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浅论全国高中化学竞赛中的有效数字问题


2004 年第 1 期                       化 学 教 育

?5 7 ?

化学奥林匹克

浅论全国高中化学竞赛中的有效数字问题
吴  勇 马宏佳
( 南京师范大学化学与环境科学学院

江苏南京   210097)

   摘要 化学竞

赛中 ,由于计算的复杂性 , 有效数字的计算有其独特的规则 。本文结合近几年来 的全国高中化学竞赛试题阐述了其内在的变化规律 。    关键词 化学竞赛 有效数字 近几年来的化学竞赛较注重化学计算 , 其一体 现在利用化学计算对化合物进行判断 , 该类计算不 涉及有效数字问题 , 但是考生应有相当高的数据处 理能力及误差分析能力 。其二是对结果进行直接计 算 ,该类计算往往对有效数字有较高的要求 。无论 是江苏省级还是国家级初复赛 , 计算题的计算量都 向复杂化方有向发展的趋势 。 由于知识层次的关系 , 中学化学课本中没有介 绍有效数字的计算规则 , 同学们这方面的知识主要 来自于数学课和物理课 。用这部分知识在中学阶段 学习化学及应付高考是可以的 ,但是 ,对于竞赛这个 层次 ,特别是对于化学专业的特殊情况 ,就显得不太 够用了 。 从江苏省阅卷的情况看 , 可能是由于有效数字 的问题比较小 ,不太容易引起同学的注意 ,因粗心引 起的错误非常多 。考生往往由于不注意 , 在似懂非 懂之间发生错误 ,导致失分 。 1  有效数字规则 有效数字的定义 [ 1 ] 和中学数学 、 物理书中的定 义一样 ,即从第一位非零的数字开始 ,到最后一位数 字为止 ,在数字中间和最后的零都计算在内 。例如 , 下列数字的有效数字为 : 1. 0005 5位 23 6. 02 × 10 3位 0. 5000 4位 0. 000035 2位 有效数字的修约规则为 “四舍六入五留双” 例 , 如 ,在取 3 位有效数字时 ,    5464≈0. 546     5466≈0. 547 0. 0. 0. 5465≈0. 546 0. 5475≈0. 548 0. 546504≈0. 547 0. 54749≈0. 547 进行数字修约时 ,需一次修约到指定的位数 ,如 0. 54749 先修约到 0. 5475 再修约到 0. 548 就不对 了 。另外 ,使用计算器进行计算时 ,一般不对中间步 骤的结果进行修约 ,仅对最后的结果进行修约 ,使其 符合事先所确定的位数 。 有效数字相加减时 , 应以绝对误差最大的数为 依据 ,以确定保留到小数点后第几位 。有效数字相 乘除时 ,应以相对误差最大的数为依据 ,以确定有效 数字的位数 。例如 : 1. 456 × 34 = 3. 41 ( 4 位有效数字乘 3 位有效 2. 数字得 3 位有效数字) 5. 1039 + 0. 023 = 5. 127 ( 绝对误差最大的数为 0. 023 ,故结果应保留小数点后 3 位) 4. 888 + 7. 067 = 11. 955 ( 4 位有效数字加 4 位 有效数字得 5 位有效数字理由同上) 但是 ,对于非测量所得的数字 , 如倍数 、 分数关 系等 ,他们可视为无限多位有效数字 。例如 : 氧气的 分子量为 16. 00 ×2 = 32. 00 , 并不能因为 2 是 “一 位” 效数字 ,而结果也取一位有效数字 , 有 即 3 × 1。 10 另外 , 从 lg6. 02 = 0. 780 及 lg ( 6. 02 ×1023 ) = 23. 780 可以看出 ,23. 780 中 ,其整数部分 23 其实是 指 10 的 23 次方 , 并不表明有效数字 , 所以 ,23. 780 在表示对数时只有 3 位有效数字 [ 2 ] 。但在表示一般 数字时 ,却有 5 位有效数字 。因此 ,p H = 12. 68 有 2 位有效数字 ,p H = 2. 68 也有 2 位有效数字 。当然 , 作为数字 ,12. 68 和 2. 68 却分别有 4 位 、 位有效数 3 字。 此外 , 在分析化学的乘除运算中还有一种特殊 情况 。例如 ,在测量误差都是 ± 0001g 的情况下 , 0.
0 . 1 0 0 2 g和0 . 0 9 9 7 g其实都有相同的相对误差

