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2014届高三数学辅导精讲精练78


2014 届高三数学辅导精讲精练 78
1.如图为一半径为 2 的扇形(其中扇形中心角为 90° ),在其内部随机地撒一 粒黄豆,则它落在阴影部分的概率为 ( )

2 A.π 1 C.2 答案 解析 D

1 B.π 2 D.1-π

1 1 S 扇形=4πR2=π,S△=2×2×2=2,S 阴影=S 扇形-

S△=π-2.由几何概型

π-2 2 概率公式得黄豆落在阴影部分的概率 P= π =1-π. x y 2. 在集合{(x, y)|0≤x≤5,0≤y≤4}内任取一个元素, 能使不等式5+2-1≤0 成立的概率为 1 A.4 1 C.3 答案 解析 A 集合{(x, y)|0≤x≤5,0≤y≤4}在直角坐标系中表示的区域是一个由直 3 B.4 2 D.3 ( )

x y 线 x=0, x=5, y=0, y=4 所围成的长为 5、 宽为 4 的矩形, 而不等式5+2-1≤0 和集合{(x,y)|0≤x≤5,0≤y≤4}表示区域的公共部分是以 5 为底、2 为高的一个 1 2×5×2 1 直角三角形,由几何概型公式可以求得概率为 =4. 5×4 3.(2012· 福建)

如图所示, 在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P, 则点 P 恰好取自阴影 部分的概率为 1 A.4 1 C.6 答案 解析 C 阴影部分的面积为 1 6,故所求 1 B.5 1 D.7 ( )

阴影部分的面积 1 的概率 P=正方形OABC的面积=6,故选 C. 4.已知函数 f(x)=x2+bx+c,其中 0≤b≤4,0≤c≤4,记函数 f(x)满足条件 ?f?2?≤12, ? 为事件 A,则事件 A 发生的概率为 ?f?-2?≤4 1 A.4 1 C.2 答案 解析 C 5 B.8 3 D.8 ( )

?0≤c≤4, 由题意知,事件 A 所对应的线性约束条件为? 4+2b+c≤12, ?4-2b+c≤4,
0≤b≤4, 可行域如图中阴影部分所示,所以事件 A 的概率 P(A)= S△OAD S正方形OABC

其对应的

1 =2,选 C.

5.在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 O 为底面 ABCD 的中心, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 内随机取一点 P,则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概 率为 π A.12 π C.6 答案 解析 B 正方体的体积为 2×2×2=8,以 O 为球心,1 为半径且在正方体内 π B.1-12 π D.1-6 ( )

1 4 1 4π 2π 部的半球的体积为2×3πr3=2× 3 ×13= 3 ,则点 P 到点 O 的距离小于或等于 1 2π 3 π π 的概率为 8 =12,故点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 1-12.

?x+y- 6.(2013· 滨州一模)在区域?x-y+ ?y≥0
位圆 x2+y2=1 内的概率为 π A.2 π C.6 答案 D

2≤0, 2≥0, 内任取一点 P,则点 P 落在单

( π B.8 π D.4

)

解析 π 2

区域为△ABC 内部(含边界),则概率为 P=

S半圆 = S△ABC

1 2×2 2× 2

π =4,故选 D.

7. 平面上有一组平行线, 且相邻平行线间的距离为 3 cm, 把一枚半径为 1 cm 的硬币任意平掷在这个平面上,则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是( )

1 A.4 1 C.2 答案 解析 B

1 B.3 2 D.3

如图所示,这是长度型几何概型问题,当硬币中心落在阴影区域时,硬币不 1 与任何一条平行线相碰,故所求概率为 P=3. 8.(2013· 沧州七校联考)用一平面截一半径为 5 的球面得到一个圆,则此圆 面积小于 9π 的概率是 4 A.5 1 C.3 答案 B 1 B.5 1 D.2 ( )

解析

如图,此问题属几何概型,球的直径为 10,用一平面截该球面,所得的圆 8 4 面积大于等于 9π 的概率为 P(A)=10=5. 4 1 ∴所截得圆的面积小于 9π 的概率为 P( A )=1-5=5. 9.已知实数 a 满足-3<a<4,函数 f(x)=lg(x2+ax+1)的值域为 R 的概率为 P1,定义域为 R 的概率为 P2,则 A.P1>P2 B.P1=P2 ( )

C.P1<P2 答案 解析 C

D.P1 与 P2 的大小不确定

若 f(x)的值域为 R,则 Δ1=a2-4≥0,得 a≤-2 或 a≥2.

-2-?-3? 4-2 3 故 P1= + =7. 4-?-3? 4-?-3? 若 f(x)的定义域为 R,则 Δ2=a2-4<0,得-2<a<2. 4 故 P2=7.∴P1<P2. 10.

