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指数和对数习题


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绝密★启用前

2016-2017 学年度???学校 10 月月考卷

试卷副标题
考试范围:xxx;考试时间:100 分钟;命题人:xxx 题号 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一 二 三 总分

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

第 I 卷(选择题)
请点击修改第 I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题(题型注释) 1.已知方程 2 x ? 1 ? a 有两个不等实根,则实数 a 的取值范围是( A. ?? ?,0 ? B. ?1,2 ? C. ?0,?? ? D. ?0,1? )



2.[2014·太原模拟]函数 y=( A.(-∞,4) C.(0,4]

1 2 )x +2x-1 的值域是( 2

B.(0,+∞) D.[4,+∞)
0.5

3.已知 a ? log0.6 0.5 , b ? ln 0.5 , c ? 0.6 .则( (A) a ? b ? c (B) a ? c ? b (C) c ? a ? b

) (D) c ? b ? a

x ? 0, ?log 1 x , ? 2 4.已知函数 f ( x ) ? ? 若关于 x 的方程 f ( x) ? k 有两个不等的实根, x ? 2 , x ? 0, ?
则实数 k 的取值范围是 ( A. (0, ??) B. (??,1) ) C. (1, ??)
? 1 2

D. (0,1]

5.已知 a ? log 2 3 , b ? log 1 3 , c ? 3
2

,则 C. a ? b ? c
b

A. c ? b ? a

B. c ? a ? b
a

D. a ? c ? b
c

?1? ?1? 6.设 a, b, c 均为正数,且 2 ? log 1 a , ? ? ? log 1 b , ? ? ? log2 c .则( ?2? ?2? 2 2
A. c ? a ? b C. a ? b ? c 7.若函数 B. c ? b ? a D. b ? a ? c 的定义域为 R,则 a 的取值范围是( )



试卷第 1 页,总 5 页

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A. B. C. D. 8.若 A. B. C. D. [1,2) [1,2] [1,+∞) [2,+∞) 的定义域是( ) 在区间(-∞,1]上递减,则 a 的取值范围为( )

9.函数

A. B. C. D. 10.设 A. B. C. D. 11. 已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数, 且在区间 ? 0, ?? ? 上单调递增. 若实数 a 满 足 ,则( )

f (log2 a) ? f (log 1 a) ? 2 f (1) ,则 a 的取值范围是( )
2

A.[1,2]

B. ? 0, ? 2

? ?

1? ?

C. ? , 2 ? 2

?1 ?

? ?

D.(0,2]

12. 下列函数中,在 ? 0, 2 ? 上为增函数的是( A. y ? log 1 ( x ? 1)
2



B. y ? log 2 D. y ? log

x2 ?1

C. y ? log 2

1 x

1 2

( x2 ? 4x ? 5)

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

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学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

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C. (

A. (0,

13.若 log a

1 ) 2
B. (

1 ,1) 2
D. (0,

1 <1,则实数 a 的取值范围是( ) 2

试卷第 3 页,总 5 页

1 ,+∞) 2 1 )∪(1,+∞) 2

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第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题(题型注释) 14.函数 f ( x) ? log 1 ( x ? 6 x ? 5) 的单调递减区间是
2 2



x2+ 1 15.关于函数 f(x)=lg (x>0,x∈R),下列命题正确的是________.(填序号) x
①函数 y=f(x)的图象关于 y 轴对称; ②在区间(-∞,0)上,函数 y=f(x)是减函数; ③函数 y=f(x)的最小值为 lg2; ④在区间(1,+∞)上,函数 y=f(x)是增函数.

] , f ( x) ? x 2 , 则 函 数 16 . 若 函 数 f ( x) 满 足 f ( x? 1 )? f ( x? 1 ,)且 当 x ? [? 1 , 1时

F ( x) ? f ( x)? | log 4 x | 的零点个数为 ________
17. 已知函数 y ? loga ( x ? 3) ? 5 ( a ? 0, a ? 1 ) 的图象过定点 A , 则点 A 的坐标为 .

18.若 y ? loga (2 ? ax) 在[0,1]上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是___________.

评卷人

得分 三、解答题(题型注释)

19.已知函数 f ? x ? ? log 2 20.计算 (1)

集为 B ,若 A ? B ,求实数 a 的取值范围.