± 1 % ,但是在有效数字上 ,按照原有的规则 ,他们 0. 却相差一个有效数字 。为解决这个矛盾 ,规定 “若有 效数字位数最少的因数的首位是 8 或 9 , 则其积或
[ 商的有效数字可以比这个因数多取一位”1 ] 。也就

是说 ,首位是 8 或 9 的可以加 “一位” 有效数字 。即 ,
0. 0997 也为 4 位有效数字 。因此 , 9. 72 × 4112 × 6773 = 2. 707 ( 不是 2. 71) 0. 0. 0 . 1 0 4 5 ×2 5 . 0 0 ÷2 6 . 7 7 = 0 . 0 9 7 6 ( 不 是

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化                      学 教 育 2004 年第 1 期

0. 09759)

2001 年长沙冬令营的第二题第二问研究的是 NO

这就 是 说 , 如 果 用 NaO H 滴 定 25. 00 mL 0.
1045 mol? - 1 的 HCl 时 , 用去 26. 77 mL NaO H , 则 L NaO H

浓 度 为 0 . 0 9 7 6 mol ? L
mol? - 1 。 L 2  部分试题分析

- 1

的 ,而不是0 . 09759

分解为 N 2 和 O2 的反应 “实验发现 , 高温下 , 当氧分 , 压很小时 ,Cu/ ZSM - 5 催化剂对 NO 的催化分解为 一级反应 ; 若 NO 分压相同 ,673 K 和 723 K 时 ,NO 的转化数分别为 1. 91 和 5. 03 s - 1 ( 注 : 转化数为单 位时间每个活性中心上 NO 分解的分子数) 。试求
NO 在该催化剂上分解反应的活化能 。 ”    由于在相同 NO 分压下 , r ( 673 K) / r ( 723 K) = k ( 673 K) / k ( 723 K)
k 723 Ea 723 K - 673 K ( ) = k 673 R 673 K × 723 K

涉及有效数字的下面结合部分全国竞赛和江苏 省的试题具体讨论一下计算题的解法 。 比如 ,2002 年全国竞赛决赛第 1 题说 , 用容量 法测定磷肥含磷量的主要步骤如下 : 准确称取磷肥 0. 385 g ,用硫酸和高氯酸在高温下使之分解 , 磷转 化为磷酸 。过滤 ,洗涤 ,弃去残渣 。以硫酸 - 硝酸为 介质 , 加 入 过 量 钼 酸 铵 溶 液 生 成 钼 磷 酸 铵 沉 淀 (N H4 ) 3 H4 PMo 12 O42 ? 2 O 。过滤 , 洗涤 , 沉淀溶于 H
40. 00cm3 1. 026 mol ? - 3 NaO H 标准溶液中 , 以 dm

所以 ,ln
Ea =

8. 314 J ? - 1 ? - 1 × mol K 673 K × 723 K 5. 03 ln 723 K - 673 K 1. 91 - 1 = 78 kJ ? mol

酚酞为指示剂 , 用 0. 1022 mol ? - 3 盐酸标准溶液 dm 2滴定至终点 ( MoO4 ) , 耗去 15. 20cm3 。计算磷肥 中磷的百分含量 ( 以 P2 O5 计) 。 该题的解题思路为 ,
P
H2 SO 4 , HClO 4 (N H4) 2 MoO 4

   有意思的是 ,该题中 ,给出的所有数据都是 3 位 有效数字 ,而结果却是 2 位有效数字 。这当时让很 多考生大为不解 。其实本题的关键在于 723 K 673 K = 50 K 使有效数字下降了一位 。所以结果为
78 kJ ? - 1 而不是 78. 3 kJ ? - 1 。 mol mol

H3 PO4

( N H4 ) 3 H4 PMo12 O42 ?

