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2006年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛


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3 2  

中 等 数 学 

2 0 0 6 年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛 




选择 题 ( 每小 题 6 分, 共3 6 分)  
十 CO8 

△A B C 的三个

内角 满足 (  

) .  

l - 使 关 于  的不 等 式  的实数 k的最 大值是 (  

≥ k有 解 

( A) s i n   C—s i n   B=去s i n   A  

) .  

( B ) s n i   C— s i n   B=一 去s i n   A   ( C ) s i n   C+ s i n   B= 去s i n   A  
( D) s n i   C—s i n   B=s i n   A  

( A ) 一 导( B ) 一   3( c )  ( D ) 导  
2 . 已知二次函数 厂 (  ) 满足 :  
1 一  ) =   1 +  ) , 一4 ≤  1 ) ≤ 一1 ,  


1 ≤  2 ) < - - 5 .  


二、 填 空题 ( 每 小题 9分 , 共 5 4分 )  

则 厂 ( 3 ) 的取值范围为(  

) .  

7 . 设 非 零 相 异 复 数  、 Y满 足  +x y+   Y   =0 . 则 代数 式 

( A ) 7 ≤. 厂 ( 3 ) ≤2 6  
( B ) 一4 ≤  3 ) ≤1 5   ( c ) 一1 ≤  3 ) ≤3 2   ( D ) 一2   8
~   一 _

【   (   + ) , ) (   一 ) , )   】 J  ( X 2 0 0 6 + 1 -   y 2 嘶 )  
的值为— — .  
8 尼 知 a b=l , 且  +   =1 .  



2 5    

3 . 已 知   、 y E 【 一 号 , 号 】 , 口 ∈ R , 且  
f   +s i n   一2 a =0,  

则  +Y的值为— — .  

L 4 y 。 +s i n   Y ? c 0 s   Y+口=0 .  

9 . 设口 、 p 、 y ∈ ( 0 , 号 ) , 且 满 足  
C S 口=口 O , c s( o s i n  ) =  , s i n ( c S  O y ) =y.  

则C O S (  + 2 y ) 的值为(  
( A) 1   ( B ) 一1  

) .  
( D)  

则 a 、 p、 y的大 小关 系为— — .  
( c ) o  

1 O . 如 果 复 数 l 、  2满 足 l  l   l =l  2   l ,  

4 . 设 口、 b是互 质 的两个 自然 数 . 则 口  +   b  和 口 。 +b 。 的最大 公约 数为 (   ) .   ( A) 1   ( B ) 2   ( D) 可 能大 于 2   ( C ) 1 或2  

且 

2 一 i , 则 

的值为— — ?  

l 1 . 由不 大于 2   0 0 6的 连续 l 0个 正 整 数  的和组 成 集 合 | s , 由不 大 于 2   0 0 6的连 续 1 1   个正整数的和组成集合  , 则 | s n   的元素  个 数 是— — .   1 2 . 平 面上任 意给定 的 r t 个 向量 为 O P, ,  

5 . 在 x O y平 面 上 , 三 角 形 顶 点 坐 标 为  (  , Y   ) ( i =1 , 2 , 3 ) , 其 中,  、 Y   是 整 数 且 满  足 1 ≤   ≤n , 1 ≤Y   ≤n (   为整数 ) , 这 样 的 

三角形有 5 1 6 个. 则  的值为(   ( A ) 3   ( B ) 4   ( C ) 5  

) .   ( D ) 6  

O P 2 , …, O P . , 向量 O P使得 
+   为最 小 . 则 向量 O P为
— —

+   ; +… 
. 

6 . 在△ A B C中, A为 动 点 , B( 一   , 0 ) 、  

三、 解答 题 ( 每小 题 2 0分 , 共 6 0 分)  
l 3 . 设 厂为 实 数 集 R 到 实 数 集 R 的 函 


c ( 昙, 0 ) ( 口 > 0 ) 为定点, 且动点 A的轨迹方  数 , 满足 
程 是  一   :l ( ) , ≠0 )的 右 支 . 则 
+Y ) =  (  ) +   Y ) + 2 x y.  

若 厂 (  ) 的图像有对称轴  =k且在区间  


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2 0 0 7年第 7期 

3 3  
及 o 、 b互质 , 必有 2 I ( o+b ) . 于是 , 4 I ( o+b )   .  
而( o+ b )  = o  + b  +2 a b , 由此 得 4   I   2 a b , 即 
2 I 曲 .  