2? x 的定义域为集合 A ,关于 x 的不等式 2a ? 2? a ? x 的解 x ?1

1 3 ? 1 0.027 3 ? (? ) ?2 ? 256 4 ? 3?1 ? ( 2 ? 1)0 7

(2)

lg 8 ? lg 125 ? lg 2 ? lg 5 lg 10 lg 0.1

21.若 xlog34=1,求

23 x -2-3 x 的值. 2 x +2-x
b

22.已知 log189=a,18 =5,用 a、b 表示 log3645. 23.已知函数 f(x)=loga(3-ax). (1)当 x∈[0,2]时,函数 f(x)恒有意义,求实数 a 的取值范围. (2)是否存在这样的实数 a,使得函数 f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为 1?如 果存在,试求出 a 的值;如果不存在,请说明理由. 24. (本题满分 16 分)

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学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

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已知 f ( x) ? log a

25.设函数 f ( x) ? lg( x ? (2) 试判别函数 f ( x) 的奇偶性,并说明理由;

(1) 求函数 f ( x) 的定义域;

1? x (a ? 0, a ? 1) . 1? x

x 2 ? 1) .

(1)确定函数 f (x)的定义域; (2)判断函数 f (x)的奇偶性; (3)证明函数 f (x)在其定义域上是单调增函数; 26.已知 loga(2a+1)<loga(3a?1) ,求实数 a 的取值范围.

试卷第 5 页,总 5 页

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参考答案 1.D 【解析】 试题分析: 画出 y ?| 2 ? 1| 的图象, 然后 y=a 在何范围内与之有两交点, 发现 a 属于 ?0,1? 符
x

合题意 考点:指数函数的图象,平移. 2.C 【解析】设 t=x +2x-1,则 y=( 因为 t=(x+1) -2≥-2,y=( 所以 0<y=(
2 2

1 t ). 2

1 t ) 为关于 t 的减函数, 2

1 t 1 -2 ) ≤( ) =4, 2 2

故所求函数的值域为(0,4]. 3. (B) 【解析】 试 题 分 析 : 由

log0.6 0.5>log0.6 0.6=1,a ? 1

.

ln 0.5 ? ln1 ? 0, b ? 0

.

0 ? 0.60.5 ? 0.60 ? 1,?0 ? c ? 1.可得 a ? c ? b .故选(B)
考点:1.对数函数的性质.2.指数函数的性质.3.数的大小比较. 4.D 【解析】 试题分析:在 x ? (??,0] 时, f ( x ) 是增函数,值域为 (0,1] ,在 x ? (0, ??) 时, f ( x ) 是减 函数,值域是 (??, ??) ,因此方程 f ( x) ? k 有两个不等实根,则有 k ? (0,1] . 考点:函数的图象与方程的根的关系. 5.D 【解析】 试题分析: 由对数函数的性质知 a ? 1 ,b ? 0 , 由幂函数的性质知 0 ? c ? 1 , 故有 a ? c ? b . 考点:对数、幂的比较大小 6.C 【解析】 试题分析: a, b, c 分别为方程 2 ? log 1 x, ( ) ? log 1 x, ( ) ? log2 x 的解,由图可知
x x x 2 2

1 2

1 2

a ? b ? c.

答案第 1 页,总 6 页

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ab 考点:函数图像 7.A 【解析】∵函数 ∴

c

的定义域为 R, 恒 成 立

8.A 【解析】函数 (-∞,1]上递减,则有 9.C 【解析】由 得 且 . ,即 ,解得 的对称轴为 ,即 ,要使函数在 ,选 A.

10.D 【解析】由对数运算法则得 由对数函数图象得 ∴ 11.C 【解析】 试 题 分 析 : 因 为 已 知 函 数 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 所 以 所 以 . ,

f( l o a? ) f? ( 2 l a o?g f ) 2 1 g
2

a ( l o g

, )

又因为函数 f ( x ) 在区间 ? 0, ?? ? 上单 f (log 2 a) ? f (log 1 a) ? 2 f (1) ? f (log 2 a) ? f (1) ,
2

调递增,所以 f (log 2 a ) ? f (1) ? log 2 a ? 1 ?

