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2008年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题参考答案及评分标准


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2008 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题参考答案及评分标准
一、选择题(本题满分 30 分,每小题 6 分) 1. 如果实数 m,n,x,y 满足 m 2 ? n 2 ? a , x 2 ? y 2 ? b ,其中 a,b 为常数,那 么 mx+ny 的 答:[] A

.
a?b 2









B.

ab

C.

a ?b
2

2

2

D.

a ?b
2

2

2

2. 设 y ? f ( x ) 为指数函数 y ? a x . 在 P(1,1),Q(1,2),M(2,3), N ? , ? 四点中,
?2 4?

?1 1?

函数
y ? f (x)

与 其 反 函 数 y? f

?1

( x)

的 图 像 的 公 共 点 只 可 能 是 点

答:[] A. P B. Q C. M D. N

3. 在如图的表格中,如果每格填上一个数后,每一横行成等差数列,每一纵列 成等比 数 答:[] A. 1 C. 3 B. 2 D. 4 列 , 那 么
1 0.5
x? y? z







2 1
x
y

z

4. 如果 ? A1 B 1 C 1 的三个内角的余弦值分别是 ? A 2 B 2 C 2 的三个内角的正弦值,那么 答:[] A. ? A1 B 1 C 1 与 ? A 2 B 2 C 2 都是锐角三角形 B. ? A1 B 1 C 1 是锐角三角形, ? A 2 B 2 C 2 是钝角三角形

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C. ? A1 B 1 C 1 是钝角三角形, ? A 2 B 2 C 2 是锐角三角形 D. ? A1 B 1 C 1 与 ? A 2 B 2 C 2 都是钝角三角形

5. 设 a,b 是夹角为 30° 的异面直线,则满足条件“ a ? ? , b ? ? ,且 ? ? ? ” 的 答: [ A. 不存在 C. 有且只有两对 B. 有且只有一对 D. 有无数对 平 面
?



?

二、填空题(本题满分 50 分,每小题 10 分) 6. 设集合 A ? ?x x 2 ? ? x ? ? 2 ?和 B ? ?x x ? 2 ? ,其中符号 ? x ? 表示不大于 x 的最大整 数,则 A ? B ? ?? 1, 3 ?

7. 同时投掷三颗骰子,于少有一颗骰子掷出 6 点的概率是 P= 既约 分数).

(结果要求写成

8. 已知点 O 在 ? ABC 内部, OA ? 2 OB ? 2 OC ? 0 . ? ABC 与 ? OCB 的面积之比 为 .
A C

O B

9. 与 圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 外 切 , 且 与 y 轴 相 切 的 动 圆 圆 心 的 轨 迹 方 程 为 .

10. 在 ? ABC 中,若 tanAtanB=tanAtanC+tanctanB,则

a ?b
2

2

c

2

=

.

三、解答题(本题满分 70 分,各小题分别为 15 分、15 分、20 分、20 分) 11. 已知函数 f ( x ) ? ? 2 x 2 ? bx ? c 在 x ? 1 时有最大值 1,0 ? m ? n ,并且 x ? ?m , n ?

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时, f ( x ) 的取值范围为 ? ,

?1 1 ? ? ?n m ?

. 试求 m,n 的值.

12. A、B 为双曲线 (Ⅰ)求证:

x

2

?

y

2

? 1 上的两个动点,满足 OA ? OB ? 0 。

4
1
2

9
? 1
2

为定值;

