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黄冈市蕲春一中高一数学同步单元测试(3)


黄冈市蕲春一中高一数学同步单元测试(3)
第四章:三角函数 第三单元三角函数的图象和性质 命题人 黄冈蕲春一中 高级教师刘杰峰 一、选择题: (5*12=60 分) 1.函数 y= 3sin( π ―2x)―cos2x 的最小值为( 3 )

A.― 3―1 B.-1 C.- 3 D.0 2 2.函数 y=2(sin π x-1)的最小正周期与最小值

分别为( ) A.π 与-1 B.π 与-2 C.1 与-1 D.1 与-2 |x| 3.方程 2 =cosx 的实根个数是( ) A.无数个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 4.为了使函数 y=sinω x(ω >0)在区间[0,1]上出现 50 次最大值,则ω 的最小值为( A.98π 197π B. 2 199π C. 2 D.100π

)

π 5.先将函数 y=sin2x 的图象向右平移 个单位,再将所得图象作关于 y 轴的对称变换, 3 所得图象的解析式是( π A.y=sin(-2x+ ) 3 π B.y=sin(-2x― ) 3 2π C.y=sin(-2x+ ) 3 2π D.y=sin(-2x― ) 3 6.函数 y=Asin(ω x+φ )在一个周期上的图象为下图所示.则函数的解析式是( x 2π A.y=2sin( - ) 2 3 x 2π C.y=2sin( + ) 2 3 π A.φ = 2 8.函数 y= π B.φ =kπ + 2 ) C.亦奇亦偶函数 π )上单调递增的是( 2 C.y=|sinx| ) D.y=|cosx| D.非奇非偶函数 x 4π B.y=2sin( + ) 2 3 x π D.y=2sin( - ) 2 3 ) π D.φ =2kπ - 2 )
o -2

)
y
2
2π 3 4π - 3 8π 3

x

7.函数 f(x)=cos(3x+φ )的图象关于原点中心对称的充要条件是(k∈Z)( C.φ =kπ

1+sinx-cosx 的奇偶性是( 1+sinx+cosx B.偶函数

A.奇函数

9.下列函数中,周期为π ,且在(0, A.y=tan|x| B.y=|cotx|

10 .如果 θ 角的终边过点 P(cos

5π 5π 5π 5π + sin , cos - sin ) ,则 θ 的一个可能的值为 12 12 12 12 ( ) 5π C. 3 ) 11π D. 6

π A. 6

5π B. 6

π 3π - 11.函数 f(x)=sinx,x∈[ , ]的反函数 f 1(x)=( 2 2

A.―arcsinx x∈[―1,1] C.π +arcsinx x∈[-1,1]

B.―π ―arcsinx x∈[―1,1] D.π ―arcsinx x∈[―1,1]

π π 2π 12.设函数 f(x)=Asin(ω x+φ ),(A≠0,ω >0,- <φ < )的图象关于直线 x= 对 2 2 3 称,它的周期是π ,则( ) 5π 2π B.f(x)的图象在[ , ]上递减 12 3 5π D.f(x)的一个对称中心是点( ,0) 12 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 A.f(x)的图象过点(0, ) 2 C.f(x)的最大值为 A 题号 答案 二、填空题: (16 分) π 13.函数 y=sin( -2x)的单调递增区间是__________ 4 14.已知 f(x)=sin(x+θ )+ 3cos(x-θ )为偶函数,则 tanθ =___________ 15.已知方程 cos2x+4sinx-a=0 有解,则 a 的取值范围是__________ 16.关于函数 f(x)=cos(2x- ①f(x)的最大值为 2; ②f(x)是以π 为最小正周期的周期函数; π 13π ③f(x)在区间( , )上单调递减; 24 24 π ④将函数 y= 2cos2x 的图象向左平移 个单位后,将与 f(x)的图象重合,其中正确命题的 24 序号是_____ 三、解答题: (74 分) 17. (12 分)已知函数 y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x. x∈R. (1)求函数的最小正周期. (2)函数的图象可由函数 y= 2sin2x 的图象经过怎样的变换得出? π π )+cos(2x+ ),有下列命题: 3 6 1 2 3

18. (12 分) 已知函数 y=3sin3x. π 5π (1)作出函数在 x∈[ , ]上的图象. 6 6 (2)求(1)中函数的图象与直线 y=3 所围成的封闭图形的面积.

5 3 19. (12 分)已知函数 f(x)=5sinxcosx-5 3cos2x+ .(x∈R) 2 (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的单调区间; (3)求 f(x)图象的对称轴,对称中心.

π 20. (12 分)已知 y=Asin(ω x+φ ),(A>0, ω >0)的图象过点 P( ,0)图象上与点 P 最近 12 π 的一个顶点是 Q( ,5). 3 (1)求函数的解析式; (2)指出函数的增区间; (3)求使 y≤0 的 x 的取值范围.

21. (12 分)函数 f(x)=1―2acosx―2a―2sin2x 的最小值为 g(a),(a∈R).求: (1)g(a); 1 (2)若 g(a)= ,求 a 及此时 f(x)的最大值. 2

22. (14 分)关于 x 的方程 8x2-6kx+2k+1=0(k 为常数)的两根能不能是某一直角三角形 的两个锐角的正弦?若能,求出 k 的值;若不能,说明理由.