1 ? a ? 2 ,故选 C. 2

考点:函数的奇偶性与单调性. 【名师点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性,属中档题;函数的单调性与奇偶性是高考的
答案第 2 页,总 6 页

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必考内容, 单调性与奇偶性知识交汇的结论有: 奇函数在关于原点对称的单调区间上有相同 的单调性; 偶函数在关于原点对称的单调区间上有相反的单调性, 这些常用结论一定要熟记. 12 . D 【 解 析 】对 于 D 因 为 外 函 数 是 减 函 数 ,内 函 数 在 (0,2) 也 是 减 函 数 ,并 且 (0,2) 是 定 义 域 的 子 区 间 , 因 而 根 据 复 合 函 数 单 调 性 的 判 断 方 法 .D 正 确 . 13. D 【解析】 由 log a

1 1 <1 得 log a <logaa. 2 2 1 1 ,即 a>1;当 0<a<1 时,则有 0<a< . 2 2 1 )∪(1,+∞) . 2

当 a>1 时,有 a>

综上可知,a 的取值范围是(0, 考点:对数函数的性质 14. (5, ??) 【解析】

2 试题分析:先求定义域: x ? 6x ? 5 ? 0, x ? 5 或 x ? 1. 再根据复合函数单调性确定单调区间.

2 因为 u ? x ? 6 x ? 5 在区间 (5, ??) 上单调递增,在 (??,1) 上单调递减,又函数

y ? log 1 x
2

在定

f ( x) ? log1 ( x 2 ? 6x ? 5)
义区间上单调递减,所以函数 考点:复合函数单调性 15.①③④ 【解析】由 f(-x)=lg
2

在区间 (5, ??) 上单调递减.

(? x) 2+1 x2+ 1 =lg =f(x),知函数 f(x)为偶函数,故①正确;由 ?x x

f(-2)=lg

1 5 x2+ 1 x2+ 1 ? 1? =f ? ? ? ,知②错误;由 =|x|+ ≥2,知 f(x)=lg ≥lg2, 2 x x x ? 2?
1 在(1,+∞)上为增函数,所以 y=f(x)在(1,+∞)上也 x

故③正确;因为函数 g(x)=x+

是增函数,故④正确.综上所述,①③④均正确. 16.4 【解析】 解: 因为函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ,则周期为 2, 且当 x ? [?1,1] 时, f ( x) ? x 2 , 则函数 F ( x) ? f ( x)? | log 4 x | 的零点个数为可以转化为函数 y=f(x)与 y=|log4x|的交点问题来 得到。 17 . A ( -2,-5 )
答案第 3 页,总 6 页

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【解析】此题考查对数函数图象的特征 解:因为对数函数 y ? log a x

,x ? ?2 时,函数图象过定点 过定点 (1, 0) ,所以当 x ? 3=1 ,

(-2, -5)
18.(1,2) 【解析】解:因为 y ? loga (2 ? ax) 在[0,1]上是 x 的减函数,所有内层是递减函数,因 此说明了外层底数 a>1,所以只需要最小值大于零有意义即可 即 2-a>0,故 a<2,又因为 a>1,因此 a 的取值范围(1,2) 19. {a | a ? ?1} . 【解析】 试题分析:根据对数函数真数大于 0 可求得集合 A ,再根据指数函数的单调性可求得 B={ x ? ?2a }因为 A ? B 所以可求得 a 的范围. 试题解析:要使 f ? x ? 有意义,则 即 A ? x 1? x ? 2

2? x ? 0 ,解得 1 ? x ? 2 , x ?1

?

?

4分

由 2 a ? 2 ? a ? x ,解得 x ? ?2a , 即 B ? {x | x ? ?2a} 4分

? A? B
∴ 2 ? ?2a 解得 a ? ?1 故实数 a 的取值范围是 {a | a ? ?1} 12 分

考点:1,对数函数的性质 2,指数函数的性质 3,集合的关系 20. (1)19 (2)-4 【解析】 试题分析: (1)指数式运算,先将负指数化为正指数,小数化为分数,即
? 1 1000 3 1 0.027 3 ? (? ) ?2 ? 2564 ? 3?1 ? ( 2 ? 1) 0 ? ( ) ? (?7) 2 ? (28 ) 4 ? ? 1, 7 27 3 再将分数 1 3 1 3

103 1 10 1 ( 3 ) 3 ? 49 ? 2 6 ? ? 1 ? ? 49 ? 64 ? ? 1 ? 19 3 3 3 化为指数形式,即 3

1



(2)对数

式 运 算 , 首 先 将 底 统 一 , 本 题 全 为 10 , 再 根 据 对 数 运 算 法 则 进 行 运 算 , 即

8 ? 125 lg 8 ? lg125? lg 2 ? lg 5 lg102 2 ? 5 ? ? ? ?4. 1 1 lg 10 lg 0.1 ?1 2 ? (?1) lg10 lg10 2 lg

