当前位置:首页 >> 数学 >>

慎用椭圆参数方程解题


34

( 2010 年第 8 期 ?高中版 )

解题研究 ? ?

慎用椭圆参数方程解题
441200 湖北省枣阳市第二中学
引参, 消 参, 换元 法 是数 学解题 的一种重 要方法 及技 巧. 借 用参数 可以 架起未 知变 量之间 的桥梁, 减少 运算量, 达到化繁为简, 化难 为易的目 的. 在运用 时一方 面要 注意 参数的 取值 范围, 保 证换 元前后 的等价 性, 另 一方面要注意参数的几何或 代数意义 必须要 清晰. 对于 椭圆的参数方程, 很多学生由于 未能深 入理解参 数的几 何意义, 没有准确把握椭圆参数 方程中点 A 的离 心角与 OA 的倾斜角的区别与联系, 从 而导致 错误. 本文 摘取学 生的几例典型错误加以分析, 希望能引起同学们注意. 例 1 已知椭圆 的中心在原点 O, 焦点在 x 轴上, 交 于 A, B 两点, AB = 2且 剖析 的离心角 的方程; 上两点, 满足 OM ?ON = 0, 求 是错误的. 正解 由 M, N 是 椭圆 : x 2 + y = 1 上的 点且 OM 3
2





李培锋

对于第 ( 2 ) 问学生 们经常 会出 现以下 错解: 由椭圆 的参数方程可 设点 M s in( + 2 3cos , s in , N ( 3 cos( + 2 ),

) ), 即 N - 3 sin , cos , 3 cos + 3 sin 4- 2 s in2 , 5 时, MN 取最小值为 2. 4 x = a cos , y = b sin 中点 M
2

# MN = = 即 = 4 , =

+

sin - cos

2

直线 l: x + 3y - 3 = 0 与 ! AOB = 2 .

该 解法 中 错将 参 数方 程

看成是直线 OM 的倾 斜角, 得出 点 N 的坐标

( 1 )求椭圆 |MN |的最小值. 分析

( 2 )若 M, N 是椭圆

?ON, 故可设

x + 3y - 3 = 0, 第 ( 1 ) 问 通过 联立 方 程 x 2 y 2 利 , 2 + 2 = 1 a b

用弦长公式及 OA ?OB = 0, 运用 设而不 求的方法 很容易 2 x 2 求出椭圆方程 + y = 1. 3
图1



由上分析可得 N ( a ) = f (

1 1 ) = 1- , 而 a a

图象与 x 轴的负半轴有交点, 求实数 m 的取值范围. 分析
2

因函数图象与 x 轴 的负半 轴有交点, 则方程

f ( 1 ) = a - 1, f ( 3) = 9a - 5 , 1 则 ( 1 )当 9a - 5%a - 1, 即 &a &1时, 则有 2 M (a ) = f ( 3) = 9a - 5, 则 g ( a ) = M ( a ) - N ( a ) = 9a + ( 2 )当 9a - 5 < a - 1, 即 1 - 6; a

(m - 2 )x - 4mx + 2m - 6 = 0 在 区间 ( - ? , 0 ) 内 有实 根, 先由对称轴的位置分类, 再考虑二 次项系 数的正负, 然后考虑判别式的值和区间端点函数的取值. 解 x= ( 1) 当 m - 2 = 0, 即 m = 2时, 由 - 8x - 2 = 0, 有 1 函数 f (x )与 x 轴的负半轴有一个交点. 4 ( 2 )当 m - 2(0, 即 m (2 时, 函数 f (x )的对 称轴为 2m < 0, 2m m - 2 x= , 故有 或 或 m-2 m - 2 > 0, m - 2< 0, ! %0, f ( 0 ) < 0, f ( 0 ) > 0, 则 2< m < 3或 1& m<2 综上所述, 实数 m 的取值范围是 1&m < 3.
( 收稿日期 : 20100612 )

1 1 &a < 时, 3 2

则有 M ( a ) = f ( 1 ) = a - 1, 1 故 g ( a ) = M ( a ) - N ( a ) = a + - 2. a a+ 综合 ( 1), ( 2)可知 g (a) = 1 1 1 - 2( &a < ), a 3 2