答案:
1.B 解:y= 3( π 3 1 cos2x― sin2x)―cos2x=sin( ―2x)≥―1. 2 2 6

1-cos2π x 2.D 解:y=2( -1)=―cos2π x―1. 2 2π 197π 197π 1 3.D4.B ∵T= ,∴49 T= ≤1 ? ω ≥ . 4 2 ω 2ω 5. D6. C7. B 解: ∵(x,y)与(―x,―y)关于原点对称, ∴―cos(―3x+φ )=cos(3x+φ ). 和 差化积得 2cosφ ·cos3x=0,∵cos3x 不恒为零,∴cosφ =0 8.D 解:令 1+sinx+cosx≠0 ? sin(x+ ∴x≠2kπ +π 或 x≠2kπ - 9.C π φ =kπ + (k∈R).故选(B) 2

π π 5π π 1 )≠- ?x+ 4 ≠2kπ + 4 或 2kπ - 4 . 4 2

π .k∈Z.∴定义域关于原点不对称.∴选(D). 2

5π 5π 5π π 5π cos -sin 1-tan tan -tan 12 12 12 4 12 π 5π 10.D 解:tanθ = ,= = =tan( - ) 4 12 5π 5π 5π π 5π cos +sin 1+tan 1+tan tan 12 12 12 4 12 π π =tan(- ) ∴θ =kπ - 6 6 5π 5π 5π 5π 又 cos +sin >0,cos -sin <0 12 12 12 12

π ∴θ 为第四象限角,∴θ =2kπ - (k∈z),故选 D. 6 π 3π π π 11.D 解:∵x∈[ , ],x―π ∈[― , ],-y=sin(x-π ) 2 2 2 2 ∴x-π =arcsin(-y), ? y=π ―arcsinx x∈[―1,1]. 2π 4π 4π 12. D 解:T=π .∴ω =2. 点(x,y)关于 x= 的对称点为( ―x,y).代入得:sin[2( 3 3 3 2π π π -x)+φ ]=sin(2x+φ ) ? sin( -2x+φ )=sin(2x+φ ).化积得 2cos( +φ )·sin(2x- )= 3 3 3 π π π 0.∴cos( +φ )=0 ? φ = .∴f(x)=Asin(2x+ ).再用检验法. 3 6 6 3π 7π 13.[kπ + ,kπ + ].k∈Z 8 8 14.- 3 3 解:sin(-x+θ )+ 3cos(―x―θ )=sin(x+θ )+ 3cos(x-θ ) ? 3[cos(x+

θ )―cos(x―θ )]=sin(x+θ )+sin(x―θ ) ? ―2 3sinθ sinX=2sinXcosθ . ∵sinX 不恒为 0.∴tanθ =- 3 . 3 sinx∈[-1,1]

15.[-4,4] 解:a=―(sinx―2)2+5. ∴a∈[-4,4]. 16.①②③

π π π 解:f(x)=2cos(2x― )·cos(― )= 2cos(2x- ).易知①、②、③成立. 12 4 12

π 17.y=sin2x+cos2x+2= 2sin(2x+ )+2. 4 (1)T=π , π (2)将 y= 2sin2x 的图象向左平移 个长度单位,再向上平移 2 个单位长度即得. 8 5π π 18.利用对称性.S=( - )×3=2π . 6 6 π 5 5 3 5 3 19.解:f(x)= sin2x- (1+cos2x)+ =5sin(2x- ). 2 2 2 3 ∴(1)T=π . π π π π 5π 5π (2)令 2kπ ― ≤2x― ≤2kπ + ? 在[kπ - ,kπ + ](k∈Z)上单增, 在[kπ + , k 2 3 2 12 12 12 11 π + π ](k∈Z)上单减. 12 kπ 5π kπ π (3)对称轴为 x= + (k∈z),对称中心为( + ,0)(k∈z). 2 12 2 6 π T π π π 20.解:(1)由过( ,5)知 A=5. = - = , 3 4 3 12 4

π π ∴T=π , ω =2.将 Q( ,5)代入 y=5sin(2x+φ )得φ =- . 3 6 π ∴函数解析式为 y=5sin(2x- ). 6 π π π (2)由 2kπ ― ≤2x― ≤2kπ + . 2 6 2 π π 得增区间为[kπ - ,kπ + ].k∈Z. 6 3 π π (3)5sin(2x- )≤0 ? 2kπ +π ≤2x- ≤2kπ +2π . 6 6

?x∈[kπ + 12 ,kπ +12π ].k∈Z.
a a2 21.解:f(x)=2cos2x―2acosx―2a―1=2(cosx― )2― ―2a―1. 2 2 a (1)当 <-1 即 a<-2 时.g(a)=1 . 2 (此时 cosx=-1). a (此时 cosx= ). 2



13

a a2 当-1≤ ≤1 即-2≤a≤2 时.g(a)=― ―2a―1. 2 2 当 a>2 时,g(a)=2―2a―2a―1=1-4a. (a<-2) ?1. a ∴g(a)=?― 2 ―2a―1 (―2≤a≤2) . ?1-4a (a>2).
2

(此时 cosx=1).

(2)∵g(a)=1.显然 a<-2 和 a>2 不成立.

?―a ―2a―1=1. ? 2 ∴? 2 ?a=-1 或-3(舍). ? ?-2≤a≤2.
1 1 ∴f(x)=2cos2x+2cosx+1=2(cosx+ )2+ . 2 2 ∴当 cosx=1 时,f(x)max=5. 22.解:假设能,且 A、B 为这直角三角形的两锐角,则有 △=36k -32(2k+1)>0.① ? ?sinA+sinB=sinA+cosA=6K>0.② 8 ? 2k+1 ? ?sinAsinB=sinAcosA= 8 >0.③
2

2

??

? ?

9k2―16k―8>0. k>0. 1 k>- . 2

10 ②2-③×2 得:9k2―8k―20=0.k=2 或- .(舍). 9 2k+1 5 1 当 k=2 时.代入③得 sinA·sinB=sinA cosA= sin2A= = . 2 8 8 5 ∴sinA= >1 不成立.故不可能. 4


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