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3.1.2空间向量的数乘运算-数学选修2-1


3.1.2 空间向量的数乘运算

2、平面向量的加法、减法与数乘运算

b a
向量加法的三角形法则

b a
向量加法的平行四边形法则

a b a
向量减法的三角形法则

ka ka
向量的数乘

(k>0) (k<0)

平面向量
概 念 具有大小和方向的量

空间向量
具有大小和方向的量

加法 加法:三角形法则或平行四边形法则 减法 减法:三角形法则 数乘 运算 数乘:ka,k为正数,负数,零 运 算 律
加法交换律

a+b =b+a

加法结合律 ( a + b ) + c = a + (b + c ) 数乘分配律

k ( a + b ) = k a+ k b

C

a b
O

+
A

b

B

空间向量的加减

a
ka ka

uuu uuu uuu r r r OB = OA + AB uuu uuu uuur r r CA = OA ? OC

(k>0) (k<0)

空间向量的数乘

K=0?

0

平面向量
概 念 具有大小和方向的量

空间向量
具有大小和方向的量

加法 加法:三角形法则或平行四边形法则 加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法 减法:三角形法则 减法:三角形法则 : 数乘 数乘:ka,k为正数,负数,零 运算 数乘:ka,k为正数,负数,零 运 算 律
加法交换律

a+b =b+a

加法交换律 加法结合律

a+b =b+a

加法结合律 ( a + b ) + c = a + (b + c ) 数乘分配律

( a + b ) + c = a + (b + c )

k ( a + b ) = k a+ k b 数乘分配律 k ( a + b ) = k a+ k b

已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, ABCDABCD 求满足下列各式的x的值。 D1 uuur uuuur uuuu r uuur (1) AB1 + A1D1 + C1C = xAC uuuu uuuu r r uuuu r A1 B1 (2) 2 AD1 ? BD1 = xAC1 uuur uuur uuuu r uuuu r (3) AC + AB1 + AD1 = xAC1
D A B C

C1

已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, ABCDABCD 求满足下列各式的x的值。 uuur uuuur uuuu r uuur (1) AB1 + A1D1 + C1C = xAC D1 C1 uuur uuuur uuuu r 解:(1) AB1 + A1D1 + C1C

uuur uuuu uuuu r r = AB1 + B1C1 + C1C uuur = AC ∴ x = 1.
A

A1

B1

D B

C

uuuu uuuu r r uuuu r (2) 2 AD1 ? BD1 = x AC1
uuuu uuuu r r (2) 2 AD1 ? BD1 uuuu uuuu uuuu r r r = AD1 + AD1 ? BD1 uuuu uuuu uuuu r r r = AD1 + ( BC1 ? BD1 ) uuuu uuuur r = AD1 + D1C1 uuuu r = AC1

D1 A1 B1

C1

∴ x = 1.
A

D B

C

uuu uuur uuuu r r (3) AC + AB1 + AD1

uuur uuur uuuu r uuuu r (3) AC + AB1 + AD1 = x AC1

uuur uuu r uuur uuu r uuur uuur = ( AD + AB) + ( AA1 + AB) + ( AA1 + AD) D 1 uuur uuu uuur r = 2( AD + AB + AA1 ) A1 uuuu r = 2AC1

C1 B1

∴ x = 2.
A

D B

C

一、共线向量: 共线向量: 1.共线向量 共线向量: 1.共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合, 有向线段所在直线互相平行或重合,则这些 向量叫做共线向量(或平行向量), ),记作 向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a//b 零向量与任意向量共线. 零向量与任意向量共线. 向量 a, b(b ≠ o), a // b 的充要条件是存在实 数使 a = λb

2.共线向量定理: 2.共线向量定理:对空间任意两个 共线向量定理

的直线,那么对任一点O, 已知非零向量 a 的直线,那么对任一点O, 上的充要条件是存在实数t, 点P在直线 l 上的充要条件是存在实数t, 满足等式OP=OA+t 满足等式OP=OA+t a 其中向量叫做直线的 方向向量. 方向向量. P
a

推论: 为经过已知点A 推论:如果 l 为经过已知点A且平行

A,B中点 中点, 若P为A,B中点, r r r 则 uuu 1 uuu uuu OP = OA + OB 2

(

)
O

B A

1.下列说明正确的是: 下列说明正确的是: 下列说明正确的是 A.在平面内共线的向量在空间不一定共线 在平面内共线的向量在空间不一定共线 B.在空间共线的向量在平面内不一定共线 在空间共线的向量在平面内不一定共线 C.在平面内共线的向量在空间一定不共线 在平面内共线的向量在空间一定不共线 D.在空间共线的向量在平面内一定共线 在空间共线的向量在平面内一定共线 2.下列说法正确的是: 下列说法正确的是: 下列说法正确的是 A.平面内的任意两个向量都共线 平面内的任意两个向量都共线 B.空间的任意三个向量都不共面 空间的任意三个向量都不共面 C.空间的任意两个向量都共面 空间的任意两个向量都共面 D.空间的任意三个向量都共面 空间的任意三个向量都共面

共面向量: 二.共面向量: 1.共面向量:平行于同一平面的向量, 1.共面向量:平行于同一平面的向量, 共面向量
叫做共面向量. 叫做共面向量.
O

a
A

α

a

注意:空间任意两个向量是共面的, 注意:空间任意两个向量是共面的,但空间 任意三个向量就不一定共面的了。 任意三个向量就不一定共面的了。

r r 2.共面向量定理 共面向量定理: r r 2.共面向量定理:如果两个向量 a , b u r 不共线, 不共线,则向量 p 与向量a , b共面的充要 ur r r 条件是存在实数对x, y 使P = xa + yb
rB br M a A
u r p

P
A′

O

下列命题中正确的有: 下列命题中正确的有:
u r r r u r r r (1) p = xa + yb  p 与 a 、 共面 ; ? b u r r r u r r r (2) p 与 a 、 共面 ? p = xa + yb  b ;
uuuu r uuuu r uuuu r (3) MP = x MA + y MB ? P、M、A、B共面;

uuuu r uuuu r uuuu r (4) P、M、A、B共面 ? MP = xMA + yMB ;

A.1个 个

B.2个 个

C.3个 个

D.4个 个

空间向量的数乘运算 共线向量的概念与共线向量定理 共面向量的概念与共面向量定理


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