1




3




1


3

1



? 1 1000 3 1 0.027 3 ? (? ) ?2 ? 2564 ? 3?1 ? ( 2 ? 1) 0 ? ( ) ? (?7) 2 ? (28 ) 4 ? ? 1 7 27 3

答案第 4 页,总 6 页

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103 3 1 10 1 ? ( 3 ) ? 49 ? 2 6 ? ? 1 ? ? 49 ? 64 ? ? 1 ? 19. 3 3 3 3

1

8 ? 125 2 lg 8 ? lg125? lg 2 ? lg 5 2 ? 5 ? lg10 ? ?4. ? 1 1 lg 10 lg 0.1 ? (?1) lg10 2 lg10?1 2 (2) lg
考点:指对数式化简 21.

13 6
x

【解析】由 xlog34=1,知 4 =3, ∴

23 x-2-3 x (2 x-2-x )(22 x+2-2 x+ 1) (22 x- 1)(22 x+2-2 x+) 1 = = x -x x -x 2x 2 +2 2 +2 2 + 1



1 (3-1)(3+ +1) 13 3 = 3+1 6 a+ b 22. 2- a
【解析】由题意,得 b=log185,故 log3645=

log18 45 log18 9+log18 5 a+b . = = log18 36 log18 324-log18 9 2-a

23.(1) (0,1)∪(1, )

(2) 不存在,理由见解析

【解析】 (1) 由题设 ,3-ax>0 对一切 x ∈ [0,2] 恒成立 , 设 g(x)=3-ax, ∵ a>0, 且 a ≠ 1, ∴ g(x)=3-ax 在[0,2]上为减函数. 从而 g(2)=3-2a>0,∴a< . ∴a 的取值范围为(0,1)∪(1, ). (2)假设存在这样的实数 a, 由题设知 f(1)=1, 即 loga(3-a)=1,∴a= . 此时 f(x)=lo (3- x), 当 x=2 时,f(x)没有意义,故这样的实数 a 不存在. 24 . (1)函数 f ( x) 的定义域为 (?1,1); (2)奇函数。 【 解 析 】 (1) 由

1? x ? 0,??1 ? x ? 1 , 所 以 函 数 f(x) 的 定 义 域 为 (? 1, 1) . 1? x

(2)根据 f(-x)=f(x)或 f(-x)=-f(x)来判断其奇偶性. .Zxx

答案第 5 页,总 6 页

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? x ? x 2 ? 1 ? 0 得 x∈R,定义域为 R. 25.(1)由 ? ? 2 ? ? x ?1 ? 0

(2)是奇函数. (3)设 x1,x2∈R,且 x1<x2,
2 2 则 f ( x ) ? f ( x ) ? lg x1 ? x1 ? 1 . 令 t ? x ? x ? 1 , 1 2 2

x2 ? x2 ? 1

2 则 t1 ? t 2 ? ( x1 ? x12 ? 1) ? ( x 2 ? x 2 ? 1) .

2 = ( x1 ? x 2 ) ? ( x12 ? 1 ? x 2 ? 1)

= ( x1 ? x 2 ) ? ( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) 2 x12 ? 1 ? x 2 ?1
2 2 = ( x1 ? x2 )( x1 ? 1 ? x2 ? 1 ? x1 ? x2 2 x12 ? 1 ? x2 ?1

2 2 2 ∵x1-x2<0, x1 ? 1 ? x1 ? 0 , x 2 ? 1 ? x 2 ? 0 , x1 ? 1 ?

2 x2 ?1 ? 0 ,

∴t1-t2<0,∴0<t1<t2,∴ 0 ?

t1 ? 1, t2

∴f (x1)-f (x2)<lg1=0,即 f (x1)<f (x2), ∴ 函数 f(x)在 R 上是单调增函数。 【解析】略 26. <a<1 或 a>2

1 3

? a ? 1, ? 【解析】 (1)当 a>1 时,原不等式等价于 ? 2a ? 1 ? 3a ? 1, 解得 a>2. ? 2a ? 1 ? 0, ? ? 0 ? a ? 1, 1 ? (2)当 0<a<1 时,原不等式等价于 ? 2a ? 1 ? 3a ? 1, 解得 <a<1. 3 ? 3a ? 1 ? 0, ?
综上所述,a 的取值范围是 考点:底数的分类讨论

1 <a<1 或 a>2. 3

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