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四川省资阳市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷


四川省资阳市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1. (5 分)sin45°cos15°﹣cos45°sin15°=() A. B. C. D.

2. (5 分)已知集合 A={x|2≤x<4},B={x|x≥3},

则 A∩(?RB)=() A. C. ,使得 f=b 成立,则实数 a 的取值范围是() A. B. C.

D.

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. (5 分)已知幂函数 y=f(x)的图象过点 12. (5 分)已知 ,则 tanα=. ,则 f(x)=.

13. (5 分)若 2 =5 =10,则

a

b

=.
3

14. (5 分)已知偶函数 f(x)在区间.例如:当 φ1(x)=x ,φ2(x)=sinx 时,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.现 有定义域均为 D 的函数 f(x) ,g(x) ,给出下面结论: ①如果 f(x)∈B,那么 f(x)可能没有最大值; ②如果 f(x)∈A,g(x)∈A,那么一定有 f(x)+g(x)∈A; ③如果 f(x)∈A,g(x)∈B,那么一定有 f(x)+g(x)∈A; ④如果 f(x)∈A,那么对任意 b∈R,总存在 a∈D,使得 f(a)=b. 其中正确的有(写出所有正确结论的序号) .

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (12 分)计算下列各式: (Ⅰ)sin(﹣ (Ⅱ) × × )﹣cos( )﹣tan ;

+(log43+log83)?log32.
2

17. (12 分)已知集合 A={x|x ﹣3x+2=0},集合 B={x|m<x≤2m+9}. (Ⅰ)若 A?B,求实数 m 的取值范围; (Ⅱ)若 A∩B≠?,求实数 m 的取值范围. 18. (12 分)已知函数 f(x)=sin(π﹣x)+cosx. (Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期和对称轴方程;

(Ⅱ)若函数 f(x)的图象过点(α,

) ,其中﹣

<α<

,求 f(α﹣
x

)的值.

19. (12 分)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足:当 x>0 时,f(x)=2 +1. (Ⅰ)写出 x≤0 时函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)当 x∈时,不等式 f(4 )+f(a﹣5×2 )≥0 恒成立,求实数 a 的取值范围. 20. (13 分)已知函数 f(x)=2sin (
2 x x

+x)+

cos2x.

(Ⅰ)求函数 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)若关于 x 的方程 f(x)﹣m=2 在 x∈上有两个不同的解,求实数 m 的取值范围. 21. (14 分)定义在 R 上的函数 f(x)对任意的 x 都有 f(x+4)=f(x) ,当 x∈时,f(x)=2 (2)=1 (Ⅰ)求 m,n 的值;
|x﹣m|

+n,且 f

(Ⅱ)令 g(x)=ln(x+a) ,若对任意 x1∈,总存在 x2∈R,使得 g(x1)+2=f(x2)成立,求实数 a 的取值 范围; (Ⅲ)记函数 f(x)在区间(0≤t≤2)上的最小值为 h1(t) ,最大值为 h2(t) ,令 h(t)=h1(t)?h2(t) , 请写出 h(t)关于 t 的解析式.

四川省资阳市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1. (5 分)sin45°cos15°﹣cos45°sin15°=() A. B. C. D.

考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: 根据两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求解. 解答: 解:sin45°cos15°﹣cos45°sin15°=sin(45°﹣15°)=sin30°= . 故选:C. 点评: 本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值的应用,属于基础题. 2. (5 分)已知集合 A={x|2≤x<4},B={x|x≥3},则 A∩(?RB)=() A. C. 分析: 先判断函数 f(x)=lnx+ x﹣2 在定义域上连续,再求得 f(2)=ln2+1﹣2<0,f(3)=ln3+ ﹣2 >0;从而判断.

解答: 解:函数 f(x)=lnx+ x ﹣2 在定义域上连续, 又∵f(2)=ln2+1﹣2<0, f(3)=ln3+ ﹣2>0; 故 f(2)?f(3)<0; 故选 B. 点评: 本题考查了函数的零点的判定定理的应用,属于基础题 .

