当前位置:首页 >> 数学 >>

【步步高】(全国通用)2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 专题3 第7练 抓重点-函数性质与分段函数 理


第7练

抓重点——函数性质与分段函数

[题型分析·高考展望] 函数单调性、奇偶性、周期性是高考必考内容,以分段函数为载体 是常考题型.主要以选择题或填空题的形式考查,难度为中档偏上.二轮复习中,应该重点训 练函数性质的综合应用能力,收集函数应用的不同题型,分析比较异同点,排查与其他知识 的交汇点,找到此类问题的解决策略,通过训练提高解题

能力. 常考题型精析 题型一 函数单调性、奇偶性的应用 1.常用结论:设 x1、x2∈[a,b],则(x1-x2) [f(x1)-f(x2)]>0? 在[a,b]上递增. (x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0?

f?x1?-f?x2? >0?f(x) x1-x2

f?x1?-f?x2? <0?f(x)在[a,b]上递减. x1-x2

2.若 f(x)和 g(x)都是增函数,则 f(x)+g(x)也是增函数,-f(x)是减函数,复合函数的单 调性根据内函数和外函数同增异减的法则判断. 3.定义域不关于原点对称的函数一定是非奇非偶函数. 4.奇偶性相同的两函数的积为偶函数,奇偶性相反的两函数的积为奇函数. 1 2 例 1 (1)(2014·湖北)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)= (|x-a | 2 +|x-2a |-3a ).若? x∈R,f(x-1)≤f(x),则实数 a 的取值范围为( 1 1 A.[- , ] 6 6 1 1 C.[- , ] 3 3 B.[- D.[- 6 6 , ] 6 6 3 3 , ] 3 3
2 2

)

(2)(2014·课标全国Ⅱ)已知偶函数 f(x)在[0,+∞)上单调递减,f(2)=0.若 f(x-1)>0, 则 x 的取值范围是________. 点评 (1)奇偶性:具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单 调性联系密切,研究问题时可转化到只研究部分 (一半)区间上,这是简化问题的一种途径. 尤其注意偶函数 f(x)的性质:f(|x|)=f(x). (2)单调性:可以比较大小,求函数最值,解不等式,证明方程根的唯一性. 变式训练 1 (1)(2015·天津)已知定义在 R 上的函数 f(x)=2
|x-m|

-1(m 为实数)为偶函数, )

记 a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则 a,b,c 的大小关系为( A.a<b<c C.a<c<b B.c<a<b D.c<b<a

1

(2)(2015·北京)下列函数中为偶函数的是( A.y=x sin x C.y=|ln x|
2 2

)

B.y=x cos x D.y=2
-x

题型二 函数的周期性与对称性的应用 重要结论:1.若对于定义域内的任意 x,都有 f(a-x)=f(a+x),则 f(x)关于 x=a 对称. 2.若对于任意 x 都有 f(x+T)=f(x),则 f(x)的周期为 T. 例 2 (1)已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,当

x∈[-1,0)时,f(x)=-x,则 f(2 015)+f(2 016)=________.
(2)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x).当-3≤x<-1 时,f(x)=-(x+2) ;当- 1≤x<3 时,f(x)=x,则 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2 016)=________. 点评 利用函数的周期性、对称性可以转化函数解析式、图象和性质,把不在已知区间上的 问题,转化到已知区间上求解. 变式训练 2 已知定义在 R 上的偶函数满足:f(x+4)=f(x)+f(2),且当 x∈[0,2]时,y=
2

f(x)单调递减,给出以下四个命题:
①f(2)=0;②x=-4 为函数 y=f(x)图象的一条对称轴;③函数 y=f(x)在[8,10]上单调递 增;④若方程 f(x)=m 在[-6,-2]上的两根为 x1,x2,则 x1+x2=-8. 则所有正确命题的序号为________. 题型三 分段函数 -x +2x,x>0, ? ? 例 3 已知函数 f(x)=?0,x=0, ? ?x2+mx,x<0 (1)求实数 m 的值; (2)若函数 f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数 a 的取值范围.
2

是奇函数.

