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排列组合问题的类型及解答策略


排列组合问题的类型及解答策略
一、相邻问题捆绑法 例 1 6 名同学排成一排,其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有( A. 720 B. 360 C. 240 D. 120 二、相离问题插空法 例 2 要排一张有 6 个歌唱节目和 4 个舞蹈节目的演出节目单,任何两个舞蹈节目不得相邻,有多少 不同的排法? 答案: )种 答案:C

三、定序问题缩倍法 例 3 信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号。现有 3 面红旗、2 面白旗,把这 5 面旗都 挂上去,可表示不同信号的种数是__________(用数字作答)。 解:5 面旗全排列有 种挂法,由于 3 面红旗与 2 面白旗的分别全排列均只能算作一次的挂法,故共

有不同的信号种数是

=10(种)。

四、标号排位问题分步法 例 4 同室 4 人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡,则四张贺年 卡的分配方式有( A. 6 种 ) B. 9 种 C. 11 种 D. 23 种

解:此题可以看成是将数字 1,2,3,4 填入标号为 1,2,3,4 的四个方格里,每格填一个数,且每 个方格的标号与所填数不同的填法问题。所以先将 1 填入 2 至 4 号的 3 个方格里有 被填入方格的对应数字,填入其它 3 个方格,又有 种填法;第二步把

种填法;第三步将余下的两个数字填入余下的两格

中,只有 1 种填法。故共有 3×3×1=9 种填法,而选 B。 评注:把元素排在指定号码的位置上称为标号排位问题。求解这类问题可先把某个元素按规定排放, 第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成。 五、有序分配问题逐分法 例 5 有甲、乙、丙三项任务,甲需由 2 人承担,乙、丙各需由 1 人承担,从 10 人中选派 4 人承担这 三项任务,不同的选法共有( )种 A. 1260 B. 2025 C. 2520 D. 5040 解:先从 10 人中选出 2 人承担甲项任务,再从剩下 8 人中选 1 人承担乙项任务,最后从剩下 7 人中 选 1 人承担丙项任务。根据分步计数原理可知,不同的选法共有 六、多元问题分类法 例 6 由数字 0, 1, 2, 3, 4, 5 组成没有重复数字的六位数, 其中个位数字小于十位数字的共有 ( A. 210 个 B. 300 个 C. 464 个 D. 600 个 , =300 (个) , ) =2520 种,故选 C。

评注:有序分配问题是指把元素按要求分成若干组,常采用逐步下量分组法求解。

解:按题意个位数只可能是 0 , 1 , 2 , 3 , 4 共 5 种情况,符合题意的分别有 个。 合并总计, 共有 故选 B。 +

评注:元素多,取出的情况也多种,可按结果要求,分成互不相容的几类情况分别计算,最后总计。 另解:先排首位,不用 0,有 固定, 故有 种方法;再同时排个位和十位,由于个位数字小于十位数字,即顺序 种排法。 故共有符合要求的六位数 =300 (个) 。

种方法; 最后排剩余三个位置, 有

七、交叉问题集合法 例 7 从 6 名运动员中选出 4 名参加 4×100 米接力赛,如果甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,共有多少 种不同的参赛方法? 解:设全集 U={6 人中任取 4 人参赛的排列},A={甲跑第一棒的排列},B={乙跑第四棒的排列},根 据求集合元素个数的公式可得参赛方法共有 =252(种)。 评注:某些排列组合问题几部分之间有交集,可用集合中求元素个数的公式: 来求解。 八、定位问题优先法 例 8 计划展出 10 幅不同的画,其中 1 幅水彩画、4 幅油画、5 幅国画,排成一行陈列,要求同一品 种的画必须连在一起,并且水彩画不放在两端,那么不同的陈列方式有( A. B. C. D. 种 )

解:先把 3 种品种的画看成整体,而水彩画不能放在头尾,故只能放在中间,则油画与国画有 放法。再考虑油画之间与国画之间又可以各自全排列。故总的排列的方法为 评注:所谓“优限法”,即有限制条件的元素(或位置)在解题时优先考虑。 九、多排问题单排法 种,故选 D。

例 9 两排座位,第一排有 3 个座位,第二排有 5 个座位,若 8 名学生入座(每人一座位),则不同 的坐法种数为( A. ) B. C. D. 种坐法,所以选 D。

解:此题分两排坐,实质上就是 8 个人坐在 8 个座位上,故有 评注:把元素排成几排的问题,可归结为一排考虑。 十、至少问题间接法

例 10 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台,其中至少要甲型与乙型电视机各一台,则不同 的取法共有( )种 A. 140 B. 80 C. 70 D. 35 解析:在被取出的 3 台中,若不含甲型或不含乙型的抽取方法均不合题意,故符合题意的取法有 =70 种,选 C。 评注:含“至多”或“至少”的排列组合问题,通常用分类法。本题所用的解法是间接法,即排除法 (总体去杂),适用于反面情况明确且易于计算的情况。 十一、选排问题先取后排法 例 11 四个不同的小球放入编号为 1,2,3,4 的四个盒子中,则恰有一个空盒的放法共有_________ 种(用数字作答)。

解:先从四个小球中取两个放在一起,

种不同的取法;再把取出的两个小球与另外两个小球看作 种不同的放法。依据分步计数原理,共有

三堆,并分别放入四个盒子中的三个盒子中,有 种不同的方法。

评注:这是一道排列组合的混合应用题目,这类问题的一般解法是先取(组合)后排(排列)。本题 正确求解的关键是把四个小球中的两个视为一个整体,如果考虑不周,就会出现重复和遗漏的错误。 十二、部分符合条件淘汰法 例 12 四面体的顶点及各棱中点共有 10 个点,在其中取 4 个不共面的点,不同的取法共有( A. 150 种 B. 147 种 C. 144 种 D. 141 种 )

解:10 个点中取 4 个点共有

种取法,其中同一侧面内的 6 个点中任取 4 个点必共面,这样的面共

有 4 个;又同一条棱上的 3 个点与对棱的中点也四点共面,共有 6 个面;再各棱中点共 6 个点中,取四点 共面的平面有 3 个。故符合条件 4 个点不共面的取法共有 =141(种),故选 D。

评注:在选取总数中,只有一部分符合条件,可从总数中减去不符合条件的个数,即为所求。 应该指出的是,上述所介绍的适用不同要求的各种方法并不是绝对的,对于同一问题有时会有多种方 法,这时要认真思考和分析,灵活选取最佳方法。


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