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2015年高考第一轮复习数学:9.6 空间向量及其运算(B)


9.6 空间向量及其运算(B) ●知识梳理 空间两个向量的加法、减法法则类同于平面向量,即平行四边 形法则及三角形法则. a·b=|a||b|cos〈a,b〉. a2=|a|2. a 与 b 不共线,那么向量 p 与 a、b 共面的充要条件是存在实数 x、y,使 p=xa+yb. a、b、c 不共面,空间的任一向量 p,存在实数 x、y、z,使 p=xa+yb+zc. ●点击双基 1.在以下四个式子中正确的有 a+b·c,a· (b·c) ,a(b·c) ,|a·b|=|a||b| A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.0 个 解析:根据数量积的定义,b·c 是一个实数,a+b·c 无意义. 实数与向量无数量积,故 a· (b·c)错,|a·b|=|a||b||cos〈a,b〉|, 只有 a(b·c)正确. 答案:A 2.设向量 a、b、c 不共面,则下列集合可作为空间的一个基底的 是 A.{a+b,b-a,a} B.{a+b , b - a , b} C.{a+b,b-a,c} D.{a+b+c,a+b, c} 解析:由已知及向量共面定理,易得 a+b,b-a,c 不共面,故 可作为空间的一个基底,故选 C. 答案:C 3.在平行六面体 ABCD—A′B′C′D′中,向量 AB ? 、 AD? 、 BD 是 A.有相同起点的向量 C.共面向量 解析:∵ AD? - AB ? = B ?D ? = BD , ∴ AB ? 、 AD? 、 BD 共面. 答案:C 4.已知 a= (1, 0) , b= (m, m) (m>0) , 则 〈a, b〉 =_____________. 答案:45° B.等长的向量 D.不共面向量 5.已知四边形 ABCD 中, AB =a-2c, CD =5a+6b-8c,对角线 AC、BD 的中点分别为 E、F,则 EF =_____________. 解析:∵ EF = EA + AB + BF , 又 EF = EC + CD + DF , 两式相加, 得 2 EF = ( EA + EC ) + ( AB + CD ) + ( BF + DF ) . ∵E 是 AC 的中点, 故 EA + EC =0.同理, BF + DF =0. ∴2 EF = AB + CD =(a-2c)+(5a+6b-8c)=6a+6b-10c.∴ EF =3a+3b-5c. 答案:3a+3b-5c ●典例剖析 【例 1】 证明空间任意无三点共线的四点 A、B、C、D 共面的 充分必要条件是:对于空间任一点 O,存在实数 x、y、z 且 x+y+z=1, 使得 OA =x OB +y OC +z OD . 剖析:要寻求四点 A、B、C、D 共面的充要条件,自然想到共 面向量定理. 解:依题意知,B、C、D 三点不共线,则由共面向量定理的推 论知:四点 A、B、C、D 共面 ? 对空间任一点 O,存在实数 x1、y1, 使得 OA = OB +x1 BC +y1 BD = OB +x( +y( 1 OC - OB ) 1 OD - OB ) =(1-x1-y1) OB +x1 OC +y1 OD ,取 x=1-x1-y1、y=x1、z=y1,则 有 OA =x OB +y OC +z OD ,且 x+y+z=1. 特别提示 向量基本定理揭示了向量间的线性关系,即任一向量都可由基 向量唯一的线性表示,为向量的坐标表示奠定了基础.共(线)面向 量基本定理给出了向量共 (线) 面的充要条件, 可用以证明点共 (线) 面.本题的

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