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数学必修二点线面的位置关系


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2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 平面

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【课标要求】 1.了解平面的无限延展性,掌握其画法与表示,培养空间想象 能力.

2.掌握点、线、面之间的位置关系的符号表示. 3.理解平面的基本性质(三个公理),能够用图形、文字、符号 语言进行刻画,明确其作用,培养逻辑推理与合情推理能力.

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【核心扫描】 1.正确理解平面的概念.(难点) 2.能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系.(重 点) 3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理,理解三个公 理的地位与作用.(易混点)

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自学导引 1.平面的概念 (1)几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、海面这样的 一些物体中抽象出来的.几何里的平面是无限延展 的.

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(2)平面的画法 ①水平放置的平面通常画成一个 平行四边形 ,它的锐角通常 画成 45° ,且横边长等于其邻边长的 2倍 ,如图①. ②如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感, 把被遮挡部分用 虚线 画出来.如图②.

(3)平面的表示法 图①的平面可表示为 平面α ,平面 ABCD, 平面AC 或平面 BD.
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想一想:立体几何中的平面与平面几何中的平面图形有什么区 别? 提示 (1)平面图形如三角形、正方形、梯形等,它们有大小之

分;(2)平面是无大小 、厚薄 之分的, 是不可度量 的,无大小, ... .. .... 无面积,它可以无限延展 ,没有边界. .... .....

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2.点、线、面之间的关系 (1)直线在平面内的概念: 如果直线 l 上的 所有点 都在平面 α 内, 就说直线 l 在平面 α 内, 或者说平面 α 经过直线 l. (2)一些文字语言与数学符号的对应关系:

文字语言表达

数学符号表示 文字语言表达 数学符号表示

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点A在直线l上 点A在平面α内 直线l在平面α内

A∈l
A∈α l?α

点A在直线l外 点A在平面α外 直线l在平面α外

A?l
A?α l?α α∩β=l

直线l,m相交于 l∩m= 平面α、β相交于直 点A A 线l

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试一试:一个平面把空间分成几部分?两个平面把空间分成几 部分? 提示 一个平面把空间分成两部分;两个平面相交时,把空间

分成四部分,平行时,把空间分成三部分.

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内容

图形

符号

如果一条直线上
公 的 两点 在一个平面 A∈l,B∈l,且 A∈α,B∈α?

理1 内,那么这条直线在 此平面内

l?α

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公 理2

过不在一条直线上的
三点, 有且只有 一 个平面 如果两个不重合的平

A,B,C三点不共线
?存在唯一的α使 A,B,C∈α P∈α,且 P∈β?α∩β=l,且 P∈l



面有一个公共点,那

理3

么它们有且只有一条
过该点的公共直线

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想一想: “线段 AB 在平面 α 内, 直线 AB 不全在平面 α 内”这 一说法是否正确,为什么? 提示 不正确. ∵线段 AB 在平面 α 内, ∴线段 AB 上的所有点

都在平面 α 内,∴线段上的 A、B 两点一定在平面 α 内, ∴直线 AB 在平面 α 内(公理 1).

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名师点睛 1.平面的概念 “平面”是一个只描述而不定义的原始概念 (像“点”、“直 线”、“集合”等概念一样),常见的桌面、黑板面、平静的水 面等都给我们以平面的形象,几何里的平面就是从这些物体抽 象出来的.但是,几何里的平面是理想的,绝对的平且无大小, 无厚薄,不可度量.它与平面图形的区别在于:平面图形如三 角形、正方形、梯形等有大小,可以度量.

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2.平面的画法及表示 当我们从适当的角度和距离观察桌面或黑板面时,感到它们都 很像平行四边形,因此立体几何中我们通常用平行四边形来表 示平面. 当平面水平放置时, 通常把平行四边形的锐角画成 45° , 横边画成邻边的 2 倍长.如图 1 所示.

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平面通常用希腊字母 α,β,γ 等来表示,如平面 α,平面 β,平 面 γ 等,也可以用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表 示,如图 1 所示的平面可表示为平面 α 或平面 AC 等.今后一 般用 A,B,C,?,表示点:a,b,c?,表示线;α,β,γ,?, 表示平面. 几个平面画在一起, 当一个平面的一部分被另一个平面遮住时, 应把被遮部分的线段画成虚线或不画.如图 2 所示中图(1)表示 平面 β 在平面 α 的上面.图(2)表示平面 α 在平面 β 的前面.这 样看起来立体感强一些.

