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幂函数与二次函数


漳县一中高三数学

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幂函数与二次函数
【2013 年高考分析】
1.求二次函数的解析式. 2.求二次函数的值域与最值. 3.利用幂函数的图象和性质分析解决有关问题.

【复习指导】
本讲复习时, 应从“数”与“形”

两个角度来把握二次函数和幂函数的图象和性质, 重点解 决二次函数在闭区间上的最值问题,掌握求函数最值的常用方法:配方法、判别式法、不等 式法、换元法、导数法等,注重分类讨论思想与数形结合思想的综合应用.

基础梳理
1.幂函数的定义 一般地,形如 y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中底数 x 是自变量, α 为常数. 2.幂函数的图象在同一平面直角坐标系下,幂函数 y=x,y=x2,y 1 - =x3,y=x ,y=x 1 的图象分别如右图. 2 3.幂函数的性质 1 y=x 2 [0,+∞) [0,+∞) 非奇非偶

函数 性质
定义域 值 域

y=x

y=x2

y=x3

y=x

-1

R R 奇

R [0,+∞) 偶

R R 奇

{x|x∈R 且 x≠0} {y|y∈R 且 y≠0} 奇

奇偶性

单调性



x∈[0,+∞)时,增 x∈(-∞,0]时,减





x∈(0,+∞)时,减 x∈(-∞,0)时,减

定点 4.二次函数的图象和性质 解析式

(0,0),(1,1)

(1,1)

f(x)=ax2+bx+c(a>0)

f(x)=ax2+bx+c(a<0)

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图象

定义域 值域

(-∞,+∞)

(-∞,+∞)

?4ac-b ,+∞? ? 4a ?

2

?-∞,4ac-b ? 4a ? ?

2

单调性

b ? 在 x∈? ?-2a,+∞?上单调递增 b? 在 x∈? ?-∞,-2a?上单调递增

b? 在 x∈? ?-∞,-2a?上单调递减 b ? 在 x∈? ?-2a,+∞?上单调递减

奇偶性 顶点 对称性

当 b=0 时为偶函数,b≠0 时为非奇非偶函数

?- b ,4ac-b ? 4a ? ? 2a
b 图象关于直线 x=- 成轴对称图形 2a

2

5.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0) (2)顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0) (3)两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)

五个代表
1 - 函数 y=x,y=x2,y=x3,y=x ,y=x 1 可做为研究和学习幂函数图象和性质的代表. 2 两种方法 函数 y=f(x)对称轴的判断方法 (1)对于二次函数 y=f(x)对定义域内所有 x,都有 f(x1)=f(x2),那么函数 y=f(x)的图象关于 x x1+x2 = 对称. 2 (2)对于二次函数 y=f(x)对定义域内所有 x,都有 f(a+x)=f(a-x)成立的充要条件是函数 y= f(x)的图象关于直线 x=a 对称(a 为常数).

双基自测
1.(2011· 安徽)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x2-x,则 f(1)=( A.-3 B.-1 C.1 D.3 ).

解析 ∵f(x)为奇函数,∴f(1)=-f(-1)=-3.

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1 2.(人教 A 版教材例题改编)如图中曲线是幂函数 y=xn 在第一象限的图象. 已知 n 取± 2, ±四 2 个值,则相应于曲线 C1,C2,C3,C4 的 n 值依次为( ). 1 1 D.2, ,-2,- 2 2 ).

1 1 1 1 1 1 A.-2,- , ,2 B.2, ,- ,-2 C.- ,-2,2, 2 2 2 2 2 2

? ?-x,x≤0, 3.(2011· 浙江)设函数 f(x)=? 2 若 f(α)=4,则实数 α 等于( ? ?x ,x>0.

A.-4 或-2

B.-4 或 2

C.-2 或 4

D.-2 或 2

? ? ?α≤0, ?α>0, 解析 由? 或? 2 得 α=-4 或 α=2,故选 B. ?-α=4 ? ? ?α =4,

4.已知函数 f(x)=x2-2x+2 的定义域和值域均为[1,b],则 b 等于( A.3 B.2 或 3
2

).

C.2

D.1 或 2

解析 函数 f(x)=x -2x+2 在[1,b]上递增, f?1?=1, ? ? 由已知条件?f?b?=b, ? ?b>1,
2 ?b -3b+2=0, ? 即? 解得 b=2. ?b>1. ?