7. (5 分)已知 a=2 A.a>b>c

,b=﹣ B.b>a>c

4,c=( )

,则 a,b,c 大小关系正确的是() D.b>c>a

C.a>c>b

考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用对数函数与指数函数的单调性即可得出. 解答: 解:∵1<a=2 <2,b=﹣ 4=2,0<c=( ) <1,

∴b>a>c. 故选:B. 点评: 本题考查了对数函数与指数函数的单调性,属于基础题.

8. (5 分)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,0<φ<π)图象的对称轴间的距离最小值为 与 y=cosx 的图象有一个横坐标为 A. B. 的交点,则 φ 的值是() C. D.

,若 f(x)

考点: 正弦函数的图象. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: 由已知先求得 T, 从而可求 ω, 得解析式( f x) =sin (2x+φ) , 由题意可得: sin (2× 从而可解得 φ 的值. 解答: 解:∵对称轴间的距离最小值为 ∴T=π, ∵ω>0, ∴ω= =2, , +φ) =cos =sin ,

∴f(x)=sin(2x+φ) . ∴由题意可得:sin(2× +φ)=cos =sin .

∴可解得: ∵0<φ<π, ∴可解得:φ=

+φ=2k



+φ=2kπ+π

,k∈Z,



故选:A. 点评: 本题主要考查了三角函数的图象与性质,解题时要注意分析 φ 的取值范围,属于基础题. 9. (5 分)某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为 200 元,每桶水的进价是 6 元,销售单价 与日均销售量的关系如下表: 销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 13 日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240 200 请根据以上数据作出分析,这个经营部为获得最大利润应定价为() A.11 元 B.11.5 元 C.12 元 D.12.5 元 考点: 函数的最值及其几何意义. 专题: 计算题;应用题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: 由题意,设销售单价为 x 元,日均销售量为 y 桶,利润为 z 元;从而求得 y=480﹣40(x﹣6)=720 ﹣40x;z=(x﹣6) (720﹣40x)﹣200;从而利用基本不等式求最值. 解答: 解:由题意,设销售单价为 x 元,日均销售量为 y 桶,利润为 z 元; 则由表格可知,单价每增加一元,销量减少 40 桶; 故 y=480﹣40(x﹣6)=720﹣40x; 利润 z=(x﹣6) (720﹣40x)﹣200 =40(x﹣6) (18﹣x)﹣200; ≤40 ﹣200;

(当且仅当 x﹣6=18﹣x,即 x=12 时,等号成立) 故这个经营部为获得最大利润应定价为 12 元, 故选 C. 点评: 本题考查了函数在实际问题中的应用及基本不等式的应用,属于中档题. 10. (5 分)设函数 f(x)=2lnx+2x﹣a,若存在 b∈,使得 f=b 成立,则实数 a 的取值范围是() A. B. C. D. 考点: 函数解析式的求解及常用方法;根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析: 由 f′(x)= 知 f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以根据 f=b 得到 f(b)=b,所以知道

2lnx+2x﹣a=x 在上有实数根.所以得到 a=2lnx+x,设 h(x)=2lnx+x,通过求 h′(x)>0 便可判断 h(x) 在上单调递增,这样即可求 h(x)在上的最大值,最小值,从而求出 h(x)在上的值域,从而求出实数 a 的取值范围. 解答: 解:f′(x)= ,

∴f(x)在(0,+∞)上单调递增; ∴由 f=b,得 f(b)=b; 则 f(x)=x 在上有根;

即 2lnx+2x﹣a=x; ∴a=2lnx+x; 令 h(x)=2lnx+x, ∴h(x)在上单调递增; ∴h(x)min=h(1)=1,h(x)max=h(e)=2+e; ∴a∈; 即实数 a 的取值范围是. 故选 D. 点评: 考查函数导数符号和函数单调性的关系,单调函数 f(x)满足 f=b 时便可得到 f(b)=b,根据函 数的单调性求函数的最值,从而得到函数在闭区间上的值域. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. (5 分)已知幂函数 y=f(x)的图象过点 ,则 f(x)= . ;

考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 设出函数的解析式,根据幂函数 y=f(x)的图象过点(2, 得到函数的解析式. a 解答: 解:设幂函数的解析式为 y=x , ∵幂函数 y=f(x)的图象过点(2, ) , a ∴ =2 , 解得 a= ,

) ,构造方程求出指数的值,即可

∴f(x)= . 故答案为: 点评: 本题考查的知识点是函数解析式的求解及常用方法,其中对于已经知道函数类型求解析式的问 题,要使用待定系数法. 12. (5 分)已知 ,则 tanα=2.