[ 2 , 一 3 ] 上单调递减 , 求 k的取值范围 .   1 4 . 设 a 、 b为 正 整 数 , 两直线 l   : Y=  
一  

+6与 / 2 : Y=  b   的交点是(  - , Y 1 ) ,  

于是 , 2 l   o或 2 I   b .  

.  

对 于 自然数 n ( n ≥2 ) , 过点 ( 0 , b ) 和(  一   , 0 )   的直 线 与 直 线 :的交 点 记 为 ( %,   ) . 求 数  列{ ‰} 、 { Y   } 的通项 公 式 .  
1 5 . 设 a>1 , b>1 . 证明 :  
=  + 十   =  2? ’  

无论何种情况都 推出( o , b ) >2 I , 这和 。与 b 互  质矛盾 . 同样可 得  +b  和 o 。 +b 。不会 有 大 于 2  
的质公因子 .  
5. B.  

容易计 算 , 当 n ≥5时 , 三 角 形 的个 数 均 超 过 

5 1 6 . 故 只需考虑 n<5的情况 . 此时, 所有 的 三点 组  有  个 , 其中, 不合题意 的三点组 为 : 水平方 向或垂 
直方向共线 的三点组共 2 n   个, 斜率 为 ±1 方 向上 

参 考 答 案 


共线的三点组共有 2 (   + 2  一 。 + …+ 2 a) 个. 故  2 — 2 n   一 2 (   + 2  一 l + …+ 2 a) = 5 1 6 .  
的值 域 的 



1. D.  

本题 实 质 上 是 求 ,(  )=  
上限 .  

但  + 四 +…+   一 。 =   , 故 
z一2 n   一2   一4   =5 1 6 .  

将厂 (  ) 看成 是点 A( c 0 8  , s i n  ) 和点 曰(一2 ,   1 ) 确定 的直线 的斜率 . 而点 A在单位 圆周上运动 ,   当   为 圆的切线 时斜 率取 最值 .  


直接试得 n= 4 .  
6 . A.  

由 此容易求得, 嘣: {.  
2. C.  

黼 舫 翡 成 裔 ( 号 ) 一 南 (   )    
由双 曲线定 义可知 

设 厂 (  ) =  

+如 +c ,则 

, ( 1 ) =o +b +c , f ( 2 ) = 4 a + 2 6 +c , Ao ) =c .   又, (  ) 的对称轴为  =1 , 所以, f ( 2 ) = , ( 0 ) . 由  
此得 2 o+b=0 .  

I A B I — I   A C I = 2 × 号= 号=   1   I   B C I .  
由正弦定理知 
I   A BI =2 R  s i n   C。 I   A CI =2R   s i n   B,   I   BCI =2 R   s i n   A.  

于是 , , ( 1 ) =一o +c , f ( 2 ) = c .   但 厂 ( 3 ) = 9 a + 3 6 +c = 3 a +c , 故 


将其代入上式并 化简得 
s i n   C— s i n曰=  1  
s i n   A.  

, ( 3 ) =一 3 f ( 1 ) + 4 A2 ) .  

由题设中, ( 1 ) x f ( 2 ) 的范围知 一 1 ≤ , ( 3 ) ≤3 2 .  
3 . A.  

二 、 7.一  

.  

由题 议  ̄侍 , .  f   x+ (




s i nx



2a



2y) 。 + s i n(


2 y ) : 2 。 .  

由   、 y 非 零 相 异 可 得 ( ÷ )   + 三 Y + 1 = o , 则  
三 :叫为 三次单 位复根 . 从而,  

令 , (   ) =   + s i n  ∈ [ 一 号 , 号 】 ,  ̄ l J l   f ( t ) 是   【 一 号 , 号 】 上 的 增 函 数 . 于 是 , 由 , (   ) = / ( 一 2 y ) ,  
得  = 一 2 y , 即  +2 y=0 . 故 c 0 8 (  +2 y ) =1 .  
4. C.  

原 式 : 【 r  


J 1   2   0 0 6 (   + 1 )  

【 南

】 一(  + 1 )  

若取 o=2 , b=3 , 贝 U   o   +b  =1 3 , o 。+b 。 =3 5 .  
1 3与 3 5互质 .  



茹c —  : 一  .  

8 .一1 .  