5.(2012· 武汉模拟)若函数 f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数 a、b∈R)是偶函数,且它的值域为(- ∞,4],则该函数的解析式 f(x)=________. 解析 f(x)=bx2+(ab+2a)x+2a2,由已知条件 ab+2a=0,又 f(x)的值域为(-∞,4], a≠0, ? ? 则?b=-2, ? ?2a2=4.

因此 f(x)=-2x2+4.

考向一

二次函数的图象
).

【例 1】 (2010· 安徽)设 abc>0,二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象可能是(

[审题] 分类讨论 a>0,a<0.

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解析 若 a>0,则 bc>0,根据选项 C、D,c<0,此时只有 b<0,二次函数的对称轴方程 b x=- >0,选项 D 有可能;若 a<0,根据选项 A,c<0,此时只能 b>0,二次函数的对 2a b 称轴方程 x=- >0,与选项 A 不符合;根据选项 B,c>0,此时只能 b<0,此时二次函 2a b 数的对称轴方程 x=- <0,与选项 B 不符合.综合知只能是选项 D. 2a 分析二次函数的图象,主要有两个要点:一个是看二次项系数的符号,它确定二次函数 图象的开口方向;二是看对称轴和最值,它确定二次函数的具体位置.对于函数图象判断类 似题要会根据图象上的一些特殊点进行判断, 如函数图象与正半轴的交点、 函数图象的最高 点与最低点等. 【训练 1】已知二次函数 f(x)的图象如图所示, 则其导函数 f′(x)的图象的大致形状是( ).

解析 由函数 f(x)的图象知:当 x∈(-∞,1]时,f(x)为减函数,∴f′(x)≤0;当 x∈[1,+ ∞)时,f(x)为增函数,∴f′(x)≥0.结合选项知选 C.

考向二

二次函数的性质

【例 2】函数 f(x)=x2-2x+2 在闭区间[t,t+1](t∈R)上的最小值记为 g(t). (1)试写出 g(t)的函数表达式;(2)作 g(t)的图象并写出 g(t)的最小值. [审题] 分类讨论 t 的范围分别确定 g(t)解析式. 解 (1)f(x)=(x-1)2+1. 当 t+1≤1,即 t≤0 时,g(t)=t2+1. 当 t<1<t+1,即 0<t<1 时,g(t)=f(1)=1 当 t≥1 时,g(t)=f(t)=(t-1)2+1 t +1≤0,t≤0, ? ? 综上可知 g(t)=?1,0<t<1, ? ?t2-2 t+2,t≥1. (2)g(t)的图象如图所示,可知 g(t)在(-∞,0]上递减,在[1,+∞)上递增,因此 g(t)在[0,1] 上取到最小值 1.
2

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(1)二次函数 y=ax2+bx+c, 在(-∞, +∞)上的最值可由二次函数图象的顶点坐 标公式求出;(2)二次函数 y=ax2+bx+c,在[m,n]上的最值需要根据二次函数 y=ax2+bx +c 图象对称轴的位置,通过讨论进行求解. 【训练 2】 已知函数 f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5]. (1)当 a=-1 时,求函数 f(x)的最大值和最小值. (2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数. 解 (1)当 a=-1 时,f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[-5,5], ∴x=1 时,f(x)取得最小值 1;x=-5 时,f(x)取得最大值 37. (2)函数 f(x)=(x+a)2+2-a2 的图象的对称轴为直线 x=-a, ∵y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数,∴-a≤-5 或-a≥5, 故 a 的取值范围是 a≤-5 或 a≥5.

