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高一数学教案:苏教版高一数学指数函数1


§17 指数函数
江苏省启东中学 黄群力

[教学目标]理解指数函数的概念和意义,观察指数函数图象变化规律和底
数的关系,结合函数定义域和值域加深对指数函数图象和性质 的认识。

[学习指导]
重点:对指数函数图象和性质理解掌握,并能运用。 难点:对图象和性质的深刻认识和把握。 教材分析: 1、指数函数图象和性质: 函数 y ? a x (a ? 0, a ? 1, x ? R) 叫指数函数,它的图象和性质见表

指数函数 y ? a x ?a ? 0, a ? 1? 的性质
0 ? a ?1

对应图象
y

a ?1
(0,1) 0

定义域为 ?? ?,??? ,值域为 ?0,???

x
y
a ?1

0 ? a ?1

x 为任意实数, a x ? 0 恒成立,图象位于 x 轴上方
0
0 ? a ?1

x
y

a ?1
(0,1) 0

a 0 ? 1, y ? a x 的图象都经过点 ?0,1?

x

y

a
a1 ? a
0 1

?1, a ?
x

当 a ? 1 时,若 x 2 ? x1 ,则 a x2 ? a x1 ,它是 增 函 数 ; 当 0 ? a ? 1 时 , 若 x 2 ? x1 , 则

0 ? a ?1

y
a ?1

a x2 ? a x1 ,它是减函数
当 a ? 1 时,若 x ? 0 ,则 a x ? 1 ;

0

x

y

y ?1
若 x ? 0 ,则 0 ? a ? 1
x

1

0 ? y ?1
0
y

x

当 0 ? a ? 1 时,若 x ? 0 ,则 0 ? a x ? 1 ;

y ?1
若 x ? 0 ,则 a x ? 1 0 1

0 ? y ?1

x

2、学习的注意问题 ①定义域是 R。因为指数的概念已经扩充到有理数和无理数,所以在底数 a>0 的前提下,x 可以是任意实数。 ②规定 a>0,a≠1 的原因是:在 y= a x 中,若 a=1,则 y=1,它是一个常 数函数。为了保证当 x 取分数时 a x 有意义,必须要求 a≥0;但是 a=0 时, a x 只有 x>0 有意义,且 y= a x =0 也有常数函数。 3、学习方法、解题技巧、思维方法 ① 当底数 a 大小不定时,必须分“a>1”和“0<a<1”两种情形讨论。

② 当 0<a<1 时,x→+∞,y→0;当 a>1 时,x→-∞,y→0,当 a>1 时,a 的值越大,图象越靠近 y 轴,递增速度越快。当 0<a<1 时,a 的值越小, 图象越靠近 y 轴,递减的速度越快。 (其中“x→+∞”意义是: “x 接近 于正无穷大” ) ③ 熟悉指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关 系。 在 y 轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小; 由 y 轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变小。

[例题分析]
例1. (Ⅰ)指数函数 f ( x) ? a x (a>0 且 a≠1)的图象过点 (3, π) , 则 f (?3) ? 分析:先求出 y ? a x 解析式,再代入即可。
(Ⅱ) 如图 ① ②
y③

1

?



x

是指数函数① y ? a x ,② y ? b x ,③ y ? c x ,④ y ? d x 图象,则 a、b、c、 d 与 1 的大小关系是(B) A:a<b<1<c<d B:b<a<1<d<c C:1<a<b<c<d D:a<b<1<d<c

解答:法一、根据指数函数图象位置与底数关系可选(B) 法二、x=1 与指数函数①②③④的交点纵坐标分别为 a、b、c、d, 根据 a、b、c、d 位置即可判断出 a、b、c、d 大小,选(B) 评注:法二比法一更简单易懂,法二中 x=1 称为指数函数特征线。熟练运 用特征线比较底数大小带来极大方便。

例2. (Ⅰ)若 (a 2 ? a ? 2) x ? (a 2 ? a ? 2)1? x ,求 x 取值范围. 分析:首选构造指数函数 y ? (a 2 ? a ? 2) x ∵ a 2 ? a ? 2 ? (a ? ) 2 ? ? 1 ∴在 R 上是增函数,从而问题解决。 解答:∵ a 2 ? a ? 2 ? (a ? ) 2 ? ? 1 ∴ y ? (a 2 ? a ? 2) x 在 R 上是增函数 ∴x>1-x ∴x ?
1 2
1 2 7 4 1 2 7 4

