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2018年高考数学一轮复习第七章立体几何第42讲直线平面垂直的判定及其性质实战演练理


2018 年高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第 42 讲 直线、 平面垂 直的判定及其性质实战演练 理

1.(2015·福建卷)若 l,m 是两条不同的直线,m 垂直于平面 α ,则“l⊥m”是“l∥ α ”的( B ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

析:m⊥α ,l⊥m,则 l? α 或 l∥α ;m⊥α ,l∥α ,则 l⊥m.故选 B. 2.(2014·广东卷)若空间中四条两两不同的直线 l1,l2,l3,l4,满足 l1⊥l2,l2⊥l3,

l3⊥l4,则下列结论一定正确的是( D
A.l1⊥l4 C.l1 与 l4 既不垂直也不平行

) B.l1∥l4 D.l1 与 l4 的位置关系不确定

解析:由 l1⊥l2,l2⊥l3 可知 l1 与 l3 的位置不确定,若 l1∥l3,则结合 l3⊥l4,得 l1⊥

l4, 所以排除选项 B, C, 若 l1⊥l3, 则结合 l3⊥l4, 知 l1 与 l4 可能不垂直, 所以排除选项 A. 故
选 D. 3.(2016·全国卷Ⅰ)如图,在以 A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面 ABEF 为正 方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角 D?AF?E 与二面角 C?BE?F 都是 60°. (1)证明:平面 ABEF⊥平面 EFDC; (2)求二面角 E?BC?A 的余弦值.

解析:(1)证明:由已知可得 AF⊥DF,AF⊥FE,所以 AF⊥平面 EFDC.又 AF? 平面 ABEF, 故平面 ABEF⊥平面 EFDC. (2)过 D 作 DG⊥EF,垂足为 G,由(1)知 DG⊥平面 ABEF. → → 以 G 为坐标原点,GF的方向为 x 轴正方向,|GF|为单位长,建 立如图所示的空间直角坐标系 G?xyz. 由(1)知∠DFE 为二面角 D?AF?E 的平面角,故∠DFE=60°,则 |DF|=2,|DG|= 3,可得 A(1,4,0),B(-3,4,0),E(-3,0,0),D(0,0, 3). 由已知得 AB∥EF, 所以 AB∥平面 EFDC. 又平面 ABCD∩平面 EFDC=CD,故 AB∥CD,CD∥EF. 由 BE∥AF,可得 BE⊥平面 EFDC,所以∠CEF 为二面角 C?BE?F 的平面角,∠CEF=60°.
1

从而可得 C(-2,0, 3). → → → 所以EC=(1,0, 3),EB=(0,4,0),AC=(-3,-4, 3), →

AB=(-4,0,0).
设 n=(x,y,z)是平面 BCE 的法向量,则 → ? ?n·EC=0, ? ?n·→ EB=0, ?

?x+ 3z=0, 即? ?4y=0,

所以可取 n=(3,0,- 3),

→ ? ?m·AC=0, 设 m 是平面 ABCD 的法向量,则? ?m·→ AB=0, ? 同理可取 m=(0, 3,4),则 cos〈n,m〉= 2 19 故二面角 E?BC?A 的余弦值为- . 19 4.(2015·北京卷)如图,在四棱锥 A?EFCB 中,△AEF 为等边三角形,平面 AEF⊥平面

n·m 2 19 =- . |n||m| 19

EFCB,EF∥BC,BC=4,EF=2a,∠EBC=∠FCB=60°,O 为 EF 的中点.
(1)求证:AO⊥BE; (2)求二面角 F?AE?B 的余弦值; (3)若 BE⊥平面 AOC,求 a 的值.

解析:(1)证明:因为△AEF 是等边三角形,O 为 EF 的中点,所以 AO⊥EF.又因为平面

AEF⊥平面 EFCB,AO? 平面 AEF,所以 AO⊥平面 EFCB.所以 AO⊥BE.
(2)取 BC 的中点 G,连接 OG. 由题设知 EFCB 是等腰梯形,所以 OG⊥EF. 由(1)知 AO⊥平面 EFCB,又 OG? 平面 EFCB,所以 OA⊥OG. 如图建立空间直角坐标系 O?xyz. 则 E(a,0,0),A(0,0, 3a),

B(2, 3(2-a),0),EA=(-a,0, 3a),




BE=(a-2, 3(a-2),0).
设平面 AEB 的法向量为 n=(x,y,z),
2

→ ? ?n·EA=0, 则? ?n·→ BE=0, ?

?-ax+ 3az=0, 即? ??a-2?x+ 3?a-2?y=0,
令 z=1,则 x= 3,y=-1.于是 n=( 3,-1,1), 又平面 AEF 的一个法向量为 p=(0,1,0),

n·p 5 所以 cos〈n,p〉= =- , |n||p| 5
由题知二面角 F?AE?B 为钝角,所以它的余弦值为- → → (3)因为 BE⊥平面 AOC,所以 BE⊥OC,即BE·OC=0. → → 因为BE=(a-2, 3(a-2),0),OC=(-2, 3(2-a),0), → → 2 所以BE·OC=-2(a-2)-3(a-2) , 4 → → 由BE·OC=0 及 0<a<2,解得 a= . 3 5 . 5

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