2m > 0, m-2

2m %0, m- 2

1 1 9a+ - 6( &a&1) a 2
2

例 6 已知函数 f ( x ) = (m - 2 )x - 4mx + 2m - 6的

解题研究 ? ?
M r1 cos , r1 sin N r2 cos + ( 为 OM 的倾斜角 ),

( 2010 年第 8 期 ?高 中版 )

35

到一个 四边 形 ABCD, 记 其面 积为 S, 求面积 S 的最小值. 错解 由 椭 圆的 对 称性 可知, 四 边 形 ABCD 为 菱形, 由椭圆 的 参 数方 程 可 设点 A 的坐 标为 A a cos , b s in , 其 中 0& & , 2
2 2 2 1

, r2 s in + , 2 2 即 N - r2 s in , r2 cos , 代入椭圆方程得到 cos 2 s in 2 + s in = 1, r2 + cos r1 2 3 3 1 1 1 4 从而 2 + 2 = + 1= 3 3 r1 r2
2 2 2

= 1,

图 2

又因为 r1 + r2 ?
2 2

r r 1 1 = 2+ + %4, 2 + 2 r1 r2 r r

2 1 2 2

因为 OA ? OB 得点 B a cos 化简为 B - a s in , b cos , 则 S = 4S)AOB = 2OA ?OB, 代入得到

+

2

, b sin

+

2

,

4 2 2 即 r1 + r2 ? %4, 3 # MN
2

= r1 + r2 % 3, 即 MN % 3, 故 所 求
2 2

MN 的最小值为 3. 例 2 设 M 为椭 圆 一点, 且 !xOM = 错解 得: x = 4cos 2, 3 . 剖析 上面的解 法中错 把 !xOM 当 成了点 M 对应 3 的点 M 可 能在第 的角参数 ? . 该椭圆上满 足 !xOM = x = 4 cos? , (? 为 参数 ) 上的 y = 2 3 s in? ,

S = 2 a cos + b sin ? a s in + b cos , 化简整理得
2 2 2 2 2 2 2 2

S= 2

a -b

2

2 2

3

, 求点 M 的坐标. 3 直接代入椭圆 的参数方程 3 = 3, 所以点 M 的坐标为

1 2 2 2 ? sin 2 + a b %2 4

a b = 2ab ,

2 2

将 ? = !xOM = 3

当 s in2 = 0时取等号, 所以此时 S 有最小值 2ab. 剖析 错解混淆了参数 方程中点 A 的 离心角 与 OA 的倾斜角的概念, 得出 B 的坐 标是 错误 的, 显 然该 题的 结论也错了. 正解 设 OA = r1, OB = r2, 点 A、 B 的 坐 标 分别 为 A r1 cos , r1 s in , B r2 cos
2 2 2 2

= 2, y = 2 3 s in

, r2 s in + , 2 2 即 B ( - r2 sin , r2 cos ), 分别代入椭圆方程并联立得 r1 cos r1 sin + = 1, 2 2 a b r2 sin a
2 2 2

+

2 一、 四象限, 直线 OM 的倾斜角为 或 . 而椭圆参数方 3 3 x = 4 cos? , 程 中的参数 ? 指椭圆上对应点的离心角. y = 2 3 sin? 正解 设点 M 4cos? . , 2 3 sin? 2 3s in? = tan , 且 4 cos? 3 1 4 cos? > 0, 2 3 s in? > 0, 所 以 tan? = 2 , 从 而 cos? = , 5 ( 1 )当点 M 在 第一 象限 时, 有 s in? = 2 , 所以点 M 的坐标为 4 5, 4 15 . 5 5 5 2 3s in? = tan , 4 cos? 3

+

r2 cos b
2

2

2

= 1,

化简得到 即 r1 r2 %

1 1 1 1 2 , 2 + 2 = 2 + 2 % r a b r1 r2 1 r2 2 = 2a b 2 2, a +b
2 2 2 2

1 1 2 + 2 a b

4a b 所以 S = 2OA ? OB = 2r1 r2 % 2 2, a +b 当且仅当 r1 = r2 时取等号, 即点 A 在直线 y = x 上时 S 有最小值 4a b . 2 2 a + b
2 2 2 2