   又如 ,2002 年江苏省复赛第 4 题为 , 在仅含有 3+ Al 一种金属离子的某样品水溶液中 , 加入 N H3 N H4 Ac 缓冲溶液 ,使 p H = 9. 0 ,然后加入稍过量的 8
- 羟基喹啉 ,使 Al3 + 定量的生成喹啉铝沉淀 :
Al3 + + 3 HOC9 H6 N = Al ( OC9 H6 N) 3 + 3 H +

H2 O

过量 NaOH

  

HCl 滴定

   由于以酚酞为指示剂 , 磷的最终存在形态应为 弱碱性的 Na2 HPO4 ,故方程式为 ,
( N H4 ) 3 H4 PMo12 O42 ? 2 O + 26 NaOH = 12Na2 MoO4 H + Na2 HPO4 + 3N H3 + 17 H2 O

   过滤并洗去过量的 8 - 羟基喹啉 ,然后将沉淀溶于 2mol? - 1 HCl 溶液中 ,即得 8 - 羟基喹啉的酸溶液 ,用 L 15. 00mL 0. 1238 mol ? - 1 K 3 - K 标准溶液 ( 即 L BrO Br
K 3的浓度为 0. 1238 mol? - 1 , K 过量) 处理 ,产生 BrO L Br

   N H3 又会发生反应  N H3 + HCl = N H4 Cl 而    因此 ,1 mol ( N H4 ) 3 H4 PMo 12 O42 ? 2 O 需 23 mol H NaO H ,1 mol P2 O5 需 × 223 mol NaO H ,   P2 O5 的摩尔质量为 :
30. 97 × + 16. 00 × = 141. 9 g? 2 5 mol
1

的 Br2与 8 - 羟基喹啉发生取代反应为 :
HOC9 H6 N + 2Br2 = HOC9 H4 NBr2 + 2 H + + 2Brˉ

   待取代反应完全以后 , 再加入过量的 KI , 使其 与剩余的 Br2 反应生成 I2 , 最后用 0. 1028 mol ? - 1 L Na2 S2 O3 标准溶液滴定析出的 I2 , 终点时用去 Na2 S2
O3 标准溶液 5. 45 mL 。

   所以 P2 O5 的质量百分含量 : ×4 0 . 0 0 ×1 0 - 3 dm3 - 0 . 1 0 2 2 mol? - 3 × 20 × - 3 dm3 ) × dm 15. 10 mol 141. 9g? - 1 / ( 46 × 385g) 0. = 0. 316 = 31. 6 % 由 上 表 达 式 可 以 看 出 , 1 . 0 2 6 mol ?dm - 3 、 0. 04000dm3 、 1022mol ? - 3 、 01520dm3 、 0. dm 0. 141. 9 - 1 g? mol 均为 4 位有效数字 ,46 为 2 位有效数字 ,0.
385g 为 3 位有效数字 ,其中 46 为倍数关系 , 视为无 ( 1 . 0 2 6 mol ? dm
3

  (1) 写出 Na2 S2O3与 I2反应的化学方程式 :   。   ( 2) 由以上实验数据可算得样品中 Al 的含量为          。 mg    该反应的流程如下 :    3 + Al
Brˉ
HOC9 H6N N H4 / N H3
+

Al ( OC9 H6 N ) 3

过量 Br 2
HCl

Br2 ,

Na 2 S2O 3滴定

穷准确 , 最后结果以相对误差最大的 0. 385g 为准 , 即取 3 位有效数字 。    有时 ,有效数字的计算会变得十分细腻 。例如 ,

Na2 S4 O6
(下转第 61 页)

反应方程式为 2Na2 S2O3 + I2 = Na2 S4O6 + 2NaI ,该 反应多次在竞赛中碰到 ,为常见反应。

2004 年第 1 期                       化 学 教 育

?6 1 ?

