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1.1.3集合间的基本运算9.17


复习
?子集:A?B?任意x∈A? x∈B. A?B? A?B 且A ? B ?真子集:

?

?集合相等:A=B? A?B且B?A.

?空集:?. 性质:①??A,若A非空, 则??A. ? ②A?A. ③A?B,B?C?A?C.

复习
?子集的性质
1、一般地,集合A含有n个元素, 则A的子集共有2n个,A的真子集 共有2n-1个.

考察下列各个集合,你能说出集合C与集 合A、B之间的关系吗?
(1) A={1,3,5}, B={2,4,6}, C={1,2,3,4,5,6}.

(2)A={x|x是有理数}, B={x|x是无理数}, C={x|x是实数}.

集合C是由所有属于集合A或属于集合B的
元素组成的.
4

并集概念
一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所 不像现实 组成的集合,称为集合A与B的并集(Union set).

生活中的 记作:A∪B(读作:“A并B”选择其一 )
即: A∪B ={x| x ∈ A ,或x ∈ B}

Venn图表示: A
A∪B

或 B A
A∪B

B

A
A∪B

B

并集例题
例1.设A={4,5,6,8},B={3,5,7,8}, 求AUB. 解: A U B ? {4,5,6,8} U {3,5,7,8} ? {3,4,5,6,7,8}

例2.设集合A={x|-1<x<2},B={x|1<x<3}, 求AUB. 解: A U B ? {x | ?1 ? x ? 2} U {x | 1 ? x ? 3} ? ?x | ?1 ? x ? 3?
可以在数轴上表示例2中的并集,如下图:

6

说明:
? 说明

1: 两个集合求并集,结果还是 ? 一个集合,是由集合A与B的所有 ? 元素组成的集合(重复元素只看成 ? 一个元素) ? 连续实数集合的并集,利用数轴求



并集的性质

注 意

(1) A ? A ? A (2) A ? ? ? A (3) A ? B ? B ? A

(4) A ? A ? B, B ? A ? B (5) A ? B则A ? B ? B
8

类比引入

思考:

考察下面的问题,集合C与集合A、B之 间有什么关系吗?
B={3,5,8,12},

(1) A={2,4,6,8,10},

C={8}. (2)A={x|x是滨海中学2014年9月在校的女同学},
B={x|x是滨海中学2014年9月入学的高一年级同学}, C={x|x是滨海中学2014年9月入学的高一年级女同学}.

集合C是由既属于集合A且又属于集合B的 所有元素组成的.
9

交集概念
一般地,由属于集合A且属于集合B的所有 元素组成的集合,称为A与B的交集。 记作:A∩B(读作:“A交B”) 即: A ∩ B ={x| x ∈ A 且x ∈ B}

即… 又 …; 公共
B

Venn图表示: A
A∩B

且 B A
A∩B

B
A∩B

例:
(1)A={2,4,6,8,10}, B={3,5,8,12}, C={8}

(2)A={x|x是等腰三角形}, B={x|x是直角三角形}, C={x|x等腰直角三角形}

A∩B=C

说明 1: 两个集合求交集,结果还是一 个集合,是由集合A与B的公共元素组成 的集合。

说明 2: 两个集合求交集,结果还是 一个集合,当集合A与B的没有公共 元素时,交集是空集,而不能说 没有交集
思考:A∩B=○, 集合A,B情况

交集的性质

注 意

(1) A ? A ? A (2)A ? ? ? ? (3)A ? B ? B ? A (4)A ? B ? A, A ? B ? B (5)A ? B 则 A ? B ? A
13

大展身手 1.(2014江苏) 已知 A ? {?1,1,2,4}, B ? {?1,0,2}
A ? B ? ________ {-1,2} .

2.(2012北京)已知A={x|3x+2>0} B={x| (x+1)(x-3)>0}则A∩B= {x|x>3}

3(2012大纲全)已知A ? 1,3, m B ? ?1, m? A ? B ? A则m ? ( B) A 0或 3 C 1或 3 B 0或3 D 1或3

?

?

4(2010北京)集合P ? ? x ? Z 0 ? x ? 3? M ? ? x ? R ?3 ? x ? 3? 则P ? M ? ( B )
A{1,2} B{0,1,2} C{x|0≤x<3} D{x|0≤x≤3}

6(2010天津)设A={x/-1+a<x<1+a} B={x/1<x<5},若A∩B=○则a的取值范 围( ) C A 0≤a≤6 B a≤2或a≥4 C a≤0或a≥6 D 2≤a≤4

课堂小结:

(1)A∪B ={x|x∈A,或x∈B}

A

B

(2)A∩B= {x|∈A,且x∈B}

(3)

AU A ? A

A? A ? A A ?? ? ? A U? ? A
②若B A

? A,则A
B= A

B= B

想一想
方程 (x -1)(x2 - 3) = 0 的解集,在有理数范围内有几 个解?分别是什么? 1个 ,{1} 在实数范围内有几个解?分别是什么?