点评 (1)分段函数是一个函数在其定义域的不同子集上, 因对应关系的不同而分别用几个不
2

同的式子来表示的.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集, 其值域等于各段函数的 值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数. (2)在求分段函数 f(x)解析式时,一定要首先判断 x 属于定义域的哪个子集,然后再代入相 应的关系式. 变式训练 3
? ?x +x,x<0, (2014·浙江)设函数 f(x)=? 2 ?-x ,x≥0. ?
2

若 f(f(a))≤2, 则实数 a 的取值

范围是________. 高考题型精练 1.(2015·安徽)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( A.y=ln x C.y=sin x B.y=x +1 D.y=cos x 则 f(f(-2))等于( )
2

)

?1- x,x≥0, 2.(2015·陕西)设 f(x)=? x ?2 ,x<0,
A.-1 C. 1 2 1 B. D. 1 4 3 2

3.(2014·山东)函数 f(x)=

的定义域为( 2 ?log2x? -1 B.(2,+∞)

)

? 1? A.?0, ? ? 2? ? 1? C.?0, ?∪(2,+∞) ? 2?

? 1? D.?0, ?∪[2,+∞) ? 2?
x

? ?a·2 ,x≥0, 4.(2014·江西)已知函数 f(x)=? -x ?2 ,x<0 ?

(a∈R),

若 f[f(-1)]=1,则 a 等于( A. 1 4

) B. 1 2

C.1

D.2

5.下列函数 f(x)中,满足“? x1,x2∈(0,+∞),且 x1≠x2,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0”的 是( )

1 A.f(x)= -x

x

B.f(x)=x D.f(x)=2

3

C.f(x)=ln x

x

3

6.函数 y=f(x-1)的图象关于直线 x=1 对称,当 x∈(-∞,0)时,f(x)+xf′(x)<0 成立, 11 11 0.2 0.2 若 a=2 ·f(2 ), b=ln 2·f(ln 2), c=(log )·f(log ), 则 a, b, c 的大小关系是( 24 24 A.a>b>c C.c>a>b
2

)

B.b>a>c D.a>c>b
? ?g?x?+x+4,x<g?x?, ?g?x?-x,x≥g?x?, ?

7. 设函数 g(x) = x - 2(x∈R) , f(x) = ? ( )

则 f(x) 的值域是

9 A.[- ,0]∪(1,+∞) 4 9 C.[- ,+∞) 4

B.[0,+∞) 9 D.[- ,0]∪(2,+∞) 4
? ?a,a-b≤1, ?b,a-b>1. ?

8.(2015·青岛模拟)对实数 a 和 b,定义运算“?”:a?b=?
2 2

设函数 f(x)=

(x -2)?(x-x ),x∈R.若函数 y=f(x)-c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c 的取值 范围是( )

3 A.(-∞,-2]∪(-1, ) 2 3 B.(-∞,-2]∪(-1,- ) 4 1 1 C.(-1, )∪( ,+∞) 4 4 3 1 D.(-1,- )∪[ ,+∞) 4 4 9.(2014·安徽)若函数 f(x)(x∈R)是周期为 4 的奇函数,且在[0,2]上的解析式为 f(x)=
?x?1-x?,0≤x≤1, ? ? ? ?sin π x,1<x≤2,

?29? ?41? 则 f? ?+f? ?=________. ?4? ?6?
?a,a≤b, ? ?b,a>b. ?

10.对于任意实数 a, b, 定义 min{a, b}=?

设函数 f(x)=-x+3, g(x)=log2x,

则函数 h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值是________. 11.已知函数 f(x)=?
? ?x-[x],x≥0, ?f?x+1?,x<0 ?

其中[x]表示不超过 x 的最大整数.若直线 y=k(x+

1)(k>0)与函数 y=f(x)的图象恰有三个不同的交点,则实数 k 的取值范围是____________. 12.已知函数 y=f(x),x∈R,有下列 4 个命题:

4

①若 f(1+2x)=f(1-2x),则 f(x)的图象关于直线 x=1 对称; ②y=f(x-2)与 y=f(2-x)的图象关于直线 x=2 对称; ③若 f(x)为偶函数,且 f(2+x)=-f(x),则 f(x)的图象关于直线 x=2 对称; ④若 f(x)为奇函数,且 f(x)=f(-x-2),则 f(x)的图象关于直线 x=1 对称. 其中正确命题的序号为________.

