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1[1].6三角函数模型的简单应用(3课时)


1.6

三角函数模型的简单应用 第一课时

问题提出
1.函数 y ? A sin(? x ? ? ) 中的参数 A, ? , ? 对图象有什么影响?三角函数的性质包 括哪些基本内容?
2.我们已经学习了三角函数的概念、图象与 性质,其中周期性是三角函数的一个显著性 质.在现实生活中,如果某种变化着的现象 具有周期性

,那么它就可以借助三角函数来 描述,并利用三角函数的图象和性质解决相 应的实际问题.

探究一:根据图象建立三角函数关系 【背景材料】如图,某地一天从6~14时 的温度变化曲线近似满足函数:

y ? A sin(? x ? ? ) ? b

T/℃

30 思考1:这一天6~14 时的最大温差是多少? 20 10 30°-10°=20° o 6 思考2:函数式中A、b 的值分别是多少? A=10,b=20.

10 14

t/h

y ? A sin(? x ? ? ) ? b
思考3:如何确定函数 式中 w和 j 的值?
3? ? ? ,? ? 8 4

T/℃

30
20 10 o 6 10 14 t/h

?

思考4:这段曲线对应的函数是什么?
3? y ? 10sin( x ? ) ? 20, x ? [6,14]. 8 4

?

思考5:这一天12时的温度大概是多少 (℃)? 27.07℃.

探究二:根据相关数据进行三角函数拟合

【背景材料】 海水受日月的引力,在一 定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地, 早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船 在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后, 在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季 节每天的时间与水深关系表:
时刻

0 5.0

3 7.5

6 5.0

9 2.5

12 5.0

15 7.5

18 5.0

21 2.5

24 5.0

水深/米

时刻

0 5.0

3 7.5

6 5.0

9 2.5

12 5.0

15 7.5

18 5.0

21 2.5

24 5.0

水深/米

思考1:观察表格中的数据,每天水深 的变化具有什么规律性?

呈周期性变化规律.

时刻

0 5.0

3 7.5

6 5.0

9 2.5

12 5.0

15 7.5

18 5.0

21 2.5

24 5.0

水深/米

思考2:设想水深y 是时间x的函数, 作出表中的数据对 应的散点图,你认 为可以用哪个类型 的函数来拟合这些 数据?

y 8

6
4

2
o 6 12 18 24 x

思考3: 用一条光滑曲线连结这些点, 得到一个函数图象,该图象对应的函数 解析式可以是哪种形式?
y 8 6 4 2 o

6

12

18
3

24

x

y ? Asin(? x ? ? ) ? h

y 8 6 4 2 o 6 12 18 24 x

思考4:用函数 y ? Asin(? x ? ? ) ? h 来 刻画水深和时间之间的对应关系,如何 确定解析式中的参数值? ? A ? 2.5, h ? 5, T ? 12, ? ? 0, ? ?
6

思考5:这个港口的水深与时间的关系可 用函数 y ? 2.5sin

?
6

x ? 5 近似描述,你能

根据这个函数模型,求出各整点时水深 的近似值吗?(精确到0.001)

时刻 水深 时刻 水深

0:00 5.000 6:00 5.000

1:00 6.250 7:00 3.754

2:00 7.165 8:00 2.835

3:00 7.500 9:00 2.500

4:00 7.165 10:00 2.835

5:00 6.250 11:00 3.754

时刻
水深 时刻 水深

12:00
5.000 18:00 5.000

13:00
6.250 19:00 3.754

14:00
7.165 20:00 2.835

15:00
7.500 21:00 2.500

16:00
7.165 22:00 2.835

17:00
6.250 23:00 3.754

思考6:一条货船的吃水深度(船底与 水面的距离)为4米,安全条例规定至 少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底 的距离),该船何时能进入港口?在 港口能呆多久?
y 8

6
4 2 o 5

B A

C

D

10

15

x

y
8 6

B

4
2 o

A

C

D

5

10

15

x

货船可以在0时30分左右进港,早晨5 时30分左右出港;或在中午12时30分左 右进港,下午17时30分左右出港.每次可 以在港口停留5小时左右.

