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2.3 等差数列的前n项和(二)


§2.3

等差数列的前 n 项和(二)

?S1 ? ? ?Sn-Sn-1 ?

1.前 n 项和 Sn 与 an 之间的关系 对 任 意 数 列 {an} , Sn 是 前 n 项 和 , Sn 与 an 的 关 系 可 以 表 示 为 an = ?n=1?, ?n≥2?. 2.等差数列前 n 项和公式 n?a1+an? n?n-1? Sn= =na1+ d. 2 2 3.等差数列前 n 项和的最值 (1)在等差数列{an}中 当 a1>0,d<0 时,Sn 有最大值,使 Sn 取到最值的 n 可由不等式组? 当 a1<0,d>0 时,Sn 有最小值,使 Sn 取到最值的 n 可由不等式组?
?an≥0 ? ? ?an+1≤0 ?an≤0 ? ?an+1≥0 ?

确定; 确定.

(2)因为 Sn= n +?a1- ?n,若 d≠0,则从二次函数的角度看:当 d>0 时,Sn 有最小值; 2? 2 ? 当 d<0 时,Sn 有最大值;且 n 取最接近对称轴的自然数时,Sn 取到最值. 一个有用的结论: 2 若 Sn=an +bn,则数列{an}是等差数列.反之亦然.
2

d

?

d?

一、选择题 1.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n ,则 an 等于( ) 2 A.n B.n C.2n+1 D.2n-1 2 2.数列{an}为等差数列,它的前 n 项和为 Sn,若 Sn=(n+1) +λ ,则 λ 的值是( ) A.-2 B.-1 C.0 D.1 2 3.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n -9n,第 k 项满足 5<ak<8,则 k 为( ) A.9 B.8 C.7 D.6 S3 1 S6 4.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 = ,则 等于( ) S6 3 S12 3 1 1 1 A. B. C. D. 10 3 8 9 a5 5 S9 5.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 = ,则 等于( ) a3 9 S5 A.1 B.-1 1 C.2 D. 2 6. 设{an}是等差数列, Sn 是其前 n 项和, 且 S5<S6, S6=S7>S8, 则下列结论错误的是( ) A.d<0 B.a7=0 C.S9>S5 D.S6 与 S7 均为 Sn 的最大值 二、填空题 2 * 7.数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=n -n,(n∈N ),则通项 an=________. 8.在等差数列{an}中,a1=25,S9=S17,则前 n 项和 Sn 的最大值是________. 9.在等差数列{an}中,已知前三项和为 15,最后三项和为 78,所有项和为 155,则项
1
2

数 n=________. 10.等差数列{an}中,a1<0,S9=S12,该数列在 n=k 时,前 n 项和 Sn 取到最小值,则 k 的值是________. 三、解答题 11.设等差数列{an}满足 a3=5,a10=-9. (1)求{an}的通项公式; (2)求{an}的前 n 项和 Sn 及使得 Sn 最大的序号 n 的值.

12.已知等差数列{an}中,记 Sn 是它的前 n 项和,若 S2=16,S4=24,求数列{|an|}的 前 n 项和 Tn.

能力提升 2 * 13. 数列{an}的前 n 项和 Sn=3n-2n (n∈N ), 则当 n≥2 时, 下列不等式成立的是( A.Sn>na1>nan B.Sn>nan>na1 C.na1>Sn>nan D.nan>Sn>na1 14.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a3=12,且 S12>0,S13<0. (1)求公差 d 的范围; (2)问前几项的和最大,并说明理由.

)

1.公式 an=Sn-Sn-1 并非对所有的 n∈N 都成立,而只对 n≥2 的正整数才成立.由 Sn 求通项公式 an=f(n)时, 要分 n=1 和 n≥2 两种情况分别计算, 然后验证两种情况可否用统 一解析式表示,若不能,则用分段函数的形式表示. 2.求等差数列前 n 项和的最值 * (1)二次函数法:用求二次函数的最值方法来求其前 n 项和的最值,但要注意 n∈N ,结 合二次函数图象的对称性来确定 n 的值,更加直观. ? ? ?an≥0, ?an≤0, (2)通项法:当 a1>0,d<0,? 时,Sn 取得最大值;当 a1<0,d>0,? ?an+1≤0 ?an+1≥0 ? ? 时,Sn 取得最小值.
2

*

3.求等差数列{an}前 n 项的绝对值之和,关键是找到数列{an}的正负项的分界点.

§2.3
一、选择题

等差数列的前 n 项和(二)

1.答案 D 2.答案 B 2 解析 等差数列前 n 项和 Sn 的形式为:Sn=an +bn, ∴λ =-1. 3.答案 B 解析 由 an=?
?S1, ? ?Sn-Sn-1, ?

n=1 n≥2

,∴an=2n-10.

