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广东省肇庆市2013-2014学年高一上学期期末教学质量评估数学试题


肇庆市中小学教学质量评估 2013—2014 学年第一学期统一检测题高一数学
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.已知 U ? {1,3,5,7,9} , A ? {3,5} ,则 CU A ? A. {1, 7,9} B. {1,3,5, 7,9} C. {1,3,5} D.

{1,9}

2.已知集合 P ? x x ? 2 , Q ? x ?1 ? x ? 3 ,则 P ? Q = A. x ?1 ? x ? 2

?

?

?

?

?

?
2

B. x ?1 ? x ? 3

?

?

C.

? x x ? 3?

D. x x ? ?1

?

?

3.已知函数 f ( x) ? 2 x , 则 f (1 ? x) ? A. 2 x ? 1
2

B. 2 x ? 4 x ? 2
2

C. 2 x ? 2 x ? 2
2

D. 2 x ? 4 x ? 2
2

4.下列函数中,在区间 (0, ??) 上为增函数的是 A. y ? ( )

? ?

x

B. y ?

1 x

C. y ? ln( x ? 2)

D. y ? ? x ? 1

5.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序, 输出的结果是 A. 3 B. 11 C. 38 D. 123

6.设 x 0 是函数 f ( x) ? ln x ? x ? 4 的零点,则 x 0 所在的区间为 A.(0,1) 7.已知函数 f ? x ? ? ? A. ?3 B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

? 2 x, x ? 0 , f ? a ? ? f ?1? ? 0 ,则实数 a 的值等于 ? x ? 1, x ? 0
B. ?1 C. 1 D. 3

8.如果 a > 1 , b < ?1 ,那么函数 f ( x) ? ax ? b 的图像经过 A.第一、二、四象限 C.第一、二、三象限 B.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限
y -1 O 1 x

9.已知函数 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b) (其中 a ? b ),若 f ( x) 的图象如右图所

示,则函数 g ( x) ? a

x

? b 的图象是

y 1 O A x O B

y 1 x O C

y 1 x O D

y 1 x

10.已知函数 f ( x) ? ?log (? x), x ? 0 ,若 f ( x) ? f (? x) ,则 x 的取值范围是 1

?log 2 x, x ? 0 ? ? ?
2

A.(-∞,-1) ∪(1,+∞) C.(-∞,-1) ∪(0,1)

B.(-1,0)∪(0,1) D.(-1,0)∪(1,+∞)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11.函数 y ?

1 ? x ? 2 的定义域是 ▲ . x

12. 函数 y ? lo ga (2 x ? 3) ? 4 的图象恒过定点 M , 且点 M 在幂函数 f ( x) 的图象上, 则 f (3) = ▲ . 13.某种饮料每箱装 6 听,如果其中有 2 听不合格,则质检人员从中随机抽出 2 听,检测出不合格 产品的概率为 ▲ . 14.对于方程 x x ? px ? q ? 0 进行讨论,下面有四个结论: ①至多有三个实根; ③仅当 p ? 4q ? 0 时才有实根;
2

②至少有一个实根; ④当 p ? 0 且 q ? 0 时,有三个实根.

以上结论中,正确的序号是

▲ .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15.(本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? log 2 (1 ? x) ? log 2 (1 ? x) . (1)求函数 f ( x) 的定义域; (2)判断函数 f ( x) 的奇偶性;

(3)求 f (

2 ) 的值. 2

16.(本小题满分 12 分) 某公司近年来科研费用支出 x 万元与公司所获得利润 y 万元之间有如下的统计数据:

x y

2 18

3 27

4 32

5 35

?x ? a ? ?b ? (参考 (1)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y
数值: 2 ? 18 ? 3 ? 27 ? 4 ? 32 ? 5 ? 35 ? 420 ); (2)试根据(1)求出的线性回归方程,预测该公司科研费用支出为 10 万元时公司所获得的 利润.

17.(本小题满分 14 分) 某地统计局就本地居民的月收入调查了 10000 人, 并根据所得数据画了样本数据的频率分布直 方图(每个分组包括左端点,不包括右端点,如第一组表示收入在 [1000 , 1500 ) ). (1)求居民月收入在
频率/组距 0.0005 0.0004 0.0003

[3000 , 3500 ) 的频率;
(2)根据频率分布直方图算 出样本数据的中位数; (3)为了分析居民的收入与 年龄、职业等方面的关系,必须按

0.0002 0.0001 月收入(元) 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

月收入再从这 10000 人中用分层抽样方法抽出 100 人作进一步分析, 则月收入在 [2500 , 3000 ) 的这 段应抽多少人?

18.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? a ?