考点: 三角函数的化简求值;同角三角函数间的基本关系. 专题 : 计算题;三角函数的求值. 分析: 将已知等式去分母,化简整理得 sinα=2cosα,再由同角三角函数的基本关系,可算出 tanα 的值. 解答: 解:∵ ,

∴去分母,得 sinα+cosα=3(sinα﹣cosα) 解之得 sinα=2cosα,可得 tanα= =2

故答案为:2 点评: 本题给出 α 的正弦、 余弦的等式, 求 α 的正切之值. 着重考查了同角三角函数的基本关系的知识, 属于基础题.
a b

13. (5 分)若 2 =5 =10,则

=1.

考点: 对数的运算性质. 专题: 计算题. 分析: 首先分析题目已知 2 =5 =10,求
a b

的值,故考虑到把 a 和 b 用对数的形式表达出来代入



再根据对数的性质以及同底对数和的求法解得,即可得到答案. a b 解答: 解:因为 2 =5 =10, 10 10 故 a=log2 ,b=log5 =1 故答案为 1. 点评: 此题主要考查对数的运算性质的问题,对数函数属于三级考点的内容,一般在高考中以选择填空 的形式出现,属于基础性试题同学们需要掌握. 14. (5 分)已知偶函数 f(x)在区间.例如:当 φ1(x)=x ,φ2(x)=sinx 时,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.现 有定义域均为 D 的函数 f(x) ,g(x) ,给出下面结论: ①如果 f(x)∈B,那么 f(x)可能没有最大值; ②如果 f(x)∈A,g(x)∈A,那么一定有 f(x)+g(x)∈A; ③如果 f(x)∈A,g(x)∈B,那么一定有 f(x)+g(x)∈A; ④如果 f(x)∈A,那么对任意 b∈R,总存在 a∈D,使得 f(a)=b. 其中正确的有①③④(写出所有正确结论的序号) . 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简 易逻辑. 分析: 根据题中的新定义,结合函数值域的概念,可判断出命题①②③④是否正确,从而得到本题的 结论. 解答: 解:对于命题①:若函数 f(x)∈B,即存在一个正数 M,使得函数 f(x)的值域包含于区间. ∴﹣M≤f(x)≤M.例如:函数 f(x)满足﹣2<f(x)<5,则有﹣5≤f(x)≤5,此时,f(x)无最大值, 无最小值. ∴命题①如果 f(x)∈B,那么 f(x)可能没有最大值,是真命题; 对于命题②:若函数 f(x) ,g(x)的定义域相同,且 f(x)∈A,g(x)∈A, 令 f(x)=x,g(x)=﹣x, 则 f(x)+g(x)=0 恒成立. 即 f(x)+g(x)∈B. ∴命题②是假命题. 对于命题③:若函数 f(x) ,g(x)的定义域相同,且 f(x)∈A,g(x)∈B, 则 f(x)+g(x)的值域为 R. 即 f(x)+g(x)∈A. ∴命题③是真命题. 对于命题④:“f(x)∈A”即函数 f(x)值域为 R,故对任意 b∈R,总存在 a∈D,使得 f(a)=b, ∴命题④是真命题; 故答案为:①③④. 点评: 本题考查了函数值域的概念、 基本不等式、 充要条件, 还考查了新定义概念的应用和极限思想. 本 题计算量较大,也有一定的思维难度,属于难题. 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
3

16. (12 分)计算下列各式: (Ⅰ)sin(﹣ (Ⅱ) × × )﹣cos( )﹣tan ;

+(log43+log83)?log32.

