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课后巩固作业(十七) 4.1.1


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课后巩固作业(十七)
(30 分钟 50 分) 一、选择题(每题 4 分,共 16 分) 1.在区间[0,10]上插入 9 个等分点之后,则第 5 个小区间是( (A)[4,5] (B)[5,6] (C

)[7,8] (D)[8,9] )

[ 2.当 n 的值很大时,函数 f(x)=x2 在区间

i ?1 i , ] 上的值,可以用下列函数值近 n n

似代替的是( (A) f ? ?
1 ? ? ?n ?

) (B) f ? ?
2? ? ?n ?

(C )f ? ?

i ? ? ?n?

(D)f(0)

3.由直线 x=0,x=1,y=0 和曲线 y=x3 所围成的曲边梯形,将区间[0,1]4 等分, 则曲边梯形面积的过剩估计值为( (A)
1 19

) (C)
1 10 270

(B)

111 256

(D)

25 64

4.汽车以 10 米/秒的速度行驶,在某处需要减速停车,设汽车以加速度 -2 米/秒 2 刹车,若把刹车时间 5 等分,则从开始刹车到停车,汽车刹车距离的 过剩估计值为( (A)80 米 ) (B)60 米 (C)40 米 (D)30 米

二、填空题(每题 4 分,共 8 分) 5.已知某物体运动的速度为 v=t,t∈[0,10],若把区间 10 等分,取每个小区间 右端点处的函数值近似为小矩形的高,则物体运动的路程的近似值为_______.
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6.在力 F(单位:N)方向上,物体移动的路程为 x(单位: m),F 与 x 的函数关系 式为 F ? x ? ? ,要使估计误差不超过 1 J,则力在 2 m~8 m 这段路程内所做功(单位:
x 1

J)的估计值为_______. 三、解答题(每题 8 分,共 16 分) 7.已知汽车行驶的速度 v 与时间 t2 成正比, 且当 t=2 时, v=4,求汽车在 0≤t≤1 这段时间内行驶的路程的不足估计值. 8.火箭发射后 t s 的速度为 v(t)(单位:m/s),假定 0≤t≤10,对函数 v(t),按 v(t1)Δ t+v(t2)Δ t+…+v(tn)Δ t 所作的和具有怎样的实际意义? 【挑战能力】 (10 分)求抛物线 y=x2 与直线 y=4 所围 成的曲边梯形的面积的估计值,要求误 差不超过 2.

答案解析
1.【解析】选 A.将区间[0,10]插入 9 个等分点后,第 1 个小区间是[0,1] , 第 2 个小区间为[1,2]……第 5 个小区间为[4,5].
[ 2.【解析】选 C.当 n 很大时, i ?1 i , ] 内的值变化较小, n n

所以函数值可由 f ? ?

i ?1 i i ? ? i ?1? ? ? i ? ) 来表示. ? 或f ? ? 或 f ( ? i )( n n ? n ? ?n ?

3.【解析】选 D.将区间[0,1]4 等分,以每个小区间的右端点的函数值为小矩
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形的高,则过剩估计值为
1 ?1? 1 ?3? 1 1 25 ?1? 3 S ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? ? 4 ?2? 4 ?4? 4 4 64 ?4?
3 3 3

.

4.独具【解题提示】v(t)为 t 的减函数,故求过剩估计值应选择左端点. 【解析】选 D.由题意知,v(t)=v0+at=10-2t. 令 v(t)=0,得 t=5,即 t=5 秒时,汽车将停车. 将区间[0,5]5 等分,用每个小区间的左端点的函数值估计替代每个小区间上的 平均速度,可得汽车刹车距离的过剩估计值为 S=(10+10-2×1+10-2×2+10-2 ×3+10-2×4)×1=30(米). 5.【解析】s=(1+2+3+4+…+9+1+10)×1=55. 答案:55 6.【解析】将区间[2,8]6 等分,分别取以左、右端点时的力为小区间的平均力, 则可得功的过剩估计值 W 和不足估计值 w.
?1 1 1 1 1 1 W ?? ? ? ? ? ? ?2 3 4 5 6 7 ?1 1 1 1 1 1 w ?? ? ? ? ? ? ?3 4 5 6 7 8 ? ? ? 1 ? 1.5 9 ? J ? , ? ? ? ? 1 ? 1.2 2 ? J ? , ?

W ? w ? 1.5 9 ? 1.2 2 ? 0 .3 7 ? 1.

答案:1.59 J 或 1.22 J 独具【误区警示】解答本题时,因 F ? x ? ?
1 x

为减函数,故当取左、右端点值时,

得到的分别为过剩估计值和不足估计值,不要简单的认为取左端点时为不足估 计值,取右端点时为过剩估计值,而导致出错. 7.【解析】设 v=kt2,∵当 t=2 时,v=4, ∴4=k〃22,∴k=1, ∴v=t2.
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把区间[0,1]5 等分,以小区间左端点的函数值为小矩形的高,则汽车在这段 时间内行驶的路程的不足估计值为 S=(02+0.22+0.42+0.62+0.82)×0.2=0.24. 独具【方法技巧】求变速直线运动的路程 (1)解答此类问题应先求速度函数 v(t). (2)必须弄清平面图形的面积即为汽车行驶的路程. (3)求出这个平面图形的面积即为此汽车在这段时间内行驶的路程. 8.【解析】将区间[0,10]等分成 n 个小区间,每个小区间长度为Δt,在每个 小区间上任取一点,依次为:t1,t2,t3,…,ti,…,tn.虽然火箭的速度不是常数, 但在一个小区间内其变化很小, 所以用 v(ti)代替第 i 个区间上的速度, 这样 v(ti) Δt≈火箭在第 i 个时段内运动的路程. 从而 sn=v(t1)〃Δt+…+v(ti)〃Δt+…+v(tn)〃Δt≈s(火箭在 10 s 内运行的路 程).这就是函数 v(t)在时间区间[0,10]上按 v(t1)〃Δt+v(t2)〃Δt+…+v(tn) 〃Δt 所作的和的实际意义. 当分割无限变细(Δt 无限趋近于 0)时, n 就无限趋近于火箭在 10 s 内运行的总 s 路程. 【挑战能力】 独具【解题提示】根据图形的对称性,可先求在区间[0,2]上的估计值.
?y ? x2 【解析】由 ? ?y ? 4

得交点为(-2,4),(2,4).因为 y=x2 为偶函数,图像关于 y 轴对

称,所以只要估计在区间[0,2]上图形的面积,再乘以 2 即可.分别以小区间的 左、右端点的纵坐标为矩形的高,并把区间[0,2]10 等分,可求出面积的过剩估 计值 S 和不足估计值 s.
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S=2[8-(02+0.22+0.42+…+1.82)×0.2]=11.44, s=2[8-(0.22+0.42+0.62+…+22)×0.2]=9.84, 误差不超过 S-s=11.44-9.84=1.60<2.

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