2 (a ? R ) 2 ?1
x

(1)判断并证明函数的单调性; (2)若函数 f ( x) 为奇函数,求实数 a 的值; (3)在(2)的条件下,若对任意的 t ? R ,不等式 f (t ? 2) ? f (t ? tk ) ? 0 恒成立,求实数
2 2

k 的取值范围. 20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 2a ,其中 a 为常数,且 a ? R .
2

(1)若函数 f ( x) 没有零点,求 a 的取值范围; (2)若 x ?[?1, 2] 时, f ( x) ? ?2 恒成立,求 a 的取值范围.

19.(本小题满分 14 分) 某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20000 元,每生产一台仪器需增加投入 100 元,已知总

1 2 ? ?400 x ? x , 0 ? x ? 400 收益满足函数: R ( x) ? ? ,其中 x(单位:台)是仪器的月产量.(总收 2 ? ?80000, x ? 400
益=总成本+利润) (1)将利润表示为月产量 x 的函数 f ( x) ; (2)当月产量 x 为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 2a ,其中 a 为常数,且 a ? R .
2

(1)若函数 f ( x) 没有零点,求 a 的取值范围; (2)若 x ?[?1, 2] 时, f ( x) ? ?2 恒成立,求 a 的取值范围.

2013—2014 学年第一学期统一检测题 高一数学参考答案及评分标准
一、选择题 题号 答案 1 A 2 C 3 B 4 C 5 B 6 C 7 A 8 D 9 A 10 D

二、填空题 11.[2,+∞); 12.9; 13.

3 ; 5

14.① ②;

三、解答题 15.(本小题满分 12 分) 解:(1)依题意,得 ? 解得 ?1 ? x ? 1 . 所以函数 f ( x) 的定义域为(-1,1). (2)函数 f ( x) 的定义域为(-1,1). 当 x ? ( ?1,1) 时, ? x ? ( ?1,1) , 因为 f (? x) ? log 2 (1 ? (? x)) ? log 2 (1 ? (? x)) (5 分) (6 分)

?1 ? x ? 0 , ?1 ? x ? 0

(2 分) (3 分) (4 分)

? log 2 (1 ? x) ? log 2 (1 ? x)

? f ( x)

(7 分)

所以函数 f ( x) ? log 2 (1 ? x) ? log 2 (1 ? x) 是偶函数. (3)因为 f (

(8 分)

2 2 2 ) ? log 2 (1 ? ) ? log 2 (1 ? ) 2 2 2
? log 2 [(1 ? 2 2 )(1 ? )] 2 2

(9 分)

(10 分)

1 1 ? log 2 (1 ? ) ? log 2 = ?1 2 2

(12 分)

16.(本小题满分 12 分) 解:(1)因为 x ?

2?3? 4?5 18 ? 27 ? 32 ? 35 ? 3.5 , y ? ? 28 , 4 4

(2 分)

?x y
i ?1 4 i

4

i

? 2 ? 18 ? 3 ? 27 ? 4 ? 32 ? 5 ? 35 ? 420 ,

(3 分)

?x
i ?1

2 i

? 2 2 ? 3 2 ? 4 2 ? 5 2 ? 54 ,

(4 分)

?? 所以 b

?x y
i ?1 4 i

4

i

? 4 xy ? ? 4x
2

?x
i ?1

2 i

420 ? 4 ? 3.5 ? 28 ? 5.6 , 54 ? 4 ? 3.5 2

(6 分)

?x ? 28 ? 5.6 ? 3.5 ? 8.4 . ? ? y ?b a

(7 分) (8 分) (11 分)

? ? 5.6 x ? 8.4 . 故所求线性回归方程为 y ? ? 5.6 ? 10 ? 8.4 ? 64.4 (万元), (2)由(1),当 x=10 时, y

故预测该公司科研费用支出为 10 万元时公司所获得的利润为 64.4 万元. (12 分)

17.(本小题满分 14 分) 解:(1)月收入在 [3000 , 3500 ) 的频率为 0.0003 ? (3500 ? 3000 ) ? 0.15 (2)? 0.0002 ? (1500 ? 1000 ) ? 0.1 , 0.0004 ? (2000 ? 1500 ) ? 0.2 , (3分)

0.0005 ? (2500 ? 2000 ) ? 0.25 ,
所以 0.1 ? 0.2 ? 0.25 ? 0.55 ? 0.5 .

(4 分) (6 分)

故可设中位数为 t, t ? (2000, 2500) ,则 0.3 ? (t ? 2000)0.0005 ? 0.5 , 解得 t ? 2400 ,因此样本数据的中位数为 2400 (元).