( 2 )当点 M 在第四象限时, 有

且 4cos? > 0, 2 3 sin? < 0, 所以 tan? = - 2, 从而 cos? = 1 2 4 5 4 15 , s in? = - , 所以点 M 的坐标为 .综 , 5 5 5 5 4 5 4 15 4 5 4 15 上可得: 点 M 的坐标为 或 . , , 5 5 5 5 x y + 2 = 1 a > b > 0 , 如图 2, 从中 2 a b 心作两条互相垂直 的弦 AC, BD. 顺次连 接 A, B, C, D 得 例 3 已知椭圆
2 2

x y 2 + 2 = 1 a b a > b > 0 上 一 点 A a cos , b s in 及 A r cos? , r s in? 坐 通过以上几例我 们可 以发 现: 对 于椭 圆 标中参数的几何意义不同, 前者 参数 指的 是点 A 对应 的离心角, 应用时不要误解为 OA 的倾斜角; 而后者参数 ? 与 r 分别表示 OA 的倾斜角及线 段 OA 的长 度, 应用时 不要与 A a cos , b s in 相混淆.
( 收稿日期 : 20100521 )


相关文章:
参数方程在高考解题中的应用
参数方程在高考解题中的应用 - 参数方程 1. 椭圆参数方程 问题:如图以原点为圆心,分别以 a、b(a>b>0)为半径作两个圆,点 B 是大圆半径 OA 与 小圆的交点...
椭圆参数方程应用
椭圆参数方程及其应用大纲对椭圆参数方程的要求是...16 9 解:点 P(x,y)在椭圆 x 2 y2 + = 1...不小心又胖了 胖女人必看 健康减肥10种吃不胖的...
椭圆的参数方程(教案)
= ? ,代入椭圆参数方程 3 x=2,y=3,从而 P(2,3) 。 事实上,若注意 P 对应参数 ? 与∠POX 关系,可避免此误。 ? 解:设 P( 4 cos ? , 2 3 ...
高中数学选修4-4 北师大版 椭圆的参数方程 作业 Word版...
高中数学选修4-4 北师大版 椭圆参数方程 作业 Word版 含答案_数学_高中教育_教育专区。高中数学选修4-4 北师大版 作业 同步精练 分层测 Word版 含答案 ...
椭圆的参数方程及其应用
) 为圆心, 半径是 r 的椭圆参数方程是 (α 一、求椭圆的内接多边形的周长及面积 例 1 求椭圆 的内接矩形的面积及周长的最大值。 解:如图,设椭圆 ( 的...
4椭圆的参数方程学案
a b 探 究 案课堂小结 我的疑惑 练习案 1:把下列普通方程化为参数方程. 1、椭圆参数方程的构建 问题:以坐标原点 O 为圆心,分别以 a、b 为半径作两个圆(...
2018高中数学人教a版选修4-4学案:第二讲 二 1. 椭圆的参数方程 含...
4 本题的解法体现了椭圆参数方程对于解决相关问题的优越性, 运用参数方 程显得很简单,运算更简便. y2 2.已知椭圆方程是 +=1,点 A(6,6),P 是椭圆上一...
2018高中数学人教a版选修4-4学案:第二讲 二 1. 椭圆的参数方程 含...
?x=5cos θ解:椭圆参数方程为? ? ?y=4sin θ设 P(5cos θ,4sin θ),则 (θ 为参数). |PA|== ?5cos θ-3?2+?4sin θ?2= 9cos2θ-30...
椭圆的参数方程导学案
任县中学 数学选修 4-4 导学案 备课人:刘进华 第二讲 椭圆参数方程 §2.2.1 椭圆参数方程导学案【学习目标】 : 1. 知识与技能:了解椭圆参数方程及...
椭圆参数方程
椭圆参数方程 - 椭圆的参数方程的几点应用 贵州省习水县第一中学 袁嗣林 椭圆 )。 的参数方程是 (α 是参数, 特别地,以点( )为圆心,半径是 r 的椭圆的...
更多相关标签: