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第二次数学危机


什么是无穷──第二次数学危机
 

  伴随着十七世纪末牛顿和莱布尼兹发现微积分而发生的激烈争论,被称为第二次数学危机。从历史或逻辑的观点来看,这次危机的发生带有必然性。

  这次危机的萌芽出现在大约公元前450年,埃利亚数学家芝诺注意到由于对无限性的理解问题而产生的矛盾,提出了关于时空的有限与无限的4个悖论。



  芝诺悖论的提出可能有更深刻的背景,不一定是专门针对数学的,但是它们在数学王国中却激起了一场轩然大波。它们说明了希腊人已经看到“无穷小”与“很小很小”的矛盾,但他们无法解决这些矛盾。其后果是:希腊证明几何中从此就排除了无穷小。

  经过许多人多年的努力,终于在17世纪晚期,形成了无穷小演算──微积分这门学科。牛顿和莱布尼兹被公认为微积分的奠基者。他们的功绩主要在于:把各种有关问题的解法统一成微分法和积分法;有明确的计算步骤。微分法和积分法互为逆运算。由于运算的完整性和应用的广泛性,微积分成为解决问题的重要工具。同时,关于微积分基础的问题也越来越严重。

 求速度为例,瞬时速度是,当趋近于零时的值。是零,是很小的量,还是什么东西?无穷小量究竟是不是零?无穷小及其分析是否合理?由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论,造成第二次动摇数学理论基础的危机。

  无穷小量究竟是不是零?两种答案都会导致矛盾。牛顿对它曾作过三种不同解释:1669年说它是一种常量;1671年又说它是一个趋于零的变量;1676年又说它是“两个正在消逝的量的最终比”。但是,他始终无法解决上述矛盾。莱布尼兹试图用和无穷小量成比例的有限量的差分来代替无穷小量。但是,他也没有找到从有限量过渡到无穷小量的桥梁。

  英国大主教贝克莱于1734年发表文章攻击说,流数(导数)“是消失了的量的鬼魂……能消化得了二阶、三阶流数的人,是不会因吞食了神学论点就呕吐的。”他说,用忽略高阶无穷小而消除了原有的错误,“是依靠双重的错误得到了虽然不科学,但却是正确的结果。”贝克莱虽然也抓住了当时微积分、无穷小方法中一些不清楚、不合逻辑的问题,不过他是出自对科学的厌恶和对宗教的维护,而不是出自对科学的追求和探索。

  当时一些数学家和其他学者,也批判过微积分的一些问题,指出其缺乏必要的逻辑基础。例如,罗尔曾说:“微积分是巧妙的谬论的汇集。”在那个勇于创造的时代的初期,科学中,逻辑中存在这样那样的问题,并不是个别现象。莱布尼兹在研究级教时,也认为格拉弟的结论:

1 – 1 + 1 –1 …… = 1/2

是正确的,并解释说,这就象一件东西,今天放在这个人处,明天放在那个人处,于是相当一人一半。现在稍有些数学知识的人都知道,上述级数是不存在和值的。对于无穷级数来说,有些运算律并非都可以用,而要看条件。例如,对上面的级数,如果利用结合律,则有:

1 – 1 + 1 – 1 + …… =(1 – 1) + (1 – 1)+ ……

= 0 + 0 + 0 + …… = 0

利用交换律和结合律,就有:

1 – 1 + 1 – 1 + …… = 1 + 1 + 1 + (1 – 1) + (1 – 1)+ ……

= 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0 + …… = 3

利用结合律和分配律,就有:

1 – 1 + 1 – 1 + …… = 1 - (1 – 1) - (1 – 1)- ……

= 1 - 0 - 0 - …… = 1

  由此可见,如果不顾条件的话,尽管是正确的定律也会导出荒谬的结果。18世纪的数学思想的确是不严密的、直观的。它强调形式的计算而不管基础的可靠。其中特别是:没有清楚的无穷小概念,从而导数、微分、积分等概念不清楚;无穷大概念不清楚;发散级数求和的任意性,如上述级数可等于1/2、0、3、1,等等;不考虑连续性就进行微分,不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等。

  直到19世纪20年代,一些数学家才开始关注于微积分的严格基础。从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始,到魏尔斯特拉斯、狄德金和康托的工作结束,中间经历了半个多世纪,基本上解决了矛盾,为数学分析奠定了一个严格的基础。波尔查诺给出了连续性的正确定义。阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和。柯西在1821年的《代数分析教程》中从定义变量出发,认识到函数不一定要有解析表达式;他抓住极限的概念,指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量,无穷小量是以零为极限的变量;并且定义了导数和积分。狄里赫利给出了函数的现代定义。在这些工作的基础上,魏尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方,给出现在通用的极限的ε-δ定义,连续的定义,并把导数、积分严格地建立在极限的基础上。