(8 分) (9 分)

(3)因为居民月收入在 [2500 , 3000 ) 的频率为 0.0005 ? (3000 ? 2500 ) ? 0.25 ,(10 分) 所以 10000 人中月收入在 [2500 , 3000 ) 的人数为 0.25 ?10000 ? 2500 (人), (12 分) 再 从 10000 人 中 用 分 层 抽 样 方 法 抽 出 100 人 , 则 月 收 入 在 [2500 , 3000 ) 的 应 该 抽 取

100 ?

2500 ? 25 (人). 10000

(14 分)

18.(本小题满分 14 分) 解:(1)函数 f ( x) 为 R 上的增函数. 证明如下: 显然函数 f ( x) 的定义域为 R,对任意 x1 , x2 ? R ,设 x1 ? x2 ,则 (1 分)

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (a ?

2 2 ) ? ( a ? x2 ) 2 ?1 2 ?1
x1

(2 分)

2(2 x1 ? 2 x2 ) ? x1 (2 ? 1)( 2 x2 ? 1)
因为 y ? 2 是 R 上的增函数,且 x1 < x2 ,所以 2 1 - 2 2 <0,
x
x x

(3 分) (4 分)

所以 f ( x1 ) - f ( x2 ) <0,即 f ( x1 ) < f ( x2 ) ,故函数 f ( x) 为 R 上的增函数. (5 分) (2)因为函数 f ( x) 的定义域为 R,且为奇函数,所以 f (0) ? 0 . 即 f (0) ? a ? (7 分) (8 分)
2 2

2 ? 0 ,解得 a=1. 2 ?1
0

(3)解:因为 f ( x) 是奇函数,从而不等式 f (t ? 2) ? f (t ? tk ) ? 0 对任意的 t ? R 恒成立等价于 不等式 f (t ? 2) ? f (tk ? t ) 对任意的 t ? R 恒成立.
2 2

(10 分)
2

又因为 f ( x) 在 R 上为增函数,所以等价于不等式 t ? 2 ? tk ? t 对任意的 t ? R 恒成立,即不等式
2

2t 2 ? kt ? 2 ? 0 对任意的 t ? R 恒成立.
所以必须有 ? ? k ? 16 ? 0 ,即 ?4 ? k ? 4 ,
2

(12 分) (13 分) (14 分)

所以,实数 k 的取值范围是(-4,4).

19.(本小题满分 14 分) 解:(1)设月产量为 x 台,则总成本为 20000 ? 100x 元. 依题意得,利润表示为月产量 x 的函数: (1 分)

? 1 2 ?? x ? 300 x ? 20000, 0 ? x ? 400 f ( x) ? ? 2 ? ?60000 ? 100 x, x ? 400
(2)当 0 ? x ? 400 时, f ( x) ? ?

(5 分)

1 ( x ? 300)2 ? 25000 2

(7 分) (9 分) (11 分) (12 分) (13 分) (14 分)

则当 x ? 300 时,函数 f ( x) 有最大值, f ( x) max ? 25000 (元); 当 x > 400 时,函数 f ( x) ? 60000 ? 100 x 是减函数, 所以 f ( x) < 60000 ?100 ×400 < 25000 . 综上,当 x ? 300 时, f ( x) max ? 25000 元. 故月产量为 300 台时,公司所获利润最大,最大利润为 25000 元.

20.(本小题满分 14 分) 解:(1)函数 f ( x) 没有零点,即函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 2a 的图象与 x 轴没有交点,也就是方程
2

x 2 ? 2ax ? 2a ? 0 没有实根.
所以, ? ? (2a) ? 8a ? 0 ,
2

(2 分) (4 分) (5 分)

解得: 0 ? a ? 2 (2)函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 2a 图象的对称轴为 x ? a .
2

(7 分)

当 a ? 2 时,函数 f ( x) 在 [-1 , 2] 上单调递减,要使 x ?[? 1, 2]时, f ( x) ? ?2 恒成立,必须

f ( x) mi n ? f (2) ? 4 ? 2a ? ?2 ,解得 2 ? a ? 3 ;

(9 分)

当 ? 1 ? a ? 2 时,函数 f ( x) 在[-1,2]上的最小值为 f (a ) ,要使 x ?[?1, 2] 时, f ( x) ? ?2 恒成立,
2 必须 f (a) ? ?a ? 2a ? ?2 ,解得 1 ? 3 ? a ? 2 ;

(11 分)

当 a ? ?1 时,函数 f ( x) 在 [-1 , 2] 上单调递增,要使 x ?[? 1, 2]时, f ( x) ? ?2 恒成立,必 须

f ( x) min ? f (?1) ? 4a ? 1 ? ?2 ,解得 a ? ? .
综上所得 a 的取值范围是 [1 ? 3 ,3] .

(13 分) (14 分)


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