考点: 对数的运算性质;运用诱导公式化简求值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (I)利用诱导公式即可得出; (II)利用对数的运算性质即可得出. 解答: 解: (Ⅰ)原式= 1=﹣1. (Ⅱ)原式= =3+ = . + ﹣ ﹣ = + ﹣ = + ﹣

点评: 本题考查了诱导公式、对数的运算性质,属于基础题. 17. (12 分)已知集合 A={x|x ﹣3x+2=0},集合 B={x|m<x≤2m+9}. (Ⅰ)若 A?B,求实数 m 的取值范围; (Ⅱ)若 A∩B≠?,求实数 m 的取值范围. 考点: 集合的包含关系判断及应用;交集及其运算. 专题: 计算题;集合. 分析: (Ⅰ)化简集合 A={x|x ﹣3x+2=0}={1,2},从而由 A?B 得
2 2

;从而解得;

(Ⅱ)由 A∩B≠?得
2

,从而解得.

解答: 解: (Ⅰ)A={x|x ﹣3x+2=0}={1,2}, 集合 B={x|m<x≤2m+9}. ∵A?B, ∴ ;

解得,﹣ ≤m<1; (Ⅱ)∵A∩B≠?,





解得,﹣4≤m<2.

点评: 本题考查了集合的化简与应用,属于基础题. 18. (12 分)已知函数 f(x)=sin(π﹣x)+cosx. (Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期和对称轴方程; (Ⅱ)若函数 f(x)的图象过点(α, ) ,其中﹣ <α< ,求 f(α﹣ )的值.

考点: 三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 专题: 计算题;三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)运用诱导公式和两角和的正弦公式,化简 f(x) ,再由正弦函数的周期和对称轴方程即可 得到; (Ⅱ)运用角的变换 α= = ( sin( )﹣ cos( )]

= ﹣ = . 点评: 本题考查三角函数的化简和求值,考查角的变换,考查诱导公式和两角和差的正弦和余弦公式的 运用,考查正弦函数的周期和对称轴问题,属于中档题. 19. (12 分)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足:当 x>0 时,f(x)=2 +1. (Ⅰ)写出 x≤0 时函数 f(x)的解析式; x x (Ⅱ)当 x∈时,不等式 f(4 )+f(a﹣5×2 )≥0 恒成立,求实数 a 的取值范围. 考点: 函数奇偶性的性质;函数恒成立问题. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)由题意可得当 x<0 时,﹣f(x)=f(﹣x)=2 +1,变形可得解析式,结合 f(0)=0 易 得; x x (Ⅱ)问题转化为 a≥5×2 ﹣4 在 x∈恒成立,换元由二次函数区间的最值可得. x 解答: 解: (Ⅰ)∵当 x>0 时,f(x)=2 +1, ﹣x ∴当 x<0 时﹣x>0,∴f(﹣x)=2 +1. 又∵f(x)为 R 上的奇函数,∴f(0)=0, ∴﹣f(x)=f(﹣x)=2 +1,∴f(x)=﹣2 ﹣1, ∴当 x≤0 时,f(x)的解析式为 f(x)= (Ⅱ)∵f(x)为 R 上的奇函数, ∴原不等式可化为 f(4 )≥﹣f(a﹣5×2 ) ,即 f(4 )≥f(5×2 ﹣a) , 又易判函数 f(x)在 R 上是增函数, x x x x ∴不等式可化为 4 ≥5×2 ﹣a,即 a≥5×2 ﹣4 在 x∈恒成立, x x 只需求出 5×2 ﹣4 在 x∈的最大值即可, x x x 2 x 令 y=5×2 ﹣4 =﹣(2 ) +5×2 , x 2 令 t=2 ,则 t∈,则 y=﹣t +5t, 由二次函数可知当 t= 时,函数 y=﹣t +5t 取最大值 ∴实数 a 的取值范围为 a≥
2 x x x x
﹣x ﹣x ﹣x

x





点评: 本题考查函数的奇偶性,涉及函数恒成立和二次函数区间的最值,属中档题.
2

20. (13 分)已知函数 f(x)=2sin (

+x)+

cos2x.