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3.平面的基本性质 平面的基本性质,即教科书中的三个公理,它们是研究立体几 何的基本理论基础,每个都必须掌握好. 公理 1 的作用: 既可判定直线是否在平面内, 点是否在平面内, 又可用直线检验平面. 公理 2 的作用:一是确定平面,二是证明点、线共面问题. 公理 3 的作用:一它是判断两个平面是否相交的依据.二它可 以判定点在直线上,点是某两个平面的公共点,线是这两个平 面的公共交线,则这点在交线上.
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4.立体几何与集合之间符号语言的差异 我们在立体几何中使用符号语言时,还应明确符号语言在代数 与几何中的差异,首先是运用集合知识了解规定符号的背景, 找出它们的区别与联系: (1)“∈,?,∩”等符号虽来源于集合符号,但在读法上却用 几何语言.例如 ,A∈α 读作“点 A 在平面 α 内”;a?α 读作 “直线 a 在平面 α 内”;α∩β=l 读作“平面 α,β 相交于直线 l”.

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(2)几何符号的用法必须符合有关国家标准的规定,使用时原则 上与集合符号的含义一致,但为了方便起见,个别地方与集合 符号略有差异.例如:不再用 a∩b={A}来表示直线 a,b 相交 于点 A,而简记为 a∩b=A,这里的 A 既是一个点,又可以理 解为只含一个元素(点)的集合.

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题型一 三种语言的转换 【例 1】 用符号语言表示下列语句,并画出图形. (1)三个平面 α、 β、 γ 相交于一点 P, 且平面 α 与平面 β 交于 PA, 平面 α 与平面 γ 交于 PB,平面 β 与平面 γ 交于 PC; (2)平面 ABD 与平面 BDC 相交于 BD,平面 ABC 与平面 ADC 交于 AC. [思路探索] 根据条件,适当确定其中的某一个平面,然后根据 点、线、面的位置关系画图,注意图形的立体感,要将被遮挡 部分用虚线表示.
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(1)符号语言表示: α∩β∩γ=P, α∩β=PA, α∩γ=PB, β∩γ

=PC.用图形表示:(如图所示).

(2)符号语言表示 平面 ABD∩平面 BDC=BD, 平面 ABC∩平面 ADC=AC. 图形表示:(如图所示).

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规律方法

解决立体几何问题首先应过好三大语言关,即“文

字语言、图形语言、符号语言”,能实现这三种语言的相互转 换.文字语言和符号语言在转换的时候,要注意符号语言所代 表的含义,由符号语言作出直观图时,要注意实虚线的标注.

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【变式 1】 根据下列条件,画出图形: 平面 α∩平面 β=AB,直线 CD?α,CD∥AB,E∈CD,直线 EF∩β=F,F?AB. 解 根据条件,画出图形

如图.

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题型二 线共面问题 【例 2】 已知:四条直线 a、b、c、l,且 a∥b∥c,l∩a=A, l∩b=B, l∩c=C.求证:直线 a、b、c 和 l 共面. [思路探索] 本题中直线较多,分别呈现“平行、相交”位置关 系,由公理 2 可知,它们都能确定一个平面,所以证明不同平 面重合即可.

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证明

∵a∥b,∴直线 a 与 b 确定一个平面,设为 α.

∵l∩a=A,l∩b=B, ∴A∈a,B∈b,则 A∈α,B∈α. 而 A∈l,B∈l, ∴由公理 1 可知:l?α.∵b∥c, ∴直线 b 与 c 确定一个平面,设为 β. 同理可知 l?β. ∵平面 α 和平面 β 都包含直线 b 与 l,且 l∩b=B, 又经过两条相交直线,有且只有一个平面, ∴平面 α 与平面 β 重合, ∴直线 a、b、c 和 l 共面.
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规律方法 在证明多线共面时,可用下面的两种方法来证明: (1)纳入法:先由部分直线确定一个平面,再证明其他直线在这 个平面内.确定一个平面的方法有:①直线和直线外一点确定 一个平面,②两条平行线确定一个平面,③两条相交直线确定 一个平面. (2)重合法:先说明一些直线在一个平面内,另一些直线在另一 个平面内,再证明两个平面重合(如本例).

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【变式 2】 过直线 l 外一点 P 引两条直线 PA,PB 和直线 l 分 别相交于 A,B 两点,求证:三条直线 PA,PB,l 共面.

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证明

如图,∵点 P,A,B 不共线,

∴点 P,A,B 确定一个平面 α. ∴P∈α,A∈α,B∈α.∴PA?α,PB?α. 又 A∈l,B∈l,∴l?α,∴PA,PB,l 共面.

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题型三

线共点问题

【例 3】 如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 AB 的 中点,F 为 AA1 的中点.求证:CE、D1F、DA 三线交于一点.

[思路探索] 可先证明两条直线相交于一点,再证明该交点也在 另外一条直线上.

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证明

连接 EF、D1C、A1B,

∵E 为 AB 中点,F 为 AA1 的中点, 1 ∴EF 綉2A1B. 又∵A1B∥D1C,∴EF∥D1C, ∴E、F、D1、C 四点共面. 1 ∵EF= D1C, 2 ∴可设 D1F∩CE=P.

