6高中奥林匹克物理竞赛解题方法六：递推法

= at + 2at + 3at + L + (n 1)at + nat = at (1 + 2 + 3 + L + n)

1 1 = at (n + 1)n = n(n + 1)at 2 2
（2）同理：可推得 nt 内通过的总路程 s =

1 n(n + 1)(2n + 1)at 2 . 12 1 (n = 2) ，求 n

2 gh0 = 60m / s

2

-1-

m

2 h0 h v12 v2 每次跳起的高度依次 h1 = = 2 , h2 = = 0 ， 2g n 2g n 4 …

= h0 +

2h0 1 1 1 (1 + 2 + 4 + L + 2 m 2 ) + L 2 n n n n 2 2h n +1 5 = h0 + 2 0 = h0 2 = h0 = 300m n 1 n 1 3

=

v0 2v1 2v + +L+ m +L g g g v 1 1 = 0 [1 + 2 + L + 2 ( ) m + L] g n n v n +1 = 0( ) g n 1 3v = 0 = 18s g

3 a1 = a AA1 BB1 cos 60° = a vt , 2 3 3 a 2 = a1 vt = a 2 × vt , 2 2 3 3 a 3 = a 2 vt = a 3 × vt , 2 2 L 3 a n = a n vt 2

3 vt = 0, 2 所以t = 2a 3v

-2-

1 2 mv1 2

2

1 2 1 F v1 = ( g )s 4 2 m 1 1 2 ′ ( F 2 mg )s = × 2mv 2 × 2mv1 2 2 2

′ 拉第二节车厢时： ( m + 2m)v 2 = 2mv 2

2

4 2 2 F 5 v 2 = ( g )s 9 3 m 3

…… 推理可得

n F 2n + 1 ( g )s n +1 m 3 2n + 1 2 由 v ′ > 0可得 : F > mg n 3 ′ v n2 =

W3 = mg 2d W4 = mg 3d W5 = mg 4d L Wn = mg (n - 1)d

= mgd + mg 2d + mg 3d + L + mg (n 1)d (n 1) = mgd n 2

-3-

N i L = N i +1

N L , 得N i = i +1 2 2

1 1 1 1 N 2 = × N3 = L = ( )5 N6 2 2 2 2

N1

3 L + mg L = N 6 L 2 4 N1 = mg 42 mg . 42

x1 =

L 2

L G x 2 = ( x 2 ) G 2 L L x 2 = = 4 2× 2

9

L 2×3

L 2× n
n

∑ x
n =1

= 11.32h

-4-

k 11.32h = = 1.258 H 9h

u ′ = 2nv1 = 4v1 的水平速度扔到车上，同理有 ( M + m)v1 m 2nv1 = ( M + 2m)v 2 ，所以，当第 n 个沙袋抛上

M (n + 1)m v n 1 . M + nm

48 30 ,n> , n 为整数取 3. 14 14

′ [ M + 3m + (n 1)m′]v n 1 2m′nv n1 = ( M + 3m + nm′)v n

M + 3m (n + 1)m′ M + 3m (n + 2)m′ ′ ′ v n 1 同理v ′ +1 = vn n M + 3m + nm′ M + 3m + (n + 1)m′

M + 3m (n + 1)m′ > 0 n > 7 解得 M + 3m (n + 2)m′ ≤ 0 n = 8

-5-

mg cosθ ( s 2 + s3 ) = mg ( s 2 s3 ) sin θ

s 2 s3 sin θ cos θ 2 = =L= = s1 s 2 sin θ + cos θ 3
2 3

s = s1 + 2 s 2 + 2 s3 + L + 2 s11

2 s1 [1 ( )11 ] 3 = 2( s1 + s 2 + s3 + L + s11 ) s1 = 2 × s1 2 1 3 2 = 10 12 × ( )11 (m) = 9.86(m) 3

m1v0 = m1v1 + m2 v 2 1 1 1 2 2 m1v0 = m1v12 + m2 v 2 2 2 2

① ②

(m1 m2 ) 1 v0 = v0 m1 + m2 3

v2 =

2m1 2 v0 = v0 m1 + m2 3
2 v0 3 ′ v2 = 0

′ v1 = v0

-6-

T = 3(t1 + t 2 + t 3 ) = 3 × (

2πR 2πR 2πR 10πR 10πR )= + + = = 20( s ). πR 3v0 3v0 v0 v0 2

1 2 nmv n 这样的关系 2

FL =

1 1 2 (n 1)mv ′ 21 (n 1)mv n1 n 2 2

n vn ② n 1 1 n 1 2 把②式代入①式得： FL = ( n 1) m( v n ) 2 (n 1)mv n 1 2 n 1 2 2 FL 2 2 整理后得： ( n 1) = n 2 v n (n 1) 2 v n 1 ③ m ′ (n 1)mv n 1 = nmv n ′ 得： v n 1 =
③式就是反映相邻两木块被拉动时速度关系的递推式，由③式可知

