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2014高三数学一轮复习学案(二)二项式定理


二项式定理
1.二项式定理及其特例: (1) (a ? b) ? __________ __________ __________n ? N ?) , (
n

(2) (1 ? x) ? Cn ? Cn x ? ? ? Cn x ? ? ? Cn x .
n 0 1 r r n n

2.二项展开式的通项公式

: Tr ?1 ? __________ __________ (求常数项、有理项和系数最大的项时,要根据通项公式讨论对 的限制;求有理项时要注意到指数及项数的整数性 ) 31 二项式系数表(杨辉三角) 展开式的二项式系数,当 依次取 ?时,二项式系

数表,表中每行两端都是 ,除 以外的每一个数都等于它肩上两 个数的和 4.二项式系数的性质: 展开式的二项式系数是 数 ,定义域是 , , , ,?, . 可以看成以 为自变量的函

(1)对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(∵

).

(2)增减性与最大值:当 是偶数时,中间一项 项 , 取得最大值.

取得最大值;当 是奇数时,中间两

(3)各二项式系数和: 令 ,则



1

基础自测 1.二项式 (a ? 2b) 2 展开式中的第二项的系数是 8,则它的第三项的二项式系数为( ) A.24 B.18 C.16 D.6

2.在二项式 ( x 2 ? )5 的展开式中, x 4 含的项的系数是( ) A.-10 B.10 C.-5
3

1 x

D.5
2 3

3.若对于任意实数 x,有 A.3 B.6

x =a0+a1(x-2)+a2(x-2) +a3(x-2) ,则 a2 的值为()
C.9 D.12 )

4.在 ( x 2 ? ) n 的展开式中,常数项为 15,则 n 的一个值可以是( A.3 B.4 C.5 D.6 )

1 x

5.若 (1 ? 2)5 ? a ? b 2 (a、b 为有理数),则 a+b= ( A.45 题型一 B.55 C.70 D.80

求展开式中的特定项或特定项的系数

【例 1】在二项式 ( x ?

1 2 x
4

) n 的展开式中,前三项的系数成等差数列,求展开式中的

有理项和二项式系数最大的项.

知能迁移 1

已知 ( 3 x ? x 2 ) 2 n 的展开式的二项式系数和比(3x-1) 的展开式的二项

n

式系数和大 992.求 (2 x ? ) 2 n 的展开式中,(1)二项式系数最大的项;(2)系数的 绝对值最大的项.

1 x

2

题型二

求展开式中各项系数之和

【例 2】已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+?+a7x7.求:(1)a1+a2+?+a7; (2)a1+a3+a5+a7;(3)a0+a2+a4+a6;(4)|a0|+|a1|+|a2|+?+|a7|.

知能迁移 2

设 (2 ? 3 x)100 =a0+a1x+a2x

2

+?+ a100x100,求下列各式的值:

(1)a0;(2)a1+a3+a5+?+a99;(3)(a0+a2+a4+?+a100)2-(a1+a3+?+a99)2; (4)|a0|+|a1|+|a2|+?+|a100|.

题型三

二项式定理的综合应用
n

【例 3】(1)求证:4×6

+5n+1-9 是 20 的倍数(n∈N*);

(2)今天是星期一,再过 3100 天是星期几?

3

知能迁移 3 (2)3
n

求证:(1)3

2n+2

-8n-9 能被 64 整除(n∈N );
* *

>(n+2)·2n-1 (n∈N ,n>2).

方法与技巧 1.通项公式最常用,是解题的基础. 2.对三项或三项以上的展开问题,应根据式子的特点,转化为二项式来解决,转化的 方法通常为集项、配方、因式分解,集项时要注意结合的合理性和简捷性. 3.求常数项、有理项和系数最大的项时,要根据通项公式讨论对 r 的限制;求有理项 时要注意到指数及项数的整数性. 4.性质 1 是组合数公式的再现,性质 2 是从函数的角度研究的二项式系数的单调性, 性质 3 是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和. 5.因为二项式定理中的字母可取任意数或式,所以在解题时根据题意,给字母赋值, 是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法. 6.二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的 内在联系,涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题,只需运用通项公式和二项式 系数的性质对条件进行逐个分析,对于与组合数有关的和的问题,赋值法是常用且重 要的方法,同时注意二项式定理的逆用. 失误与防范 1.要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次 项系数和”严格地区别开来. 2.根据通项公式时常用到根式与幂指数的互化,学生易出错. 3.通项公式是第 r+1 项而不是第 r 项.
4


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