  19世纪70年代初,魏尔斯特拉斯、狄德金、康托等人独立地建立了实数理论,而且在实数理论的基础上,建立起极限论的基本定理,从而使数学分析建立在实数理论的严格基础之上。
微积分的诞生
  到了十六、十七世纪,除了求曲线长度和曲线所包围的面积等类问题外,还产生了许多新问题,如求速度、求切线,以及求极大、极小值等问题。经过许多人多年的努力,终于在十七世纪晚期,形成了无穷小演算--微积分这门学科,这也就是数学分析的开端。   牛顿和莱布尼兹被公认为微积分的奠基者。他们的功绩主要在于:1,把各种问题的解法统一成一种方法,微分法和积分法;2,有明确的计算微分法的步骤;3.微分法和积分法互为逆运算。
第二次数学危机
  由于运算的完整性和应用范围的广泛性,使微积分成为解决问题的重要工具。同时关于微积分基础的问题也越来越严重。以求速度为例,瞬时速度是Δs/Δt当Δt趋向于零时的值。Δt是零、是很小的量,还是什么东西,这个无穷小量究竟是不是零。这引起了极大的争论,从而引发了第二次数学危机。   十八世纪的数学家成功地用微积分解决了许多实际问题,因此有些人就对这些基础问题的讨论不感兴趣。如达朗贝尔就说,现在是“把房子盖得更高些,而不是把基础打得更加牢固”。更有许多人认为所谓的严密化就是烦琐。   但也因此,微积分的基础问题一直受到一些人的批判和攻击,其中最有名的是贝克莱主教在1734年的攻击。   十八世纪的数学思想的确是不严密的、直观的、强调形式的计算,而不管基础的可靠与否,其中特别是:没有清楚的无穷小概念,因此导数、微分、积分等概念不清楚;对无穷大的概念也不清楚;发散级数求和的任意性;符号使用的不严格性;不考虑连续性就进行微分,不考虑导数及积分的存在性以及可否展成幂级数等等。
第二次数学危机的解决
  一直到十九世纪二十年代,一些数学家才开始比较关注于微积分的严格基础。它们从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里克莱等人的工作开始,最终由威尔斯特拉斯、戴德金和康托尔彻底完成,中间经历了半个多世纪,基本上解决了矛盾,为数学分析奠定了一个严格的基础。   波尔查诺不承认无穷小数和无穷大数的存在,而且给出了连续性的正确定义。柯西在1821年的《代数分析教程》中从定义变量开始,认识到函数不一定要有解析表达式。他抓住了极限的概念,指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量,并定义了导数和积分;阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和;狄里克莱给出了函数的现代定义。   在这些数学工作的基础上,维尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方,给出现在通用的ε - δ的极限、连续定义,并把导数、积分等概念都严格地建立在极限的基础上,从而克服了危机和矛盾。
实数理论
  十九世纪七十年代初,威尔斯特拉斯、戴德金、康托尔等人独立地建立了实数理论,而且在实数理论的基础上,建立起极限论的基本定理,从而使数学分析终于建立在实数理论的严格基础之上了。   同时,威尔斯特拉斯给出一个处处不可微的连续函数的例子。这个发现以及后来许多病态函数的例子,充分说明了直观及几何的思考不可靠,而必须诉诸严格的概念及推理。由此,第二次数学危机使数学更深入地探讨数学分析的基础--实数论的问题。这不仅导致集合论的诞生,并且由此把数学分析的无矛盾性问题归结为实数论的无矛盾性问题,而这正是二十世纪数学基础中的首要问题。   第二次数学危机的影响   毕达哥拉斯关于数的信条及以数为基础的宇宙模型的破产,导致了第一次数学危机.这一危机的影响是巨大的,它不仅推动了数学及其相关学科的发展,使古希腊数学的基础发生了根本性的变化,而且推动了整个科学的发展.在古希腊,数学和哲学是结盟的,哲学使古希腊的数学趋于抽象和真理.正是由于古希腊的哲学背景,使其有可能建立世界上第一个数学公理系统,并最终导致了近代科学的诞生.
编辑本段数学
  是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。透过抽象化和逻辑推理的使用,由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。数学家们拓展这些概念,为了公式化新的猜想以及从合适选定的公理及定义中建立起严谨推导出的真理。最佳答案检举 第二次数学危机发生在十七世纪。十七世纪微积分诞生后,由于推敲微积分的理论基础问题,数学界出现混乱局面,即第二次数学危机。其实我翻了一下有关数学史的资料,微积分的雏形早在古希腊时期就形成了,阿基米德的逼近法实际上已经掌握了无限小分析的基本要素,直到2100年后,牛顿和莱布尼兹开辟了新的天地——微积分。微积分的主要创始人牛顿在一些典型的推导过程中,第一步用了无穷小量作分母进行除法,当然无穷小量不能为零;第二步牛顿又把无穷小量看作零,去掉那些包含它的项,从而得到所要的公式,在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的,但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾.焦点是:无穷小量是零还是非零?如果是零,怎么能用它做除数?如果不是零,又怎么能把包含着无穷小量的那些项去掉呢?
直到19世纪,柯西详细而有系统地发展了极限理论。柯西认为把无穷小量作为确定的量,即使是零,都说不过去,它会与极限的定义发生矛盾。无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量,因此本质上它是变量,而且是以零为极限的量,至此柯西澄清了前人的无穷小的概念,另外Weistrass创立了 极限理论,加上实数理论,集合论的建立,从而把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来,第二次数学危机基本解决。
而我自己的理解是一个无穷小量,是不是零要看它是运动的还是静止的,如果是静止的,我们当然认为它可以看为零;如果是运动的,比如说1/n,我们说 ,但n个1/n相乘就为1,这就不是无穷小量了,当我们遇到 等情况时,我们可以用洛比达法则反复求导来考查极限,也可以用Taylor展式展开后,一阶一阶的比,我们总会在有限阶比出大小。

第二次危机发生在十七世纪微积分诞生后,无穷小量的刻画问题,最后是柯西解决了这个问题

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