(Ⅰ)求函数 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)若关于 x 的方程 f(x)﹣m=2 在 x∈上有两个不同的解,求实数 m 的取值范围. 考点: 三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)利用三角函数的倍角公式以及辅助角公式将函数进行化简即可求函数 f(x)的单调递增区 间; (Ⅱ)求出函数 f(x)在 x∈的取值情况,利用数形结合即可得到结论. 解答: 解: (Ⅰ) 由f (x) =2sin ( (2x+ ) , ≤2x+ ≤x≤kπ+ ≤2kπ+ ,k∈Z ,k∈Z,
2

+x) +

cos2x=1﹣cos (

+2x) +

cos2x=1+sin2x+

cos2x=1+2sin

由由 2kπ﹣ 得 kπ﹣

所以函数 的单调递增区间为.k∈Z. (Ⅱ)由 f(x)﹣m=2 得 f(x)=m+2, 当 x∈时,2x+ ∈, =1+ ,

由图象得 f(0)=1+2sin

函数 f(x)的最大值为 1+2=3, ∴要使方程 f(x)﹣m=2 在 x∈上有两个不同的解, 则 f(x)=m+2 在 x∈上有两个不同的解, 即函数 f(x)和 y=m+2 在 x∈上有两个不同的交点, 即 1+ ≤m+2<3, 即 ﹣1≤m<1.

点评: 本题主要考查三角函数的图象和性质,利用辅助角公式将函数进行化简,利用数形结合是解决本 题的关键.

21. (14 分)定义在 R 上的函数 f(x)对任意的 x 都有 f(x+4)=f(x) ,当 x∈时,f(x)=2 +n,且 f (2)=1 (Ⅰ)求 m,n 的值; (Ⅱ)令 g(x)=ln(x+a) ,若对任意 x1∈,总存在 x2∈R,使得 g(x1)+2=f(x2)成立,求实数 a 的取值 范围; (Ⅲ)记函数 f(x)在区间(0≤t≤2)上的最小值为 h1(t) ,最大值为 h2(t) ,令 h(t)=h1(t)?h2(t) , 请写出 h(t)关于 t 的解析式. 考点: 抽象函数及其应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)由题有 f(4)=f(0) ,可求 m,再由 f(2)=1 求 n, (Ⅱ)求出 ln(1+a)+2≤g(x1)+2≤ln(e+a)+2,而 x2∈R,f(x2)=2 成立,则 ln(1+a)+2≥1,解得 a≥ ﹣1; (Ⅲ)画函数 f(x)的图象,结合图象求最值即可. 解答: 解: (Ⅰ)由题有 f(4)=f(0) ,即 2 |+n=2 |2﹣2 又 f(2)=1,即 2 |+n=1, 解得 n=0. (Ⅱ)∵x1∈,∴ln(1+a)+2≤g(x1)+2≤ln(e+a)+2, |x2﹣2 而 x2∈R,f(x2)=2 |≥1,
|4﹣m |0﹣m |4﹣m |0﹣m |x2﹣2

|x﹣m|

|≥1,要使得 g(x1)+2=f(x2)

|+n,得 2

|=2

|,m=2,

要使得 g(x1)+2=f(x2)成立,则 ln(1+a)+2≥1,解得 a≥ ﹣1; (Ⅲ)函数 f(x)的图象:

当 0≤t≤1 时,1≤t+1≤2,f(x)在区间上递减,故 h1(t)=f(t+1)=2 =2 ,h2(t)=f(t)=2 1﹣t 2﹣t 3﹣2t ∴h(t)=2 ×2 =2 ; |2﹣2| 当 1<t≤2 时,2<t+1≤3,f(x)在区间上先减后增,故 h1(t)=f(2)=2 =1, 而对于 f( t+1)=2
|t﹣1|

|t﹣1|

1﹣t

|t﹣2|

=2

2﹣t



=2

t﹣1

与 f(t)=2 ,

|t﹣2|

=2

2﹣t

,在 1<t≤ 时,h2(t)=f(t)=2

|t﹣2|

=2

2﹣t

,在 <t≤2 时,

h2(t)=f(t+1)=2

|t﹣1|

=2

t﹣1

∴h(t)=



点评: 本题主要考查函数的综合应用,同时考查数形结合与分类讨论的数学思想,属于中档题.


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