5

答案精析

第7练

抓重点——函数性质与分段函数

常考题型精析 例 1 (1)B (2)(-1,3) 1 1 2 2 2 2 解析 (1)因为当 x≥0 时,f(x)= (|x-a |+|x-2a |-3a ),所以当 0≤x≤a 时,f(x)= 2 2 (a -x+2a -x-3a )=-x; 1 2 2 2 2 2 2 当 a <x<2a 时,f(x)= (x-a +2a -x-3a )=-a ; 2 1 2 2 2 2 2 当 x≥2a 时,f(x)= (x-a +x-2a -3a )=x-3a . 2 1 2 2 2 综 上 , 函 数 f(x) = (|x - a | + |x - 2a | - 3a ) 在 x≥0 时 的 解 析 式 等 价 于 f(x) = 2 -x,0≤x≤a , ? ? 2 2 2 ?-a ,a <x<2a , ? ?x-3a2,x≥2a2. 因此,根据奇函数的图象关于原点对称作出函数 f(x)在 R 上的大致图象如下,
2 2 2 2

观察图象可知, 要使? x∈R, f(x-1)≤f(x), 则需满足 2a -(-4a )≤1, 解得- (2)∵f(x)是偶函数, ∴图象关于 y 轴对称. 又 f(2)=0,且 f(x)在[0,+∞)单调递减,则 f(x)的大致图象如图所示,

2

2

6 6 ≤a≤ . 6 6

由 f(x-1)>0,得-2<x-1<2,即-1<x<3. 变式训练 1 (1)B (2)B 解析 (1)由函数 f(x)=2
|x| |x-m|

-1 为偶函数,得 m=0,

∴f(x)=2 -1,当 x>0 时,f(x)为增函数,log0.53=-log23,∴log25>|-log23|>0, ∴b=f(log25)>a=f(log0.53)>c=f(2m)=f(0),
6

故选 B. (2)由 f(-x)=f(x),且定义域关于原点对称,可知 A 为奇函数,B 为偶函数,C 定义域不关 于原点对称,D 为非奇非偶函数. 例 2 (1)1 (2)336 解析 (1)由 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数且 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,知 f(x)的 周期为 4,

f(2 015)=f(3)=f(-1)=1, f(2 016)=f(4)=f(0)=0.
∴f(2 015)+f(2 016)=1+0=1. (2)由 f(x+6)=f(x)可知,函数 f(x)的一个周期为 6,所以 f(-3)=f(3)=-1,f(-2)=

f(4)=0,f(-1)=f(5)=-1,f(0)=f(6)=0,f(1)=1,f(2)=2,所以在一个周期内有 f(1)+f(2)+?+f(6)=1+2-1+0-1+0=1,所以 f(1)+f(2)+?+f(2 016)=[f(1)+ f(2)+?+f(6)]×336=336.
变式训练 2 ①②④ 解析 令 x=-2,得 f(2)=f(-2)+f(2),f(-2)=0,又函数 f(x)是偶函数,故 f(2)=0, ①正确; 根据①可得 f(x+4)=f(x),可得函数 f(x)的周期是 4, 由于偶函数的图象关于 y 轴对称,故 x=-4 也是函数 y=f(x)图象的一条对称轴,②正确; 根据函数的周期性可知,函数 f(x)在[8,10]上单调递减,③不正确; 由于函数 f(x)的图象关于直线 x=-4 对称, 故如果方程 f(x)=m 在区间[-6,-2]上的两根为 x1,x2,则 ④正确. 故正确命题的序号为①②④. 例 3 解 (1)∵函数 f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x). 当 x>0 时,-x<0,有(-x) -mx=-(-x +2x), 即 x -mx=x -2x. ∴m=2. -x +2x,x>0, ? ? (2)由(1)知 f(x)=?0,x=0, ? ?x2+2x,x<0,
2 2 2 2 2

x1+x2
2

=-4,即 x1+x2=-8,

如图.

7

当 x>0 时,f(x)=-x +2x=-(x-1) +1, ∴当 x∈[1,+∞)时,f(x)单调递减; 当 x∈(0,1]时,f(x)单调递增. 当 x<0 时,f(x)=x +2x=(x+1) -1, ∴当 x∈(-∞,-1]时,f(x)单调递减; 当 x∈[-1,0)时,f(x)单调递增. 综上知:函数 f(x)在[-1,1]上单调递增. 又函数 f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增. ∴?
? ?a-2>-1, ? ?a-2≤1,
2 2

2

2

解得 1<a≤3.