若取 o= 3 , b=5 , 则 a 2+b  和 n 3+b 。都是 偶  数, 它们有公因子 2 .   现假设 o   +6  和 o 。 +b 。 有 公因子 4 , 则因 
o 。 +b 。 =( o+b ) ( 口   +b   ) 一a b ( o+b )  


题设等式两边 同乘( 1 —2   o ) ( 1 —2 y “6 ) 得 
2—2   o一2 y   。 b= 1 —2   o一2 y  。 b+2   y  。 曲 .  

1=2×2  y .  

所以 ,   +Y = 一1 .  

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中 等 数 学 
9 . y<口<  .  

由 口=C O S 口 , 卢=c  ̄( s i n卢 ) >c o s 卢,  
y=s i n ( C O S   y ) <C O S   y ,  

( ∑O P k )  
≥  一   ?  

且 , (   ) =   — c 0 s   在 [ 0 , 号 ] 上 为 增 函 数 , 则 有  
y < 口 <  .  

当 O P = 1  ̄ = l   O P , 时 , 上 式 等 号 成 立 , 故  
OP   1  


1 0 . 一了 3  

4  i

2   0 P  ̄ -  



. 

三、 1 3 . 令  = 0 , 得, ( 0 ) = 0 . 再由题设得  0 = , ( 0 ) = , (  —  ) = , (  ) + , ( 一  ) 一 2 x   ,  

注意到 I  1   2 I =I  l   I  = I  2 I  , 则 

2 - i   -   : = 志  :   一  
=  

即 

) + , ( 一  ) = 2 x   .  
又, ( j } +  ) = , ( k ) + , (  ) + 2  ,   k —  ) = , ( k ) + , ( 一  ) 一 2  ,  

① 

Z l   Z 2(   一 一 Z 1 ) :   ( 2 +i ) .  

(  

)  



一  

上两式相减, 并注意, ( k +  ) = , ( k —  ) , 有  ) 一 , ( 一  ) =一 4  .   由式①、 ②得 , (  ) =   一 2  .  

② 

于 是 ,   = 一  = 一 号 + 詈i .  
1 1.1 81 .  

这 是 开 口 向 上 的抛 物 线 , 单 调 递 减 区 间 为 

( 一   , k ] . 故 ≥3 .  
1 4 . 直线 z 。 过点 ( 2 a , 0 ) 、 ( 0 , b ) , 易知 z 。 与 z :的  交点为 

. s 为从 5 5开始到  2 0   0 1 5 =   ( 1   9 9 6 +i ) =1 0×1   9 9 6+5 5  

为止的所有个位数为 5的整数集 合 .  

(  y 。 ) = ( n , 告 ) .  
过点 ( 0 , b ) 、 ( ‰一 。 , 0 ) 的直线方程为 

同理 ,   为从 6 6开始 每次 增加 1 1 得 到 的整 数 
集合 , 其 中, 最 大的一个 数为  2 2   0 1 1 :   ( 1   9 9 5 +i ) =1 1 ×l   9 9 5 +6 6 .  

砉+ 舌  ,  
它与 z :的交点为 ( 靠, y n ) . 于是 ,  


T中元素平均每 1 0个 中有 一个 的个位 数为 5 ,  

故  中 共 有 个 位 数 为 5 的 元 素 1 9 9 = [ 1   1 9 0 9 6 1 J 个 , 为  
t k =5 5+l l O k( k =1 , 2 , …, 1 9 9 ) .   由5 5 +1 l O k ≤2 0   0 1 5 , 解得 k ≤1 8 1 .   故I . s n   T I =1 8 1 .  
1 2. 1 

_

誓= 1 , 且y n =   b.  
=   (   ) .  

故  一  

此 说 明 数 列 { 去 ) 是 首 项 为 丢 、 公 差 为   的 等  
差数列 .  
从而' 1  =1


   ̄ OPk


+  

=   n+ l


l  

即 

∑  = ∑( O P k — O P )  


2n  

;  

‘  

∑(   一 2 0 P k ? O P +   )   ∑  一 2 ( ∑O P k ) ? O P + ,   ( ∑O P k )  
一  

由 此 可 得  = 麦   =  ?  =  .  
1 5 . 令 f L   ’ 则 f   '   Y= b一 1 .   L   b= Y+1 .  
不 等式 左边 
≥ 



+ 



l   O P 一   ( 砉  ) ]  

’ ,  

+  

( 、 菩 ’ ,   +   ) ,  .  
( 傅 龙骧 提供 )  


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