3个解,解集是{1,3, - 3}
在不同的范围内研究问题,结果是不同的, 为此,需要确定研究对象的范围.
19

全集概念
一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所

涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记 作U.通常也把给定的集合作为全集. 对于一个集合A,由全集U中不属于A的所有元素
组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集

合A的补集. 记作: A
即: A={x| x ∈ U 且x ?A}

说明:补集的概念必须要有全集的 U 限制. A Venn图表示:
A
20

补集的性质

注 意
U A

(1) CU A ? A ? U (2) CU A ? A ? ?

A

(3)

CUU ? ? , CU ? ? U

(4) CU (CU A) ? A
21

补集例题
例5.设U={x|x是小于9的正整数},A={1,2,3}, B={3,4,5,6},求 A, B.
解:根据题意可知:

U={1,2,3,4,5,6,7,8},
所以: A={4,5,6,7,8},

B={1,2,7,8}.

说明:可以结合Venn图来解决此问题.
22

补集例题
例6.设全集U={x|x是三角形},A={x|x是锐角三 角形},B={x|x是钝角三角形}.
求A∩B, ( A∪B)

解:根据三角形的分类可知: A∩B=
?

A∪B=

{x|x是锐角三角形或钝角三角形 {x|x是直角三角形}.
23

(A∪B)=

例 7. 设A={x|-3≤x≤3},B={x|-4≤x≤1}, C= ?x | 0 < x < 5? . 求(1)A∩B;(2) B∪C; (3)(A∪B)∩C;(4) (A∩C)∪B. 解:(1)A∩B= {x|-3≤x≤1} (2) B∪C= ?x | -4 ? x < 5? (3) (A∪B)∩C= ?x | 0 < x ? 3? (4) (A∩C)∪B= {x|-4≤x≤3}

注意:用数轴来处理比较简捷(数形结合思想)
24

课堂小结
并运算
集合运算 交运算
A∪B = ? x x ? A或 x ? B?

A∩B = ? x x ? A且x ? B?

补运算

? U A = ? x x ? U且x ? A? C

进行以不等式描述的集合间的并、交、补 运算时,一定要画数轴帮助分析.
25

知识小结
1.求集合的并、交、补是集合间的基本运算, 运算结果仍然还是集合. 2.区分交集与并集的关键是“且”与“或”, 在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字 眼出发去揭示、挖掘题设条件. 3.注意结合Venn图或数轴进而用集合语言表 达,增强数形结合的思想方法.

【测一测★巩固提高】

作业:

高考链接
(2009 广东) 已知全集U=R ,则正确表示 2 集合M={-1,0,1}和N={x| x +x=0}关系 的韦恩(Venn)图是 ( B )

U N M
A U
M
N

U

N M

B U
MN

C

D
28

高考链接
例1 (2010陕西高考)集合 A ? {x | ?1 ? x ? 2}, B ? {x | x ? 1}, 则A ? (CR B) ?

{x | 1 ? x ? 2}

例2 (2009 广东高考)已知全集U=R,集合

M ? {x | ?2 ? x ? 1 ? 2}和 N ? {x | x ? 2k ? 1, k ? 1,2,...}
的关系的韦恩图如图所示,则阴影 部分所示的集合的元素共 2 个。

U

N

M

29

高考链接
例3 (2008 陕西高考)已知全集U={1,2,3,4,5}, 集合 A ? {x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0}, B ? {x | x ? 2a, a ? A} 则集合 CU ( A ? B) 中的元素有 2 个。 例4 (2008 山东高考)满足

M ? {a1, a2 , a3 , a4}, 且M ?{a1, a2 , a3} ? {a1 , a2}
的集合M有 2 个。

30

高考链接
例5(2009 江西高考) 已知全集U=A∪B中有m个元素,
(CU A) ? (CU B)中有n个元素,若A∩B非空,则A∩B的

元素有 m-n 个。

2 U ? { 0 , 1 , 2 , 3 }, A ? { x ? U | x ? mx ? 0} 例6 (2010 重庆高考)设

若CU A ? {1,2} ,则实数m= -3

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