(Ⅱ)已知:0<a<1,x>y>1,则下列各式中正确的是(B) A: x a ? y a 解答:对于 A:∵ B: a x ? a y C: a x ? a y D: a x ? y a

xa x x ? ( )a ? ( )0 ? 1 ∴ xa ? y a a y y y

对于 B:根据指数函数性质知,正确。 对于 D:∵ a x ? a 0 ? 1 ,而 y a ? y 0 ? 1 ∴ a x ? y a 综上所述,选(B) 例3. 求下列函数定义域及值域 ① y ? 2 x?4 ;② y ? ( ) ? x ;③ y ? 4 x ? 2 x?1 ? 1 ;④ y ? 10
1

2 3

2x ?1 x ?1

分析: 由于指数函数 y ? a x(a>0 且 a≠1) 的定义域 R,∴函数 y ? a f ( x ) (a>0 且 a≠1)与函数 f(x)的定义域相同,利用指数函数单调性求值域。 解答:①令 x-4≠0 ∵ ∴定义域: ?x / x ? 4?
1

1 ? 0 ∴ 2 x ? 4 ? 1 ∴值域: ?y / y ? 0且y ? 1? x?4

②定义域:R

∵ x ?0 ∴y?( ③定义域:R

2 ?x 3 x 3 ) ? ( ) ? ( ) ?1 3 2 2

0

∴值域 ?y / y ? 1?

∵ y ? (2 x ) 2 ? 2 ? 2 x ? 1 ? (2 x ? 1) 2 ∴y>1 ④令 ∴值域: ?y / y ? 1? ∴
x ?1 ?0 x ?1

又∵ 2 x ? 0

2x ?1 ? 0 x ?1

∴x<-1 或 x≥1

∴定义域: ?x / x ? ?1或x ? 1? 值域: ?y / y ? 1且y ? 10? 评注:求与指数函数有关值域时,注意充分充分考虑并利用指数函数本身 要求并利用好单调性,第①小题切不能漏掉 y>0. 例 4.求函数 y ? 4 ? x ? 2 ? x ? 1 , x ? [?3,2] 的最大值和最小值。 解答:∵ y ? ( ) x ? ( ) x ? 1 ? ( ) 2 x ? ( ) x ? 1 ? [( ) x ? ]2 ?
1 1 1 1 1 1 3 4 2 2 2 2 2 4 1 1 3 令 t ? ( ) x ∴ y ? (t ? ) 2 ? 2 2 4 1 3 3 又∵ x ? [?3,2] ∴ ? t ? 8 即: ? y ? 57 ∴值域:[ ,57] 4 4 4

评注:通过指数运算,配凑成二次式,从而解决问题。

[本课练习]
1、 若 c<0,则不等式中成立的一个是(C) A: c ? 2 c 2、 B: c ? ( ) c C: 2 c ? ( ) c D: 2 c ? ( ) c
1 3
x ?1

1 2

1 2

1 2

函数 y ? ( )

值域是(B)

A:(-∞,0) B: (0,1〕 C:[1,+∞) D: (-∞,1〕 3、 函数 y ? a x?2 ? 1(a ? 0且a ? 1) 图象必过点(D) A:(0,1) B: (1,1) C: (2,0) D: (2,2) 4、 当 x>0,函数 f ( x) ? (a 2 ? 1) x 值总大于 1,则 a 的范围(C)

A: 1 ? a ? 2 5、 设函数

B: a ? 1

C: a ? 2

D: a ? 2

?x ? ?2 1? 1( x ? 0)? ? f ( x) ? ? ? ,若,则的取值范围(D) 2 ? ? x ( x ? 0 ) ? ?

A: (-1,1) B: (-1,+∞) C:(??,?2) ? (0,??)
2

D:(??,?1) ? (1,??)

6、 函数 y ? a x ?4 (a ? 0且a ? 1) , 当 a ? (0,1) 时, 有最 (大) 值是 ( a ?4 ) ; 当 a ? (1,??) 时,有最(小)值是( a ?4 ) 。 7、 f ( x) ? 2 x 的图象,对于任意 x1 , x 2 ∈R 能否确定 [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] 和 f ( 大小? 答:能。如右图所示: 1 [ f ( x1 ) ?
2 f ( x 2 )] ? f (
x1 ? x 2 ) 2

1 2

x1 ? x 2 ) 2

y
f ( x2 )

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 2 x ? x2 f( 1 ) 2 f ( x1 )

0

x1

x1 ? x 2 2

x2

x


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