思考7:若某船的吃水深度为4米,安全 间隙为1.5米,该船在2:00开始卸货, 吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那 么该船在什么时间必须停止卸货,将船 驶向较深的水域? 货船最好在 y p 8 y = 2.5 sin x + 5 6.5时之前停 6 6 止卸货,将 4 船驶向较深 y=-0.3x+6.1 2 的水域.
o 2 4 6 8 10 12 x

y

思考8:右图中, 6 设点P(x0,y0), .P 4 有人认为,由于 y=-0.3x+6.1 2 P点是两个图象的 o 2 4 6 8 10 12 x 交点,说明在x0 时,货船的安全水深正好与港口水深相 等,因此在这时停止卸货将船驶向较深 水域就可以了,你认为对吗?
8

p y = 2.5 sin x + 5 6

小结作业 1.根据三角函数图象建立函数解析式, 就是要抓住图象的数字特征确定相关的 参数值,同时要注意函数的定义域. 2.对于现实世界中具有周期现象的实际 问题,可以利用三角函数模型描述其变 化规律.先根据相关数据作出散点图,再 进行函数拟合,就可获得具体的函数模 型,有了这个函数模型就可以解决相应 的实际问题.

作业: P65 练习:1,2,3.

1.6

三角函数模型的简单应用

第二课时

问题提出
?

1.函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ), x ? R(其中? ? 0, ? ? ) 2 的最小正周期是 ? ,且 f (0) ? 3 ,能否 确定函数f(x)的图象和性质?
2.三角函数的应用十分广泛, 对于与角 有关的实际问题,我们可以建立一个三 角函数,通过研究其图象和性质或进行 定量分析,就能解决相应问题.这是一种 数学思想,需要结合具体问题的研究才 能领会和掌握.

探究一:建立三角函数模型求临界值
【背景材料】如图,设地球表面某地正午太 阳高度角为θ ,δ 为此时太阳直射纬度,φ 为该地的纬度值.当地夏半年δ 取正值,冬半 年δ 取负值. 如果在北京地区(纬度数约为 北纬40°)的一幢高为h0的楼房北 φ -δ 面盖一新楼,要使新 楼一层正午的太阳全 θ φ 太阳光 年不被前面的楼房遮 δ 挡,两楼的距离不应 小于多少?

思考1:图中θ 、 δ 、φ 这三个角 之间的关系是什 么?
θ=90°-∣φ-δ∣.

φ -δ

φ δ

θ

太阳光

思考2:当太阳高度角为θ 时,设高为 h0的楼房在地面上的投影长为h,那么 θ 、h0、h三者满足什么关系?

h0=h tanθ.

思考3:根据地理知识,北京地区一年 中,正午太阳直射什么纬度位置时,物体 的影子最短或影子最长?

太阳直射北回归线时物体的影子最 短,直射南回归线时物体的影子最 长.

思考4:如图,A、B、C分别为太阳直射 北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地 面上的投影点.要 使新楼一层正午 的太阳全年不被 前面的楼房遮挡, 两楼的临界距离 h 应是图中哪两点 -23°26? 0° 23°26? M A B C 之间的距离? 40°
0

思考5:右图中∠C 的度数是多少?MC 的长度如何计算?
h0
-23°26?

h0 h0 MC ? ? ? 2h0 0 tan C tan 26 34 '

0° 23°26? M A 40°

B

C

思考6:综上分析,要使新楼一层正午 的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两楼 的距离不应小于多少?

