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《向量数乘运算及其几何意义》教学设计


《向量数乘运算及其几何意义》教学设计 教学目标: 1、理解掌握向量数乘运算及其几何意义,数乘运算的运算律,并能熟练运 用定义、运算律进行有关计算。 2、理解掌握向量共线定理及其证明过程,会根据向量共线定理判断两个向 量是否共线。 3、通过向量数乘运算的学习和探究,培养学生的观察、分析、归纳、抽象 思维能力,以及运算能力和逻辑推理能力。 教学重点和难点: 重点:向量数乘运算的意义、运算律,向量共线定理 难点:向量共线定理的探究及其应用。 教学准备: 教师:将教科书中的例 5、6、7 做成投影片。 学生:直尺、圆规等。 1.新课导入 我们知道,位移、力、速度、加速度等都是向量,而时间、质量等都是数量, 这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现,如力与加速度的关系 f=ma,位 移与速度的关系 s=vt.这些公式都是实数与向量间的关系. 师:已知非零向量 ,请同学们作出 + + 和(- )+(- )+(- )向量,并 请同学们指出相加后, 和的长度与方向有什么变化?这些变化与哪些因素有关? 生:首先完成作图 + + 的长度是 的长度的 3 倍,其方向与 的方向相同,(- )+(- )+(- ) 的长度是 长度的 3 倍,其方向与 的方向相反. 师:很好!本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题,(板书课题:向量 数乘运算及其几何意义) 2.探索研究 师:请大家根据上述问题并作一下类比,看看怎样定义实数与向量的积? 生:我想这样规定:实数λ 与向量 的积就是λ ,它还是一个向量. 师: 想法很好. 不过我们要对实数λ 与向量 的乘积的含义作一番解释才行. 实数λ 与向量 的积是一个向量,记作λ (1) |λ |=|λ | | | 的方向与 的方向相同;当λ <0 时,λ 的方向与 的 ,它的长度和方向规定如下: (2)λ >0 时,λ 方向相反; 特别地,当λ =0 时,λ = 类比发现向量数乘的基本运算律: 师:求作向量λ (μ )和(λ μ ) ( 为非零向量)并进行比较,向量λ (μ )与向量(λ μ ) 相等吗?(引导学生从模的大小与方向两个方面进行 比较) 生:同桌探讨,交流,并画图验证 师:讨论,交流总结: 设 λ 、μ 为任意实数,则有: (1)结合律:λ (μ )=(λ μ ) (2)分配律: 第一分配律(λ +μ ) =λ 第二分配律λ ( + )=λ +μ +λ 师:引入向量数乘运算后,我们从“数”意义上对其运算律进行了探讨,那 么进一步从几何意义上做研究,你能发现数乘向量λ (λ ∈R)与原向量 之间 的位置关系吗? 生:画图,探索研究。学生容易根据向量数乘定义得出:λ 师:讨论,交流总结: 对于向量 ( ≠0),如果有一个实数λ 使 =λ 与 共线。 师:若 与 是共线向量,能否得出 =λ ?为什么? 那么由向量数乘的定义可知 与 共线 。 生:可以!因为 与 是共线向量,它们的方向相同或相反. 当 ≠0 时,若 与 是同向,则 = ,这时λ = 若 与 是反向,则 =- ,这时λ =- 当 =0 时, =λ ,这时λ =0 即如果 与 是共线向量,那么存在唯一λ ∈R,使 =λ 师:由此可得向量共线定理: 向量 与非零向量 共线,那么有且仅有一个实数λ ,使得 =λ 例题、练习、练习反馈(投影仪) 3.总结提炼 (1)λ 与 的积还是向量, 与λ 是共线的. (2)一维空间向量的基本定理的内容和证明思路,也是应用该定理解决问 题的思路.该定理主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题. (3)

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