故实数 a 的取值范围是(1,3]. 变式训练 3 a≤ 2 解析 f(x)的图象如图,由图象知,满足 f(f(a))≤2 时,得 f(a)≥-2,而满足 f(a)≥-2 时,得 a≤ 2.

高考题型精练 1.D [对数函数 y=ln x 是非奇非偶函数;y=x +1 为偶函数但没有零点;y=sin x 是奇函 数;y=cos x 是偶函数且有零点,故选 D.] 1 ?1? -2 2.C [∵f(-2)=2 = >0,则 f(f(-2))=f? ?=1- 4 ?4? 3.C [由题意知?
? ?x>0, ??log2x? >1, ?
-(-1) 2 2

1 1 1 =1- = ,故选 C.] 4 2 2

1 解得 x>2 或 0<x< .故选 C.] 2

4.A [由题意得 f(-1)=2

1 2 =2,f[f(-1)]=f(2)=a·2 =4a=1,∴a= .] 4
8

5.A [“? x1,x2∈(0,+∞),且 x1≠x2,(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0”等价于在(0,+∞) 1 上 f(x)为减函数,易判断 f(x)= -x 符合.]

x

6.B [因为函数 y=f(x-1)的图象关于直线 x=1 对称,所以 y=f(x)关于 y 轴对称. 所以函数 y=xf(x)为奇函数. 因为[xf(x)]′=f(x)+xf′(x), 所以当 x∈(-∞,0)时,[xf(x)]′=f(x)+xf′(x)<0, 函数 y=xf(x)单调递减, 从而当 x∈(0,+∞)时,函数 y=xf(x)单调递减. 11 0.2 因为 1<2 <2,0<ln 2<1,log =2, 24 11 0.2 从而 0<ln 2<2 <log , 24 所以 b>a>c.] 7.D [由 x<g(x)得 x<x -2, ∴x<-1 或 x>2; 由 x≥g(x)得 x≥x -2,∴-1≤x≤2.
? ?x +x+2,x<-1或x>2, ∴f(x)=? 2 ? ?x -x-2,-1≤x≤2.
2 2 2

1 7 ?x+ ? + ,x<-1或x>2, ? ? 2 4 即 f(x)=? 1 9 ?x- ? - ,-1≤x≤2. ? ? 2 4
2 2

当 x<-1 时,f(x)>2;当 x>2 时,f(x)>8. ∴当 x∈(-∞,-1)∪(2,+∞)时,函数的值域为(2,+∞). 9 当-1≤x≤2 时,- ≤f(x)≤0. 4 9 ∴当 x∈[-1,2]时,函数的值域为[- ,0]. 4 9 综上可知,f(x)的值域为[- ,0]∪(2,+∞).] 4 8.B
? ?x -2,x -2-?x-x ?≤1, [f(x)=? 2 2 2 ?x-x ,x -2-?x-x ?>1, ?
2 2 2

9

3 x -2,-1≤x≤ , ? ? 2 即 f(x)=? 3 x-x ,x<-1或x> , ? ? 2
2 2

f(x)的图象如图所示,由图象可知 B 正确.]

9.

5 16

解析 ∵f(x)是以 4 为周期的奇函数,

?29? ? 3? ? 3? ∴f? ?=f?8- ?=f?- ?, ? 4 ? ? 4? ? 4?
f? ?=f?8- ?=f?- ?. 6 6 6

?41? ? ?

? ?

7?

?

? 7? ? ?

∵当 0≤x≤1 时,f(x)=x(1-x),

?3? 3 ? 3? 3 ∴f? ?= ×?1- ?= . ?4? 4 ? 4? 16
∵当 1<x≤2 时,f(x)=sin π x, 7π 1 ?7? ∴f? ?=sin =- . 6 2 ?6? 3 ? 3? ?3? 又∵f(x)是奇函数,∴f?- ?=-f? ?=- , 16 ? 4? ?4?

f?- ?=-f? ?= . ? 6? ?6? 2
3 1 5 ?29? ?41? ∴f? ?+f? ?=- + = . 16 2 16 ?4? ?6? 10.1
?log2x,0<x≤2, ? 解析 依题意,得 h(x)=? ?-x+3,x>2. ?

? 7?

?7? 1

当 0<x≤2 时,h(x)=log2x 是增函数; 当 x>2 时,h(x)=3-x 是减函数, ∴h(x)在 x=2 时取得最大值 h(2)=1.