探究二:建立三角函数模型解决最值问题

【背景材料】某地拟修建一条横断面为 等腰梯形的水渠(如图),为了降低成 本,必须尽量减少水与水渠周壁的接触 面.若水渠横断面面积设计为定值S,渠 深为h,问应怎样修建才能使修建成本最 低? A B
S D
C

思考1:修建水渠的成本可以用哪个几何 量来反映?
A S D C

B
h E

思考2:设想将AD+DC+CB表示成某个变 量的函数,那么自变量如何选取?

思考3:取∠BCE=x为自变量,设y=AD+ DC+CB,那么如何建立y与x的函数关系?
A S x D C

B
h E

S h(2 - cos x ) y= + h sin x

思考4:考虑x的实际意义,这个函数的 定义域是什么?
A B

S x D
C

h

E

S h (2 - cos x ) y = + h sin x p x ? (0, ) 2

思考5:注意到S、h为常数,要使y的值 最小,只需研究哪个三角函数的最小值?
2 - cos x p k= (0 < x < ) sin x 2

2 - cos x p k= (0 < x < ) 思考6:对于函数 sin x 2

你有什么办法求出当x为何值时,k取 最小值? y A(0,2) P(-sinx,cosx)
O x

k = kPA

思考7:如何对原问题作出相应回答?
A S x D C B h E

修建时使梯形的腰与底边的夹角为 60°,才能使修建成本最低.

理论迁移 例 某市的纬度是北纬 21°34′,小王想在某住 宅小区买房,该小区的楼 高7层,每层3米,楼与楼 之间相距15米,要使所买 楼房在一年四季正午的太 阳不被前面的楼房遮挡, 最低应该选择第几层的房?

15 6

15

21

三楼

小结作业 1.三角函数应用题通常涉及生产、生活、 军事、天文、地理和物理等实际问题, 其解答流程大致是:审读题意 设 角建立三角函数 分析三角函数性质 解决实际问题. 其中根据实际问题的背 景材料,建立三角函数关系,是解决问 题的关键.

2.在解决实际问题时,要学会具体问题 具体分析,充分运用数形结合的思想, 灵活的运用三角函数的图象和性质进行 解答.

作业: P65习题1.6A组:1,2,3.

1.6

三角函数模型的简单应用
第三课时

(习题课)

例1 弹簧上挂的小球做上下振动时, 小球离开平衡位置的距离s(cm)随时 间t(s)的变化曲线是一个三角函数的 图象,如图. s/cm (1)求这条曲线对 4 应的函数解析式; 7p 12 (2)小球在开始振 O t/s p 动时,离开平衡位 12 -4 置的位移是多少?

例2 如图,甲船在点A处测得乙船在 北偏东60°的B处,并以每小时10海里的 速度向正北方向行使,若甲船沿北偏东 θ 角方向直线航行,并与乙船在C处相遇, 求甲船的航速. C


5 3 p v= ,q (0, ) p 3 sin( - q) A 3

θ

D
B

例3

已知函数 y = sin( wx + j )

p ( w > 0, 0 < j < ) 的部分图象如图所示, 2
试确定函数f (x ) = cos w(x + j )的奇偶性.
y 1 o -1

3p 8

7p 8
x

p p f (x ) = cos 2(x + ) = cos(2x + ) = - sin 2x 4 2

例4 将函数y=sin2x的图象先向左平
2p 移 3 个单位,再把图象上各点的横坐标 2 缩短到原来的 倍,纵坐标伸长到原来的 3

4倍,然后将所得图象向下平移2个单位得 曲线C,求曲线C对应的函数解析式.
4p y = 4 sin(3x + )- 2 3

例5 在函数 f (x ) = sin(wx + j )(w > 0) 1 的图象与直线 y = 的交点中,距离最近
p 的两点之间的距离是 3 ,求函数f(x)的
2

最小正周期.

T=π

例6 已知函数 f (x ) = 2 sin wx (w > 0)在区 p p 间 [- , ] 上的最小值是-2,求ω 的取值范 3 4 围. 3
[ ,+ 2 )

作业: P71复习参考题B组: 2,3,4,7,8.


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