OA

OB

(Ⅱ)动点 P 在线段 AB 上,满足 OP ? AB ? 0 ,求证:点 P 在定圆上. 13. 如图,平面 M、N 相交于直线 l. A、D 为 l 上两点,射线 DB 在平面 M 内, 射线 DC 在平面 N 内. 已知 ? BDC ? ? ,? BDA ? ? ,? CDA ? ? , ? ,? ,? 都 且 是 锐角. 求二面角 M ? l ? N 的平面角的余弦值(用 ? , ? ,? 的三角函数值表 示). 14. 能否将下列数组中的数填入 3× 的方格表,每个小方格中填一个数,使得每 3 行、每列、两条对角线上的 3 个数的乘积都相等?若能,请给出一种填法;若不 能,请给予证明.(Ⅰ)2,4,6,8,12,18,24,36,48; (Ⅱ)2,4,6,8,12,18,24,36,72. 1解 由柯西不等式 ( mx ? ny ) 2 ? ( m 2 ? n 2 )( x 2 ? y 2 ) ? ab ;或三角换元即可得到
mx ? ny ? ab

,当 m ? n ?

a 2

,x ? y ?
1

b 2

时, mx ? ny ?
1

ab

. 选 B.

2解 能是

1 ? 1 ?2 取a ? ,把坐标代入检验,? ? ? ? 16 4 ? 16 ?
1

1 ? 1 ?4 ,而 ? ? ? 2 ? 16 ?

,∴公共点只可

点 N. 选 D. 3解 第一、二行后两个数分别为 2.5,3 与 1.25,1.5;第三、四、五列中
5 16

的 x ? 0 .5 , y ? 4 解

,z ?

3 16

,则 x ? y ? z ? 1 . 选 A.

两个三角形的内角不能有直角; ? A1 B 1 C 1 的内角余弦都大于零,所以是锐

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角三角形;若 ? A 2 B 2 C 2 是锐角三角形,则不妨设 cos A1 =sin A 2 =cos ?
?? ? ? A1 ? ? 2 ?



cos B 1 =sin B 2 =cos ?

??

? ? A2 ? , ? 2 ?

cos C 1 =sin C 2 =cos ? 则

??

? ? C1 ? ? 2 ?

.

A1 ?

?
2
3? 2

? A 2 , B1 ?

?
2

? B2 ,C1 ?

?
2

? C2,

即 5解 线. b 与

A1 ? B 1 ? C 1 ?

? ( A 2 ? B 2 ? C 2 ) ,矛盾.

选 B.

任作 a 的平面 ? ,可以作无数个. 在 b 上任取一点 M,过 M 作 ? 的垂

垂线确定的平面 ? 垂直于 ? . 选 D. 6 解 ∵ x ? 2 , ? x ? 的值可取 ? 2 , ? 1, 0 ,1 . 当[x]= ? 2 ,则 x 2 ? 0 无解; 当[x]=0,则 x 2 ? 2 无解; 所以 x ? ? 1或 3 . 7解 8解
91 ?5? 考虑对立事件, P ? 1 ? ? ? ? 216 ?6?
3

当[x]= ? 1 ,则 x 2 ? 1 ,∴x= ? 1 ; 当[x]=1,则 x 2 ? 3 ,∴ x ?
3

.

.

由图, ? ABC 与 ? OCB 的底边相同, 高是 5:1. 故面积比是 5:1. 9解 由圆锥曲线的定义,圆心可以是以(2,0)为焦点、 x ? ? 2 为准线的抛物

线上的点; 若切点是原点, 则圆心在 x 轴负半轴上.所以轨迹方程为 y 2 ? 8 x ( x ? 0 ) , 或 y ? 0( x ? 0) . 10 解 切割化弦,已知等式即
sin A sin B sin C ? sin( A ? B ) cos C
2 2

sin A sin B cos A cos B

?

sin A sin C cos A cos C

?

sin B sin C cos B cos C ab cos C c
2


? 1.

亦即

,即
a ?b
2

sin A sin B cos C sin
2

2

C

=1,即

所以,

a ?b ?c
2

2c

2

? 1 ,故

c

2

? 3.

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11 解 分

由题 f ( x ) ? ? 2 ( x ? 1) 2 ? 1 ,

??5

? f ( x ) ? 1 ,?