(2013· 茂名第一次模拟 )已知一颗粒子等可能地落入如图所示的四边形 ABCD 内的任意位置,如果通过大量的试验发现粒子落入△BCD 内的频率稳定 2 在5附近,那么点 A 和点 C 到直线 BD 的距离之比约为________. 答案 解析 3 2 由几何概型的概率计算公式,得粒子落在△ABD 与△CBD 中的概率

之比等于△ABD 与△CBD 的面积之比, 而△ABD 与△CBD 的面积之比又等于点 3 5 A 和点 C 到直线 BD 的距离之比, 所以点 A 和点 C 到直线 BD 的距离之比约为2= 5 3 3 ,故填2. 2 11.函数 f(x)=x2-x-2,x∈[-5,5],那么任取一点 x0 使 f(x0)≤0 的概率为 ________. 答案 解析 0.3 如图,在[-5,5]上函数的图像与 x 轴交于两点(-1,0),(2,0),而 x0∈

[-1,2],那么 f(x0)≤0.

所以 P=

区间[-1,2]的长度 3 = =0.3. 区间[-5,5]的长度 10

12.甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头,它们在一昼夜 内任何时刻到达是等可能的. (1)如果甲船和乙船的停泊的时间都是 4 小时,求它们中的任何一条船不需 要等待码头空出的概率; (2)如果甲船的停泊时间为 4 小时,乙船的停泊时间为 2 小时,求它们中的 任何一条船不需要等待码头空出的概率. 解析 (1)设甲、 乙两船到达时间分别为 x、 则 0≤x<24,0≤y<24 且 y-x>4 y,

或 y-x<-4. 作出区域

?0≤x<24, ?0≤y<24, ?y-x<4或y-x<-4.
设“两船无需等待码头空出”为事件 A,

则 P(A)= (2)

1 2×2×20×20 24×24

25 =36.

当甲船的停泊时间为 4 小时,两船不需等待码头空出,则满足 x-y>2 或 y

-x>4,设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件 B,画出区域

?0≤x<24, ?0≤y<24, ?y-x>4或x-y>2.
1 1 ×20×20+2×22×22 2 442 221 P(B)= =576=288. 24×24 13.已知关于 x 的一元二次函数 f(x)=ax2-4bx+1. (1)设集合 P={1,2,3}和 Q={-1,1,2,3,4},分别从集合 P 和 Q 中随机取一个 数作为 a 和 b,求函数 y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率;

?x+y-8≤0, (2)设点(a,b)是区域?x>0, ?y>0
+∞)上是增函数的概率. 解析

内随机点,求函数 y=f(x)在区间[1,

2b (1)∵函数 f(x)=ax2-4bx+1 的图像的对称轴为 x= a ,

要使 f(x)=ax2-4bx+1 在区间[1,+∞)上为增函数, 2b 当且仅当 a>0 且 a ≤1,即 2b≤a. 若 a=1,则 b=-1; 若 a=2,则 b=-1,1; 若 a=3,则 b=-1,1. ∴事件包含基本事件的个数是 1+2+2=5. 5 1 ∴所求事件的概率为15=3. (2)由(1)知当且仅当 2b≤a 且 a>0 时,函数 f(x)=ax2-4bx+1 在区间[1,+ ∞)上为增函数, 依条件可知试验的全部结果所构成的区域为

?a+b-8≤0, {(a,b)|?a>0, ?b>0
?a+b-8=0, ? 由? a ?b=2, ?

}

构成所求事件的区域为三角形部分. 16 8 得交点坐标为( 3 ,3).

1 8 2×8×3 1 ∴所求事件的概率为 P=1 =3. 2×8×8 14.(2013· 广东深圳)已知复数 z=x+yi(x,y∈R)在复平面上对应的点为 M. (1)设集合 P={-4,-3,-2,0},Q={0,1,2},从集合 P 中随机抽取一个数 作为 x,从集合 Q 中随机抽取一个数作为 y,求复数 z 为纯虚数的概率; (2)设 x∈[0,3],y∈[0,4],求点 M 落在不等式组:

?x+2y-3≤0, ?x≥0, ?y≥0
解析

所表示的平面区域内的概率.

(1)记“复数 z 为纯虚数”为事件 A.

∵组成复数 z 的所有情况共有 12 个:-4,-4+i,-4+2i,-3,-3+i, -3+2i,-2,-2+i,-2+2i,0,i,2i, 且每种情况出现的可能性相等,属于古典概型, 其中事件 A 包含的基本事件共 2 个:i,2i, 2 1 ∴所求事件的概率为 P(A)=12=6. ?0≤x≤3, (2)依条件可知,点 M 均匀地分布在平面区域{(x,y)|? }内,属于 ?0≤y≤4

几何概型.该平面区域的图形为右图中矩形 OABC 围成的区域,面积为 S=3×4 =12.

