径OA(或OB)的旋转角 称为点M的离心角,不 ( ) 是OM的旋转角,参数 是半径OM的旋转角。 ?

x2 y 2 例1、在椭圆 ? ? 1上求一点M,使点M 到 9 4 直线x ? 2 y ? 10 ? 0的距离最小,并求出最小距离

x ? 3 cos? 解:因为椭圆的参数方 程为{ (?为参数) y ? 2 sin ? 所以可设点M (3 cos? ,2 sin ? ) 由点到直线的距离公式 ,得到点M到直线的距离 d? 3 cos? ? 4 sin ? ? 10 5

3 4 5(cos? ? ? sin ? ? ) ? 10 1 5 5 ? ? 5 cos(? ? ? 0 ) ? 10 5 5

3 4 5(cos ? ? ? sin ? ? ) ? 10 1 5 5 ? ? 5cos(? ? ?0 ) ? 10 5 5

3 4 其中?0满足 cos?0 ? , sin ?0 ? 5 5 由三角函数性质知,当 -? 0=0时,d取最小值 5 ? 9 8 此时3 cos? ? 3 cos? 0 ? ,2 sin ? ? 2 sin ?0 ? 5 5 9 8 所以,当点M位于( , )时,点M与直线 5 5 x ? 2 y ? 10 ? 0的距离取最小值 5。

思考:

与简单的线性规划问题 进行类比,你能在实数

x2 y2 x, y满足 ? ? 1的前提下,求出 ? x ? 2 y的 z 25 16 最大值和最小值吗?由 此可以提出哪些类似的 问题?


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