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9 对数与对数函数


【2012 高考数学理科苏教版课时精品练】 作业9 第六节 对数与对数函数 1.(2010 年高考天津卷改编)设 a=log54,b=(log53)2,c=log45,则 a,b,c 的大小为 ________. 解析:0<log53<log54<1,log45>1,∴b<a<c. 答案:b<a<c 1 1 2.(2010 年高考辽宁卷改编)设 2a=5b=m,且 + =2,则 m=________. a b 解析:由 2a=5b=m 得 a=log2m,b=log5m, 1 1 ∴ + =logm2+logm5=logm10. a b 1 1 ∵ + =2,∴logm10=2,∴m2=10,m= 10. a b 答案: 10 3.已知 f(3x)=4xlog23+233,则 f(2)+f(4)+f(8)+…+f(28)的值等于________. 4log2t 解析:令 t=3x,则 x=log3t,f(t)=4log3 tlog2 3+233= log 3+233=4log2t+233, log23 2 所以 f(2)+f(4)+f(8)+…f(28)=4×(1+2+3+…+8)+8×233=144+1864=2008. 答案:2008 1 4.(2010 年高考湖北卷改编)函数 y= 的定义域为________. log0.5?4x-3? 3 ? ? ?x>4 ?4x-3>0 3 解析:? ?? ? <x<1. 4 ? ?log0.5?4x-3?>0 ? ?4x-3<1 3 答案:{x| <x<1} 4 5.(2010 年高考大纲全国卷Ⅰ改编)已知函数 f(x)=|lgx|,若 a≠b,且 f(a)=f(b),则 a+ b 的取值范围是________. 解析:如图,由 f(a)=f(b), 得|lg a|=|lg b|. 设 0<a<b,则 lg a+lg b=0. ∴ab=1.∴a+b>2 ab=2. 答案:(2,+∞) 6. 若函数 f(x)=logax(0<a<1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的 3 倍, 则 a=________. 解析:当 x=a 时,f(a)=1,f(2a)=1+loga2, 又∵y=logax 是减函数,∴f(a)=3· f(2a), 2 2 故 3(1+loga2)=1,即 loga2=- ,∴a= . 3 4 2 答案: 4 7.设 a>0 且 a≠1,函数 f(x)=alg(x 2x 3)有最大值,则不等式 loga(x2-5x+7)>0 的解集 为________. 2- + 解析:∵函数 y=lg(x2-2x+3)有最小值,f(x)=alg(x 2x 3)有最大值,∴0<a<1. ∴由 loga(x2-5x+7)>0,得 0<x2-5x+7<1, 解得 2<x<3.


2-

1

∴不等式 loga(x2-5x+7)>0 的解集为{x|2<x<3}. 答案:{x|2<x<3} 8. 设 a>1, 若仅有一个常数 c 使得对于任意的 x∈[a,2a], 都有 y∈[a, a2]满足方程 logax +logay=c,这时 a 的取值集合为________. 解析:由 logax+logay=c,(a>1) ac ∴y= . x ac ∵a>1,∴y= 在 x∈[a,2a]上递减, x ac ac 1 - c-1 ∴ymax= =a ,ymin= = ac 1, a 2a 2 a ≤a ?c≤3, ? ? ?1 c-1 c-2 ? ?2a ≥a?a ≥2?c≥loga2+2. ∵loga2+2≤c≤3 时,c 值只有 1 个, ∴c=3,即 loga2=1,故 a=2. 答案:{2} 2+x 9.已知函数 f(x)=loga (0<a<1). 2-x (1)试判断 f(x)的奇偶性; (2)解不等式 f(x)≥loga3x. 2+x 解:(1) >0?-2<x<2. 2-x 故 f(x)的定义域关于原点对称, 2-x 2+x -1 且 f(-x)=loga =loga( ) =-f(x), 2+x 2-x ∴f(x)是奇函数. 2+x (2)f(x)≥loga3x?loga ≥loga3x.∵0<a<1, 2-x 2+x ? ?2-x>0, 故? 2+x ? ?2-x≤3x -2<x<2, ? ? ???3x-2??x-1? ≥0 ? x-2 ?
c-1 2

2 2 ? ≤x≤1.即原不等式的解集为{x| ≤x≤1}. 3 3 10.已知 f(x)=logax,g(x)=2loga(2x+t-2)(a>0,a≠1,t∈R). (1)当 t=4,x∈[1,2],且 F(x)=g(x)-f(x)有最小值 2 时,求 a 的值; (2)当 0<a<1,x∈[1,2]时, 有 f(x)≥g(x)恒成立,求实数 t 的取值范围. 解:(1)当 t=4 时, ?2x+2?2 F(x)=g(x)-f(x)=loga ,x∈[1,2], x ?2x+2?2 1 令 h(x)= =4(x+ +2),x∈[1,2], x x 1 4?x-1??x+1? 则 h′(x)=4(1- 2)= >0, x x2 ∴h(x)在[1,2]上是单调增函数, ∴h(x)min=16,h(x)max=18.
2

当 0<a<1 时,有 F(x)min=loga18, 令 loga18=2 求得 a=3 2>1(舍去); 当 a>1 时,有 F(x)min=loga 16, 令 loga16=2 求得 a=4>1.∴a=4. (2)当 0<a<1,x∈[1,2]时,有 f(x)≥g(x)恒成立, 即当 0<a<1,x∈[1,2]时,logax≥2loga(2x+t-2)恒成立, 由 logax≥2loga(2x+t-2) 可得 loga x≥loga(2x+t-2), ∴ x≤2x+t-2,∴t≥-2x+ x+2. 设 u(x)=-2x+ x+2=-2( x)2+ x+2 1 17 =-2( x- )2+ , 4 8 ∵x∈[1,2],∴ x∈[1, 2]. ∴u(x)max=u(1)=1. ∴实数 t 的取值范围为 t≥1. 11.(探究选做)已知函数 f(x)=lg kx-1 (k∈R 且 k>0). x-1

(1)求函数 f(x)的定义域; (2)若函数 f(x)在[10,+∞)上是单调增函数,求 k 的取值范围. 1 x- k kx-1 1 解:(1)由 >0 及 k>0 得 >0,即(x- )· (x-1)>0.①当 0<k<1 时,x<1 或 x k x-1 x-1 1 1 > ;②当 k=1 时,x∈R 且 x≠1;③当 k>1 时,x< 或 x>1.综上可得当 0<k<1 时,函 k k 1 1 数的定义域为(-∞,1)∪( ,+∞);当 k>1 时, 函数的定义域为(-∞, )∪(1,+∞); k k 当 k=1 时,{x|x∈R 且 x≠1}. (2)∵f(x)在[10,+∞)上是增函数, 10k-1 1 ∴ >0,∴k> . 10 10-1 kx-1 k-1 又 f(x)=lg =lg(k+ ),故对任意的 x1、x2, x-1 x-1 当 10≤x1<x2 时,恒有 f(x1)<f(x2), k-1 k-1 即 lg(k+ )<lg(k+ ), x1-1 x2-1 k-1 k-1 ∴ < , x1-1 x2-1 1 1 ∴(k-1)· ( - )<0, x1-1 x2-1 1 1 又∵ > ,∴k-1<0,∴k<1. x1-1 x2-1 1 综上 k 的取值范围为( ,1). 10

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