“炼” 字成为几乎所有译词的构成语素 。值得注意的是 , 罗存德还用 “物质理的” 这个唯一没有 “炼” 字的新译 法 , 表达了他自己对 chemical 的独特的见解 。可惜他没有进一步发挥这个思想 。 本文作者认为 ,如果罗存德能沿着这个新译法的思路进而将 chemist ry 译为 “质理学” 的话 , 汉译名 “化 学” 可能会遇到一个有力的竞争对手 。此理由有三 : 其一 “质” , 字在汉语中有 “本质” 的含义 ,而 chemist ry 正 是研究物质 “本质变化原理” 的学问 ; 其二 “质理学” , 可以更自然地与物理学 、 地理学 、 生理学等并列为当时的 “理学之部” 各学科 ,力学只是物理学的分支 ,chemist ry 最好与物理学对比而不是与 “重学” 对比 ; 其三 “质理 , ( 学” “化” ,不会联想到 没有 字 “狐鬼幻化” 的意思 “化学” 一词刚传入日本时 ,有些日本学者觉得这个名字很古 怪 ,因为在日语中 “化” 字含有狐鬼幻化的意思) ,语感严肃 ,容易推广 。但罗存德没有向前走这一步 ,甚至在 几年后编纂 《汉英字典》 时反而倒退 , 将 chemist ry 译为 “炼学” 。至于 1906 年 , 曾宗巩编译 《质学课本》 时用 “质学” “化学”其时 代替 , “化学” 一词已站稳脚跟 “质学” , 一词既没有 “化” 字的优点 ,又缺少 “理” 字的好处 ,自 然未能推广流行了 。 于是 “化学” , 一词就一直流传至今 。
参      考 文 献
[1]   柏廷顿 J R ( 胡作玄译) ,化学简史 ,北京 : 商务印书馆 ,1979 :24 [2]   莱斯特 H M ( 吴忠译) ,化学的历史背景 ,北京 : 商务印书馆 ,1982 :48 [3]   Mahdihassan S ,J . Univ. Bombay ,1951 , 20 ( part 2 ) :107 - 131 [4]   坂出祥伸 ,科学史研究 II ( 日) , 1970 ,9 (93) :38 - 39 [5]   潘吉星 ,情报学刊 ,1981 , (1) :62 [6]   袁翰青 ,应礼文 ,化学重要史实 ,北京 : 人民教育出版社 ,1989 :196 - 198 [7]   刘广定 ,化学 ( 台) ,1992 ,50 (1) :17 - 20 [8]   沈国威 ,自然科学史研究 ,2000 ,19 (1) :55 - 71

( 上接第 58 页)

  由于反应 BrO3ˉ + 5Brˉ 6 H + = 3Br2 + 3 H2 +
O ,Br2 的总物质的量为 3 × 0. 1238 mol ? L 00 mL
- 1

× 15.

  Na2 S2 O3 的 物 质 的 量 为 0 . 1 0 2 8 mol ? - 1 × L
5. 45 mL 。

   它所消耗 I2 的物质的量为 1/ 2 ×0. 1028 × 5. 45 mmol    2 的消耗量亦为 1/ 2 ×0. 1028 × 5. 45 mmol Br 和 , HOC9 H6 N 反应的 Br2 为 ( 3 × 0. 1238 × 15. 00 1/ 2 × 1028 × 5. 45) mmol 0.    所以 ,Al 的含量为 ( 3 × 0. 1238 × 15. 00 - 1/ 2 × 1028 ×5. 45) ÷2 ÷3 × 98 mg = 23. 79 mg 0. 26. 值得注意的是 ,本题最后的有效数字为 4 位 ,既 不和 2 mol ? - 1 HCl 、 H = 9. 0 一致为一位有效数 L p 字 ,也不和 5. 45 mL 一致为 3 位有效数字 。这一点 从下面的计算大家可以更看得清楚 : ( 3 × 0. 1238 × 15. 00 - 1/ 2 × 1028 × 5. 45 ) 0.

÷ 2 ÷ 3 × 98 26. = ( 5. 571 - 0. 280) ÷ 2 ÷ 3 × 98 26. = 5. 291 ÷ 2 ÷ 3 × 98 26. = 23. 79 液 Br2 的总量是 5. 571mmol ,和 HOC9 H6 N 反应 后只剩下 0. 280 mmol ( 这一部分相当于 5. 45 mL Na2 S2 O3 ) , 而 5. 571 - 0. 280 = 5. 291 ,有效数字仍 为 4 位 。由于部分考生没有注意到这一点 , 其结果 为 23. 8 mg ,导致失分 。 由上述 3 个例子可以看出 ,在高中化学竞赛中 , 关于有效数字的计算有着其独特的规律 , 希望考生 在应试时多加留意 ,以取得更好的成绩 。
参      考 文 献
[1 ]   华中师范大学 ,东北师范大学 , 陕西师范大学 , 北京师范大学 .

分析化学 . 上 ,第三版 ,北京 : 高等教育出版社 ,2001 :64 - 68
[2]   Umland , J . B. ; Bellama , J ,M. General Chemistry , 3 rd Ed New York : Brooks/ Cole Publishing Company , 1999 : 579


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