由 5<2k-10<8,得 7.5<k<9,∴k=8. 4.答案 A S3 3a1+3d 1 解析 方法一 = = ? a1=2d, S6 6a1+15d 3 S6 6a1+15d 12d+15d 3 = = = . S12 12a1+66d 24d+66d 10 S3 1 方法二 由 = ,得 S6=3S3.S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9 仍然是等差数列,公差为(S6 S6 3 -S3)-S3=S3,从而 S9-S6=S3+2S3=3S3? S9=6S3, S6 3 S12-S9=S3+3S3=4S3? S12=10S3,所以 = . S12 10 5.答案 A a5 2a5 a1+a9 5 解析 由等差数列的性质, = = = , a3 2a3 a1+a5 9 9 ?a1+a9? S9 2 9 5 ∴ = = × =1. S5 5 5 9 ?a1+a5? 2 6.答案 C 解析 由 S5<S6,得 a6=S6-S5>0.又 S6=S7? a7=0,所以 d<0. 由 S7>S8? a8<0,因此,S9-S5=a6+a7+a8+a9 =2(a7+a8)<0 即 S9<S5. 二、填空题 7.答案 2n-2 8.答案 169 解析 方法一 利用前 n 项和公式和二次函数性质. 17 9 由 S17=S9,得 25×17+ ×(17-1)d=25×9+ ×(9-1)d,解得 d=-2, 2 2 所以 Sn=25n+ (n-1)×(-2)=-(n-13) +169, 2 由二次函数性质可知,当 n=13 时,Sn 有最大值 169. 方法二 先求出 d=-2,因为 a1=25>0,
? ?an=25-2?n-1?≥0, 由? ?an+1=25-2n≤0, ?

n

2

1 ? ?n≤132, 得? 1 ?n≥122. ?
3

所以当 n=13 时,Sn 有最大值. 13×?13-1? S13=25×13+ ×(-2)=169. 2 因此 Sn 的最大值为 169. 方法三 由 S17=S9,得 a10+a11+…+a17=0,而 a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14, 故 a13+a14=0.由方法一知 d=-2<0,又因为 a1>0,所以 a13>0,a14<0, 13×?13-1? 故当 n=13 时,Sn 有最大值.S13=25×13+ ×(-2)=169. 2 因此 Sn 的最大值为 169. 9.答案 10 解析 由已知,a1+a2+a3=15,an+an-1+an-2=78,两式相加,得 (a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)=93,即 a1+an=31. n?a1+an? 31n 由 Sn= = =155,得 n=10. 2 2 10.答案 10 或 11 ? ?an=a1+?n-1?d≤0 1 解析 方法一 由 S9=S12,得 d=- a1,由? ,得 10 ?an+1=a1+nd≥0 ? 1 ? ?1-10?n-1?≥0 ? 1 ?1-10n≤0 ?



解得 10≤n≤11.∴当 n 为 10 或 11 时,Sn 取最小值, ∴该数列前 10 项或前 11 项的和最小. 1 方法二 由 S9=S12,得 d=- a1, 10 d? n?n-1? d 2 ? 由 Sn=na1+ d= n +?a1- ?n, 2? 2 2 ? 1 21 21?2 441 a 1? ? ? 2 ? ? 得 Sn=?- a1?·n +? a1?·n=- ?n- ? + a1 (a1<0), 2 ? 80 20? ? 20 ? ?20 ? 21 由二次函数性质可知 n= =10.5 时,Sn 最小. 2 * 但 n∈N ,故 n=10 或 11 时 Sn 取得最小值. 三、解答题 11.解 (1)由 an=a1+(n-1)d 及 a3=5,a10=-9 得
? ?a1+2d=5, ? ?a1+9d=-9, ?

可解得?

? ?a1=9, ?d=-2, ?

所以数列{an}的通项公式为 an=11-2n.

(2)由(1)知,Sn=na1+
2

n?n-1? d=10n-n2.
2

因为 Sn=-(n-5) +25, 所以当 n=5 时,Sn 取得最大值. 2×1 ? ?2a + 2 d=16, S = 16 , S = 24 , 得 ? 4×3 ? ?4a + 2 d=24.
1 2 4 1

12 . 解



? ?2a1+d=16, 即? ?2a1+3d=12. ?

解得

? ?a1=9, ? ?d=-2. ? 4

所以等差数列{an}的通项公式为 an=11-2n (n∈N ). 2 (1)当 n≤5 时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=-n +10n. (2)当 n≥6 时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+a5-a6-a7-…-an=2S5-Sn 2 2 2 =2×(-5 +10×5)-(-n +10n)=n -10n+50, 2 ? ?n≤5?, ?-n +10n ? 故 Tn= 2 ?n -10n+50 ?n≥6?. ? 能力提升 13.答案 C , ?n≥2? 2 解得 an=5-4n.∴a1=5-4×1=1,∴na1=n,∴nan=5n-4n , 2 2 ∵na1-Sn=n-(3n-2n )=2n -2n=2n(n-1)>0. Sn-nan=3n-2n2-(5n-4n2)=2n2-2n>0. ∴na1>Sn>nan. 方法二 ∵an=5-4n,∴当 n=2 时,Sn=-2,na1=2,nan=-6,∴na1>Sn>nan. 14.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a3=12,且 S12>0,S13<0. (1)求公差 d 的范围; (2)问前几项的和最大,并说明理由.
? ?Sn-Sn-1

*

解析 方法一

由 an=?

?S1 ?

?n=1?



? ? 13×12 (1)根据题意,有:? 13a + d<0, 2 ? ?a +2d=12,
12×11 12a1+ d>0, 2
1 1

2a1+11d>0, ? ? 整理得:?a1+6d<0, ? ?a1+2d=12.

24 解之得:- <d<-3. 7 13?a1+a13? (2)∵d<0,而 S13= =13a7<0,∴a7<0. 2 12?a1+a12? 又 S12= =6(a1+a12)=6(a6+a7)>0, ∴a6>0.∴数列{an}的前 6 项和 S6 最大. 2

5


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