2 FL 2 = 2 2 v 2 v12 m 2 FL 2 2 当 n=3 时有： 2 = 3 2 v3 2 2 v 2 m 2 FL 2 2 当 n=4 时有： 3 = 4 2 v 4 3 2 v3 … m 2 FL 2 2 一般地有 ( n 1) = n 2 v n (n 1) 2 v n 1 m

n(n 1) 2 FL 2 = n 2 v n v12 2 m

2 FL 2 = n 2 v n v12 m

FL(n 1) . nm

v0 = 3m / s 的速度向右在光滑水平面上前进，并使车与墙发生正碰，设碰撞时

-7-

( M m)v n 1 = ( M + m)v n

vn =

v M m v n 1 = n 1 M +m 5

v1 v , v3 = 1 ,L 5 52

v1 ,L 5 n 1

sn =

v12 v12 1 = 2n2 2a 2a 5

v12 v12 1 v12 1 v12 1 类似地，由这一关系可递推到： s1 = , s2 = 2 , s3 = 4 ,L , s n = 2 n2 2a 2a 5 2a 5 2a 5

s总 = 2( s1 + s 2 + s 3 + L + s n + L) v12 1 1 1 = 2 (1 + 2 + 4 + L + 2 n 2 + L) 2a 5 5 5 2 2 v v 25 1 = 1 = 1 1 a a 24 1 2 5

a=

Mg 15 = m / s2 m 2

5 ( m) 4

10 个相同的扁长木块一个紧挨一个地放在水平地面上，如图 6—9

-8-

1 Mg = 2.0 N

1 1 2 Mv 2 = Mv0 1 Mg 8l 2 2

2

v ′ 2 = v 2 + 2a M ( s + l ) V ′ 2 = 2a m s
v′ = v + a M t V ′ = am t

v ′ = 0.611m / s v ′ = 0.26m / s 或 ，显然后一解不合理应舍去. V ′ = 0.212m / s V ′ = 0.23m / s

v ′′ 2 = v ′ 2 + 2a M ( s ′ + l )

2

-9-

4

1 . 2

（1）要使滑块与箱子这一系统消耗的总动能不超过其初始动能的 40%，滑块与箱壁最多可碰撞几次？ （2）从滑块开始运动到刚完成上述次数的碰撞期间，箱子的平均速度是多少？ 解析 由于滑块与箱子在水平方向不受外力， 故碰撞时系统水平方向动量守恒. 根据题目给出的每次碰撞前 后相对速度之比，可求出每一次碰撞过程中动能的损耗.滑块开始运动到完成题目要求的碰撞期间箱子的平均速 度，应等于这期间运动的总位移与总时间的比值. （1）滑块与箱壁碰撞，碰后滑块对地速度为 v，箱子对地速度为 u. 由于题中每次碰撞的 e 是一样的，故有：

e=

u vn u1 v1 u 2 v 2 = =L= n v0 u 0 v1 u1 v n1 u n 1 v un v1 u1 v 2 u 2 = =L= n v0 0 v1 u1 v n 1 u n 1 v un v1 u1 v 2 u 2 × ×L× n v0 v1 u1 v n 1 u n1
n

( e) n =

① ②

1 [1 + (e) n ]v0 2

1 u n = [1 (e) n ]v0 2

E kn = E k E kn = =

1 2 1 2 2 mv0 m(v n + u n ) 2 2

1 2 1 2 mv0 mv0 (1 + e 2 n ) 2 4 2n 1 e 1 2 = × mv0 2 2 2n 1 e Ek = 2

E kl 1 e = = Ek 2
2

1 2 1 2 1

1 2 = 0.146 1 2 = 0.25 1 1 2 2 = 0.323 2
- 10 -

E 1 e4 n = 2时, k 2 = = Ek 2

E 1 e6 n = 3时, k 3 = = Ek 2

E 1 e8 n = 4时, k 4 = = Ek 2

1 2
1

1 4 = 0.375
1 1 4 2 = 0.412 2

n = 5时,

E k 5 1 e = Ek 2

10

=

t0 =

L L L L . 在下一次发生碰撞的时间 t1 = ，共碰撞四次，另两次碰撞的时间分别为 t 2 = 2 、 = v0 | u1 v1 | ev0 e v0 L L 2 3 ，所以总时间 t = t 0 + t1 + t 2 + t 3 = 3 (1 + e + e + e ). e v0 e v0
3