1 m

? 1 ,即 m ? 1 ,? f ( x ) 在 ?m , n ? 上单调减,

? f ( m ) ? ? 2 ( m ? 1) ? 1 ?
2

1 m

且 f ( n ) ? ? 2 ( n ? 1) 2 ? 1 ?

1 n

.

??

10 分
?m

,n 是方程 f ( x ) ? ? 2 ( x ? 1) 2 ? 1 ?
2

1 x

的两个解,方程即 =0,

( x ? 1)( 2 x ? 2 x ? 1)

解方程,得解为 1,

1? 2

3


1?

1? 2 3

3

.

? 1 ? m ? n ,? m ? 1 , n ?

2

.

??

15 分 12 证 (Ⅰ) 设点 A 的坐标为 ( r cos ? , r sin ? ) , 的坐标为 ( r ? cos ? ?, r ? sin ? ?) , B 则 r ? OA ,
r ? ? OB

,A

2 ? cos 2 ? sin ? ? 在双曲线上,则 r ? ? 4 9 ? 2

? ? ? 1. ? ?

所以 5分

1 r
2

?

cos ?
2

?

sin ?
2

4

9

.

??

由 OA ? OB ? 0 得 OA ? OB ,所以 cos 2 ? ? ? sin 2 ? , cos 2 ? ? sin 2 ? ? . 同理, 所以 10 分 (Ⅱ)由三角形面积公式,得 OP ? AB ? OA ? OB ,所以
1 r?
2

?

cos ? ?
2

?

sin ? ?
2

?

sin ?
2

?

cos ?
2

, ??

4

9

4

9

1 | OA |
2

?

1 | OB |
2

?

1 r
2

?

1 r'
2

?

1 4

?

1 9

?

5 36

.

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2

OP

? AB

2

? OA

2

? OB

2

,即 OP ? ? OA ? OB ? ? OA ? OB . ? ?
2 2 2 2 2

?

?

即 OP

2

? ? 1 ?? ? OA ?
2

2

?

1
2

OB
36 5

? ? ? ? OP ? ?

2

?1 1? ? ? ? ? ? OP ?4 9?

2

? 5 ? ?? ? ?1. ? 36 ?

于是, OP

?

.
6 5 5

即 P 在以 O 为圆心、 15 分

为半径的定圆上.

??

13 解

在平面 M 中,过 A 作 DA 的垂线,

N C

交射线 DB 于 B 点; 在平面 N 中,过 A 作 DA 的垂线, 交射线 DC 于 C 点. 设 DA=1,则
AB ? tan ?

A

D

B M

, DB ?

1 cos ? 1 cos ?



AC ? tan ?

,DC ?



??5

分 并且 ? BAC ? ? 就是二面角 M ? l ? N 平面角. 10 分 在 ? DBC 与 ? ABC 中,利用余弦定理,可得等式
BC
2

??

? cos

1
2

?

?

1 cos
2

?

?

2 cos ? cos ?

cos ? ? tan

2

? ? tan ? ? 2 tan ? tan ? cos ? ,
2

所以,
2 tan ? tan ? cos ? ? tan
2

? ? tan ? ?
2

1 cos
2

?

?

1 cos
2

?

?

2 cos ? cos ?

cos ?

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= 15 分 故得到 cos ? ?

2 (cos ? ? cos ? cos ? ) cos ? cos ?



??

cos ? ? cos ? cos ? sin ? sin ?

.

??20 分 ??

14 解 (Ⅰ) 不能. 5分 因为若每行的积都相等,则 9 个数的积是立方数. 但是

2× 6× 12× 24× 48=21+2+1+3+2+1+3+2+4× 1?1? 2 ?1? 2 ?1 =219·8 不是立方数, 4× 8× 18× 36× 3 3 故不能. (Ⅱ)可以. 15 分 如右表

36 8 6

2 12 72

24
??

18 4

表中每行、每列及对角线的积都是 26·23. 分

? ? 20


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