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又 D1F?平面 A1D1DA,CE?平面 ABCD, ∴点 P 为平面 A1D1DA 与平面 ABCD 的公共点. 又∵平面 A1D1DA∩平面 ABCD=DA, ∴据公理 3 可得 P∈DA, 即 CE、D1F、DA 三线交于一点.

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规律方法

证明三线共点常用的方法是先说明两条直线共面且

相交于一点;然后说明这个点在以另一条直线为交线的两个平 面内,即该点在另一条直线上,则可得三线共点.

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【变式 3】 如图,三个平面 α、β、γ 两两相交于三条直线,即 α∩β=c,β∩γ=a,γ∩α=b,若直线 a 和 b 不平行. 求证:a、b、c 三条直线必过同一点.

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证明

∵α∩γ=b,β∩γ=a∴a?γ,b?γ.

由于直线 a 和 b 不平行,∴a、b 必相交. 设 a∩b=P,则 P∈a,P∈b.∵a?β,b?α,∴P∈β,P∈α. 又 α∩β=c,∴P∈c, 即交线 c 经过点 P. ∴a、b、c 三条直线相交于同一点.

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题型四

点共线问题

【例 4】已知△ABC 在平面 α 外, 其三边所在的直线满足 AB∩α =M,BC∩α=N,AC∩α=P,如图所示. 求证:M,N,P 三点共线.

审题指导

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[规范解答] ∵直线 AB∩α=M,∴M∈AB,M∈α.(2 分) 又∵AB?平面 ABC,∴M∈平面 ABC.(4 分) ∴由此可知点 M 是平面 ABC 与 α 的公共点.(6 分) ∴点 M 在平面 ABC 与 α 的交线上.(8 分) 同理可证:N,P 也在平面 ABC 与 α 的交线上.(10 分) 即 M,P,N 三点都在平面 ABC 与 α 的交线上. ∴M,P,N 三点共线.(12 分)

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【题后反思】 证明若干点共线问题的基本方法是: (1)首先找出两个平面的交线,然后证明若干点都是这两个平面 的公共点,根据公理 3 可推知这些点都在交线上,即若干点共 线. (2)选择其中两点确定一条直线,然后证明另外一些点都在这条 直线上.

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【变式 4】 已知 E、F、G、H 分别是空间四边形 ABCD(四条 线段首尾相接,且连接点不在同一平面内,所组成的空间图形 叫空间四边形)各边 AB、AD、CB、CD 上的点,且直线 EF 和 GH 交于点 P,如图.求证:点 B、D、P 在同一条直线上.

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证明 ∵直线 EF∩直线 GH=P,∴P∈直线 EF. 而 EF?平面 ABD, ∴P∈平面 ABD.同理,P∈平面 CBD, 即点 P 是平面 ABD 和平面 CBD 的公共点. 显然,点 B、D 也是平面 ABD 和平面 CBD 的公共点, 由公理 3 知, 点 B、 D、 P 都在平面 ABD 和平面 CBD 的交线上. 即点 B、D、P 在同一条直线上.

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方法技巧

分类讨论思想在立体几何中的应用

分类讨论是一种重要的数学思想,它适用于从整体上难以解决 的数学问题,运用分类讨论来解决问题时,必须遵循不重不漏 和最简的原则,证明线共面时,要对所有情形逐一讨论,最后 归纳总结得出结论. 【示例】 两两相交的四条直线 a, b, c, d 能够确定几个平面? [思路分析] 分四线共点,三线共点,无三线共点的三种情形讨 论.

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(1)当四条直线 a,b,c,d 相交于一点时,能确定 1 个平

面或 6 个平面. (2)当四条直线 a,b,c,d 不共点时,有两种情形: ①当四条直线中有三条相交于一点时,不妨设 a,b,c 相交于 一点 A,但 A?d,如图(1)所示:

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∴直线 d 和 A 确定一个平面 α. 又设直线 d 与 a,b,c 分别相交于 E,F,G, 则 A,E,F,G∈α,∵A,E∈α,A,E∈a,∴a?α. 同理可证 b?α,c?α. ∴a,b,c,d 在同一平面 α 内. ②当四条直线中任何三条都不共点时,如图(2)所示: ∵这四条直线两两相交,则设相交直线 a,b 确定一个平面 α. 设直线 c 与 a,b 分别交于点 H,K,则 H,K∈α. 又 H,K∈c,∴c?α.

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同理可证 d?α. ∴a,b,c,d 四条直线在同一平面 α 内. 综上可知:当四条直线 a,b,c,d 两两相交共点时,能确定 1 个或 6 个平面. 当四条直线 a,b,c,d 两两相交不共点时,能确定一个平面. 方法点评 本题利用了分类讨论的思想, 在分类时要确定分类标 准,做到不重不漏.

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