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2015年高考人教版理科数学创新演练:空间几何体的表面积和体积]


创新演练
一、选择题 1.(2014·山西诊断)如图,水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为 2,且侧棱 AA1⊥平面 A1B1C1,正视图是边长为 2 的正方形,该三棱柱的侧视图的面积为 ( )

A.4 C.2 2

B.2 3 D. 3

B [依题意得,该几何体的侧视图是边长分别为 2 和 3的矩形,因此

其侧视图 的面积为 2 3,选 B.] 2.已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且 AB=3,BC=2,则 棱锥 O-ABCD 的体积为 ( A. 51 C.2 51 B.3 51 D.6 51 )

A [依题意得,球心 O 在底面 ABCD 上的射影是矩形 ABCD 的中心, 因此棱锥 O-ABCD 的高等于 51 ?1 ?2 42-?2 32+22? = 2 , ? ?

1 51 所以棱锥 O-ABCD 的体积等于3×(3×2)× 2 = 51.] 3.(2014· 洛阳统考)如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为 ( )

A.64+32π C.256+64π C

B.64+64π D.256+128π

[依题意,该几何体是一个正四棱柱及一个圆柱的组合体,其中正四棱柱的

底面边长是 8,侧棱长是 4,圆柱的底面半径是 4、高是 4,因此所求几何体的 体积等于π×42×4+82×4=256+64π,选 C.] 4.如图,正方体 ABCD-A′B′C′D′的棱长为 4,动点 E,F 在棱 AB 上,且 EF=2,动点 Q 在棱 D′C′上,则三棱锥 A′-EFQ 的体积 ( A.与点 E,F 位置有关 B.与点 Q 位置有关 C.与点 E,F,Q 位置都有关 D.与点 E,F,Q 位置均无关,是定值 1 ?1 16 ? D [因为 VA′-EFQ=VQ-A′EF=3×?2×2×4?×4= 3 , ? ? 故三棱锥 A′-EFQ 的体积与点 E,F,Q 的位置均无关,是定值.] 二、填空题 5.(2013· 浙江高考)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积 等于________cm3. )

解析

由三视图可知该几何体为如图所示的三棱柱割掉了一个

1 三棱锥.VA1EC1-ABC=VA1B1C1-ABC-VE-A1B1C1=2×3 1 1 ×4×5-3×2×3×4×3 =30-6=24(cm3) 答案 24

6.(2014· 郑州模拟)在三棱锥 A-BCD 中,AB=CD=6,AC=BD=AD=BC=5, 则该三棱锥的外接球的表面积为________. 解析 依题意得,该三棱锥的三组对棱分别相等,因此可将该三棱锥补形成一

个长方体,设该长方体的长、宽、高分别为 a、b、c,且其外接球的半径为 R,

?a2+b2 =62 , 则?b +c =5 , ?c2+a2=52,
得 a2+b2+c2=43,即(2R)2=a2+b2+c2=43, 易知 R 即为该三棱锥的外接球的半径,所以该三棱锥的外接球的表面积为 4π R2=43π. 答案 43π

2

2

2

三、解答题 7.一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示,其正视图、俯视图均为矩形, 侧视图为直角三角形.

(1)请画出该几何体的直观图,并求出它的体积; (2)证明:A1C⊥平面 AB1C1. 解析 (1)几何体的直观图如图所示,四边形 BB1C1C 是

矩形,BB1=CC1= 3,BC=B1C1=1,四边形 AA1C1C 是边长为 3的正方形,且平面 AA1C1C 垂直于底面 BB1C1C, 1 故该几何体是直三棱柱,其体积 V=S△ABC·BB1=2×1 3 × 3× 3=2. (2)证明:由(1)知平面 AA1C1C⊥平面 BB1C1C 且 B1C1⊥CC1, 所以 B1C1⊥平面 ACC1A1.所以 B1C1⊥A1C. 因为四边形 ACC1A1 为正方形,所以 A1C⊥AC1. 而 B1C1∩AC1=C1,所以 A1C⊥平面 AB1C1. 8.(2014· 深圳模拟)如图,平行四边形 ABCD 中,AB⊥BD,AB=2,BD= 2,沿 BD 将△BCD 折起,使二面角 A-BD-C 是大小为锐角 α 的二面角,设 C 在平 面 ABD 上的射影为 O.

(1)当 α 为何值时,三棱锥 C-OAD 的体积最大?最大值为多少? (2)当 AD⊥BC 时,求 α 的大小.

解析

(1)由题知 CO⊥平面 ABD,∴CO⊥BD,

又 BD⊥CD,CO∩CD=C,∴BD⊥平面 COD. ∴BD⊥OD.∴∠ODC=α. 1 1 1 VC-AOD=3S△AOD· OC=3×2·OD·BD·OC 2 2 = 6 ·OD·OC= 6 ·CD·cos α·CD·sin α 2 2 = 3 ·sin 2α≤ 3 , 当且仅当 sin 2α=1,即 α=45°时取等号. 2 ∴当 α=45°时,三棱锥 C-OAD 的体积最大,最大值为 3 . (2)连接 OB, ∵CO⊥平面 ABD,∴CO⊥AD, 又 AD⊥BC,∴AD⊥平面 BOC. ∴AD⊥OB. ∴∠OBD+∠ADB=90°. 故∠OBD=∠DAB,又∠ABD=∠BDO=90°, ∴Rt△ABD∽Rt△BDO.
2 OD BD BD2 ( 2) ∴ BD = AB .∴OD= AB = =1, 2

OD 1 在 Rt△COD 中,cos α=CD=2,得 α=60°.


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