而所求事件构成的平面区域为

?x+2y-3≤0, {(x,y)|?x≥0, ?y≥0

},其图形如图中的三角形 OAD(阴影部分).又直

3 线 x+2y-3=0 与 x 轴、y 轴的交点分别为 A(3,0)、D(0,2), 1 3 9 ∴三角形 OAD 的面积为 S1=2×3×2=4. 9 S1 4 3 ∴所求事件的概率为 P= S =12=16. 15.(2013· 山东济南一模)已知向量 a=(2,1),b=(x,y). (1)若 x∈{-1,0,1,2},y∈{-1,0,1},求向量 a∥b 的概率; (2)若 x∈[-1,2],y∈[-1,1],求向量 a,b 的夹角是钝角的概率. 解析 (1)设“a∥b”为事件 A,由 a∥b,得 x=2y.基本事件有:(-1,-1),

(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),(2,-1),(2,0), (2,1).共包含 12 个基本事件; 其中 A={(0,0),(2,1)},包含 2 个基本事件. 2 1 故 P(A)=12=6. (2)设“a,b 的夹角是钝角”为事件 B,由 a,b 的夹角是钝角,可得 a· b<0, 即 2x+y<0,且 x≠2.

? ??-1≤x≤2, ? Ω=??x,y??? ??-1≤y≤1 ? ? ?

? ? ?, ? ?

? ??-1≤x≤2, ? ? -1≤y≤1, B=??x,y? ? ??2x+y<0, ? ? x≠2y ?
1 1 3 ×? + ?×2 μB 2 2 2 1 可得 P(B)=μ = =3. 3×2 Ω

? ? ?作出可行域, ? ?

1.

扇形 AOB 的半径为 1,圆心角为 90° C、D、E 将弧 AB 等分成四份.连 .点 π 接 OC,OD,OE,从图中所有的扇形中随机取出一个,面积恰为8的概率是 ( 3 A.10 2 C.5 答案 解析 A 依题意得知,图中共有 10 个不同的扇形,分别为扇形 AOB、AOC、 1 B.5 1 D.2 )

π AOD、AOE、EOB、EOC、EOD、DOC、DOB、COB,其中面积恰为8的扇形(即 π 相应圆心角恰为4的扇形)共有 3 个(即扇形 AOD、EOC、BOD),因此所求的概率 3 等于10,选 A. 2. 对于非负实数 a, 在区间[0,10]上任取一个数 a, 使得不等式 2x2-ax+8≥0 在(0,+∞)上恒成立的概率为________.

答案 解析

4 5 要使 2x2-ax+8≥0 在(0, +∞)上恒成立, 只需 ax≤2x2+8, a≤2x 即

8 8 +x在(0,+∞)上恒成立.又 2x+ x≥2 16=8,当且仅当 x=2 时等号成立,故 只需 a≤8,因此 0≤a≤8.由几何概型的概率计算公式可知所求概率为 8-0 4 = . 10-0 5

3.袋中有大小和形状相同的小球若干,其中标号为 0 的小球 1 个,标号为 1 的小球 1 个,标号为 2 的小球 n 个,现从袋中随机取 1 个小球,取到标号为 2 1 的小球的概率为2. (1)求 n 的值; (2)从袋中不放回随机抽取两个小球①记第一次抽出的小球标号为 a, 第二次 抽出的小球标号为 b,记事件 A 表示“a+b=2”的概率,求 A 发生的概率; ②在区间[0,2]内任取两个实数 x,y,求事件“x2+y2>(a-b)2”恒成立的概 率. 解析 (1)由题意可知: n 1 =2,解得 n=2. 1+1+n

(2)①两次不放回抽取小球的所有基本事件总数为: (0,1),(0,21),(0,22),(1,21),(1,22),(21,22),(1,0),(21,0),(22,0),(21,1),(22,1), (22,21)共 12 个, 事件 A 包含的基本事件为:(0,21),(0,22),(21,0),(22,0)共 4 个, 4 1 ∴P(A)=12=3. ②记“x2+y2>(a-b)2 恒成立”为事件 B, 则事件 B 等价于“x2+y2>4”, (x, y)可以看成平面上的点,则全部结果所构成区域 Ω={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2,x、 SB 2×2-π y∈R}, 而事件 B 所构成的区域 B={(x, 2+y2>4, y∈Ω}, y)|x x、 P(B)=S = 2×2 Ω π =1-4.


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