t3 =

s = 0 + u1t1 + u 2 t 2 + u 3t 3

= =

1 L 1 L 1 L (1 + e)v0 × + (1 e 2 )v 0 × 2 + (1 + e 3 )v 0 × 3 2 ev0 2 e v0 2 e v0

L L L L L L + 2 + + 3+ 2e 2 2e 2 2e 2 L = 3 (1 + e + e 2 + e 3 ) 2e

L (1 + e + e 2 + e 3 ) v s 2e 3 所以平均速度为： v = = = 0 L t 2 (1 + e + e 2 + e 3 ) 3 e v0

p n 1V = p n (V + V0 )

n ○
- 11 -

V ) n p0 V + V0

p0 pn 所以n = V + V0 lg( ) v lg

lg 400 = 27 （次） lg 1.25
27 = 3.38 分钟 8

Q1 Q2 Q C Q1 C1 = ,即 1 = 1 , 亦即 = =k， C1 C 2 Q2 C 2 Q1 + Q2 C1 + C 2

q . 根据此规律就可以求出小球 Q

q1 = kQ = q q 2 = k (Q + q1 ) = q + kq q 3 = k (Q + q 2 ) = kQ + kq 2 = q + kq + k 2 q

LL
q n = k (Q + q n 1 ) = q + kq + k 2 q + L + k n 1 q 由于 k < 1 ，上式为无穷递减等比数列，根据求和公式得：

qn =

q = 1 k

q 1 q Q

=

qQ Qq

qQ . Qq

- 12 -

Q E

Qq q = C1 C2

Qq (Q q ) E q2 = Qq Qq

(2 R + R ′)2 R = R′ 2R + R′ + 2R

R=

mv L = Bq 4

v=

BqL 4m s1 =

πL
4

2

Eq y m s2 = 2 y = B 2 qL2 16mE

s1 = π R =

πL
4

- 13 -

s 2 = s1 + s 2 =

πL
4

+

B 2 qL2 16mE

s3 = s1 + s 2 + s1 =

πL
2

+

B 2 qL2 16mE

B 2 qL2 s 4 = 2 s1 + 2 s 2 = + 2 8mE

πL

s ( 2 n1) = ns1 + (n 1) s 2 =

nπL B 2 qL2 + (n 1) 4 16mE s 2 n = n( s1 + s 2 ) = n(

πL
4

+

B 2 qL2 ) 16mE

- 14 -

1．一物体放在光滑水平面上，初速为零，先对物体施加一向东的恒力 F，历时 1 秒钟，随即把此力改为向西， 大小不变，历时 1 秒钟，接着又把此力改为向东，大小不变，历时 1 秒钟，如此反复，只改变力的方向，共 历时 1 分钟. 在此 1 分钟内 （ ） A．物体时而向东运动，时而向西运动，在 1 分钟末静止于初始位置之东 B．物体时而向东运动，时而向西运动，在 1 分钟末静止于初始位置 C．物体时而向东运动，时而向西运动，在 1 分钟末继续向东运动 D．物体一直向东运动，从不向西运动，在 1 分钟末静止于初始位置之东 2．一小球从距地面为 H 的高度处由静止开始落下. 已知小球在空中运动时所受空气阻力为球所受重力的 k 倍

(k < 1) ，球每次与地面相碰前后的速率相等，试求小球从开始运动到停止运动，
（1）总共通过的路程； （2）所经历的时间. 3．如图 6—14 所示，小球从长 L 的光滑斜面顶端自由下滑，滑到底 端时与挡板碰撞并反弹而回，若每次与挡板碰撞后的速度大小为 碰撞前的 4/5，求小球从开始下滑到最终停止于斜面下端物体共 通过的路程. 4．如图 6—15 所示，有一固定的斜面，倾角为 45°，斜面长为 2 米，在斜面下端有一与斜面垂直的挡板，一质量为 m 的质点， 从斜面的最高点沿斜面下滑，初速度为 1 米/秒. 质点沿斜面下 滑到斜面最底端与挡板发生弹性碰撞. 已知质点与斜面间的滑 动摩擦因数为 0.20. （1） 试求此质点从开始运动到与挡板发生第 10 次碰撞的过程中通过的总路程； （2）求此质点从开始运动到最后停下来的过程中通过的总路程.