?1 1? 11.? , ? ?4 3?
10

解析 根据[x]表示的意义可知, 当 0≤x<1 时, f(x)=x, 当 1≤x<2 时, f(x)=x-1, 当 2≤x<3 时,f(x)=x-2,以此类推,当 k≤x<k+1 时,f(x)=x-k,k∈Z,当-1≤x<0 时,f(x) =x+1,作出函数 f(x)的图象如图,直线 y=k(x+1)过点(-1,0),当直线经过点(3,1)时恰 有三个交点,当直线经过点(2,1)时恰好有两个交点,在这两条直线之间时有三个交点,故

? ? k∈? , ?. 4 3
1 1

?

?

12.①②④ 解析 1+2x+1-2x =1,故函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称,故①正确;对于②, 2

令 t=x-2,则问题等价于 y=f(t)与 y=f(-t)图象的对称问题,显然这两个函数的图象关 于直线 t=0 对称,即函数 y=f(x-2)与 y=f(2-x)的图象关于直线 x-2=0 即 x=2 对称, 故②正确;由 f(x+2)=-f(x),可得 f(x+4)=-f(x+2)=f(x),我们只能得到函数的周 期为 4,即只能推得函数 y=f(x)的图象关于直线 x=4k(k∈Z)对称,不能推得函数 y=f(x) 的图象关于直线 x=2 对称,故③错误;由于函数 f(x)为奇函数,由 f(x)=f(-x-2),可得

f(-x)=f(x+2),由于
正确.

-x+x+2 =1,可得函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称,故④ 2

11


相关文章:
【步步高】(全国通用)2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 专题3 第7练 抓重点-函数性质与分段函数 理
【步步高】(全国通用)2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 专题3 第7练 抓重点-函数性质与分段函数 理_数学_高中教育_教育专区。第7练 抓重点——函数性质与...
【步步高】(全国通用)2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 专题3 第12练 导数几何意义的必会题型 理
【步步高】(全国通用)2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 专题3 第12练 导数几何意义的必会题型 理_数学_高中教育_教育专区。第 12 练 导数几何意义的必会题型...
【步步高】(全国通用)2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 专题3 第15练 存在与恒成立问题 理
【步步高】(全国通用)2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 专题3 第15练 存在与恒成立问题 理_数学_高中教育_教育专区。第 15 练 存在与恒成立问题 [题型分析...
【步步高】(全国通用)2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 专题3 第10练 重应用-函数的实际应用 理
【步步高】(全国通用)2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 专题3 第10练 重应用-函数的实际应用 理_数学_高中教育_教育专区。第 10 练 重应用——函数的实际...
【步步高】(全国通用)2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 专题3 第9练 顾全局-函数零点问题 理
【步步高】(全国通用)2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 专题3 第9练 顾全局-函数零点问题 理_数学_高中教育_教育专区。第9练 顾全局——函数零点问题 [题型...
【步步高】(全国通用)2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 专题10 第44练 函数与方程思想 理
【步步高】(全国通用)2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 专题10 第44练 函数与方程思想 理_数学_高中教育_教育专区。第 44 练 函数与方程思想 [思想方法解读]...
【步步高】(全国通用)2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 专题5 第23练 常考的递推公式问题的破解方略 理
【步步高】(全国通用)2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 专题5 第23练 常考的递推公式问题的破解方略 理_数学_高中教育_教育专区。第 23 练 常考的递推公式...
【步步高】(全国通用)2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 专题4 第17练 三角函数的化简与求值 理
【步步高】(全国通用)2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 专题4 第17练 三角...[题型分析?高考展望] 三角函数的化简与求值在高考中频繁出现, 重点考查运算求解...
【步步高】(全国通用)2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 专题1 第2练 用好逻辑用语、突破充要条件 理
【步步高】(全国通用)2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 专题1 第2练 用好...在二轮复习中,本部分应该重点掌握 四种命题的真假判断、否命题与命题的否定的...
【步步高】(全国通用)2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 专题2 第5练 如何让“线性规划”不失分 理
【步步高】(全国通用)2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 专题2 第5练 如何让“线性规划”不失分 理_数学_高中教育_教育专区。第5练 如何让“线性规划”不失...
更多相关标签:

相关文章