考向三

幂函数的图象和性质

【例 3】已知幂函数 f(x)=xm2-2m-3(m∈N*)的图象关于 y 轴对称,且在(0,+∞)上是减 m m 函数,求满足(a+1)- <(3-2a)- 的 a 的取值范围. 3 3 [审题视点] 由幂函数的性质可得到幂指数 m2-2m-3<0,再结合 m 是整数,及幂函数是偶 数可得 m 的值. 解 ∵函数在(0,+∞)上递减,∴m2-2m-3<0,解得-1<m<3. ∵m∈N*,∴m=1,2.又函数的图象关于 y 轴对称,∴m2-2m-3 是偶数, 而 22-2×2-3=-3 为奇数,12-2×1-3=-4 为偶数,∴m=1. 1 而 f(x)=x- 在(-∞,0),(0,+∞)上均为减函数, 3 1 1 ∴(a+1)- <(3-2a)- 等价于 a+1>3-2a>0 或 0>a+1>3-2a 或 a+1<0<3-2a. 3 3 2 3? 2 3 ? 解得 a<-1 或 <a< .故 a 的取值范围为?a|a<-1或3<a<2?. 3 2 ? ? 本题集幂函数的概念、图象及单调性、奇偶性于一体,综合性 较强, 解此题的关键是弄清幂函数的概念及性质. 解答此类问 题可分为两大步:第一步,利用单调性和奇偶性(图象对称性) 求出 m 的值或范围;第二步,利用分类讨论的思想,结合函 数的图象求出参数 a 的取值范围.

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【训练 3】 幂函数 y=xa,当 a 取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图象是一族美丽的曲 线(如图).设点 A(1,0),B(0,1),连接 AB,线段 AB 恰好被其中的两个幂函数 y=xα,y=xβ 的图象三等分,即有|BM|=|MN|=|NA|.那么,αβ=( A.1 B.2 C .3 ). D.无法确定

1 2? ?2 1? 1 ?2?α 2 ?1?β 21 解析 法一 由条件得 M? ?3,3?,N?3,3?,由一般性,可得3=?3? ,3=?3? ,即 α=log33, 1 2 lg lg 3 3 12 21 12 β=log .所以 αβ=log · log = · =1. 33 33 33 2 1 lg lg 3 3 1?αβ ??1?β?α ?2?a 1 1 2?α 2 ?1?β 法二 由解法一,得 =? , = ,则? ?3? =??3? ? =?3? =3,即 αβ=1. 3 ?3? 3 ?3?

规范解答——如何求解二次函数在某个闭区间上的最值
【问题研究】 二次函数在闭区间上的最值问题,一定要根据对称轴与区间的相对位置关系 确定最值,当函数解析式中含有参数时,要根据参数的取值情况进行分类讨论,避免漏解. 【解决方案】 对于二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)而言,首先确定对称轴,然后与所给区 间的位置关系分三类进行讨论. 【示例】(本题满分 12 分)(2011· 济南模拟)已知 f(x)=-4x2+4ax-4a-a2 在区间[0,1]内有最 大值-5,求 a 的值及函数表达式 f(x). 求二次函数 f(x)的对称轴,分对称轴在区间的左侧、中间、右侧讨论. a?2 ?a ? [解答示范] ∵f(x)=-4? ?x-2? -4a,∴抛物线顶点坐标为?2,-4a?.(1 分) a ①当 ≥1,即 a≥2 时,f(x)取最大值-4-a2.令-4-a2=-5,得 a2=1,a=± 1<2(舍去); 2 a a 5 ②当 0< <1,即 0<a<2 时,x= 时,f(x)取最大值为-4a.令-4a=-5,得 a= ∈(0,2); 2 2 4 a ③当 ≤0,即 a≤0 时,f(x)在[0,1]内递减,∴x=0 时,f(x)取最大值为-4a-a2,令-4a- 2 a2=-5,得 a2+4a-5=0,解得 a=-5 或 a=1,其中-5∈(-∞,0]. 5 105 综上所述,a= 或 a=-5 时,f(x)在[0,1]内有最大值-5.∴f(x)=-4x2+5x- 或 f(x)=- 4 16 4x2-20x-5. 求解本题易出现的问题是直接利用二次函数的性质——最值在对称轴处取得, 忽 视对称轴与闭区间的位置关系,不进行分类讨论. 【试一试】 设函数 y=x2-2x,x∈[-2,a],求函数的最小值 g(a). [尝试解答] ∵函数 y=x2-2x=(x-1)2-1, ∴对称轴为直线 x=1, 而 x=1 不一定在区间[- 2,a]内,应进行讨论. 当-2<a<1 时,函数在[-2,a]上单调递减,则当 x=a 时,ymin=a2-2a;当 a≥1 时,函

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数在[-2,1]上单调递减,在[1,a]上单调递增,则当 x=1 时,ymin=-1. 综上,g(a)=
2 ? ?a -2a,-2<a<1, ? ?-1,a≥1. ?

【课后反思】


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