5．有 5 个质量相同、其大小可不计的小木块 1、2、3、4、5 等距离地依次放在倾 角 θ = 30° 的斜面上（如图 6—16 所示）.斜面在木块 2 以上的部分是光滑的， 以下部分是粗糙的，5 个木块 开始时用手扶着木 与斜面粗糙部分之间的静摩擦系数和滑动摩擦系数都是 ， 块 1，其余各木块都静止在斜面上. 现在放手，使木块 1 自然下滑，并与木块 2 发生碰撞，接着陆续发生其他 碰撞. 假设各木块间的碰撞都是完全非弹性的. 求 取何值时木块 4 能被撞而木块 5 不能被撞. 6．在一光滑水平的长直轨道上，等距离地放着足够多的完全相同的质量为 m 的 长方形木块，依次编号为木块 1，木块 2，…，如图 6—17 所示.在木块 1 之 前放一质量为 M=4m 的大木块，大木块与木块 1 之间的距离与相邻各木块间 的距离相同，均为 L. 现在，在所有木块都静止的情况下，以一沿轨道方向 的恒力 F 一直作用在大木块上，使其先与木块 1 发生碰撞，设碰后与木块 1 结为一体再与木块 2 发生碰撞， 碰后又结为一体，再与木块 3 发生碰撞，碰后又结为一体，如此继续下去. 今问大木块（以及与之结为一体 的各小木块）与第几个小木块碰撞之前的一瞬间，会达到它在整个过程中的最大速度？此速度等于多少？

- 15 -

7．有电量为 Q1 的电荷均匀分布在一个半球面上，另有无数个电量均为 Q2 的点电荷位于通过球心的轴线上，且 在半球面的下部. 第 k 个电荷与球心的距离为 R 2 间均为自由空间. 若 Q1 已知，求 Q2. 8．一个半径为 1 米的金属球，充电后的电势为 U，把 10 个半径为 1/9 米的均不带电的小金属球顺次分别与这个 大金属球相碰后拿走，然后把这 10 个充了电了小金属球彼此分隔摆在半径为 10 米的圆周上，并拿走大金属 球. 求圆心处的电势. （设整个过程中系统的总电量无泄漏） 9．真空中，有五个电量均为 q 的均匀带电薄球壳，它们的半径分别为 R，R/2， R/4，R/8，R/16，彼此内切于 P 点（如图 6—18）.球心分别为 O1，O2，O3， O4，O5，求 O1 与 O5 间的电势差. 10．在图 6—19 所示的电路中，三个电容器 CⅠ、CⅡ、CⅢ的电容值均等于 C，电 源的电动势为 ε ，RⅠ、RⅡ为电阻，S 为双掷开关. 开始时，三个电容器都不带电. 先接通 Oa，再接通 Ob，再接通 Oa，再接通 Ob……如此反复换向，设每次接通 前都已达到静电平衡，试求： （1）当 S 第 n 次接通 Ob 并达到平衡后，每个电容器两端的 电压各是多少？ （2）当反复换向的次数无限增多时，在所有电阻上消耗的 总电能是多少？ 11．一系列相同的电阻 R，如图 6—20 所示连接，求 AB 间的等效电阻 RAB.
k 1

，且 k=1，2，3，4，…，设球心处的电势为零，周围空

12．如图 6—21 所示，R1=R3=R5=…=R99=5Ω，R2=R4=R6=…=R98=10Ω，R100=5Ω， ε =10V 求： （1）RAB=？ （2）电阻 R2 消耗的电功率应等于多少？ （3） Ri (i = 1,2,3, L ,99) 消耗的电功率； （4）电路上的总功率. 13．试求如图 6—22 所示，框架中 A、B 两点间的电阻 RAB，此框架是用同种细金 属丝制作的，单位长的电阻为 r，一连串内接等边三角形的数目可认为趋向无穷， 取 AB 边长为 a，以下每个三角形的边长依次减少一半. 14．图 6—23 中，AOB 是一内表面光滑的楔形槽，固定在水平桌面（图中纸面） 上，夹角 α = 1° （为了能看清楚，图中的是夸大了的）. 现将一质点在 BOA 面内 从 C 处以速度 v = 5m / s 射出，其方向与 AO 间的夹角 θ = 60° ，OC=10m. 设质点 与桌面间的摩擦可忽略不计，质点与 OB 面及 OA 面的碰撞都是弹性碰撞，且每
- 16 -

1．D 2．

H 2H 1 + k + 1 k 2 2H 1 k + 1 k 2 + , k (1 k ) g 2k (1 + k ) g 2k
4．9.79m 50m 5． 0.597 < < 0.622 6．21 块

3．

41 L 9
Q1 2

FL 49 m48

7．

8．0.065U 9．24.46K

q R

10． （1）I： 11． R AB

2 1 1 1 1 Cε [1 ( ) n ], Ⅱ Ⅲ： Cε [1 ( ) n ] （3） Cε 2 3 4 3 4 3 20 = ( 3 + 1) R 12． （1）10Ω （2）2.5W （3） i +1 (i = 1,3,5, L ,99) ， 2

10 (i = 2,4, L ,98) （4）10W 13．40Ω 2i 1 14． R AB = ( 7 1) ra 15． （1）60 次 （2）2s （3） 5 3m 3

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6高中奥林匹克物理竞赛解题方法六:递推法
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