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2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习课件第八章 8.3


数学

北(理)

§8.3 平行关系
第八章 立体几何

基础知识·自主学习
要点梳理
1.直线与平面平行的判定与性质 判定 定义 图形 定理 性质
知识回顾 理清教材

条件 结论

a∩α=?
a∥α

a α,b α, a∥b
b∥α

a∥α
a∩α=?

a∥α,a β, α∩β=b
a∥b

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
2.面面平行的判定与性质 判定 定义 图形
a β,b β,
α∥β , α∩γ = a,β∩γ=b

知识回顾 理清教材

定理

性质

条件 结论

α∩β=?

a∩b = P , a∥α,b∥α

α∥β,a β a∥α

α∥β

α∥β

a∥b

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5

答案
(1)× (2) √ (3) × (5) √ (6) ×

解析

B C

2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 直线与平面平行的判定与性质
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 (2012· 山东) 如图,几何体 E- ABCD 是四棱锥, △ABD 为正三角形,CB=CD, EC⊥BD. (1)求证:BE=DE; (2) 若∠BCD = 120° , M 为线段 AE 的中点,求证: DM∥平面 BEC.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 直线与平面平行的判定与性质
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 (2012· 山东) 如图,几何体 E- ABCD 是四棱锥, EC⊥BD. (1)求证:BE=DE; (2) 若∠BCD = 120° , M 为线段 AE 的中点,求证: DM∥平面 BEC.

(1) 利用等腰 △EDB 底边中线和

△ABD 为正三角形,CB=CD, 高重合的性质证明;

(2)根据线面平行的判定或两个平 面平行的性质证明线面平行.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 直线与平面平行的判定与性质
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 (2012· 山东) 如图,几何体 E- ABCD 是四棱锥, △ABD 为正三角形,CB=CD, EC⊥BD. (1)求证:BE=DE;

证明 (1)如图, 取 BD 的中点 O,
连接 CO,EO.

由于 CB=CD,所以 CO⊥BD. 又 EC⊥BD,EC∩CO=C,

CO,EC 平面 EOC,

(2) 若∠BCD = 120° , M 为线段 所以 BD⊥平面 EOC, AE 的中点,求证: DM∥平面 因此 BD⊥EO. BEC. 又 O 为 BD 的中点,

所以 BE=DE.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 直线与平面平行的判定与性质
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 (2012· 山东) 如图,几何体 E- ABCD 是四棱锥,

(2)方法一 如图, 取 AB 的中点 N, 连接 DM,

DN,MN. △ABD 为正三角形,CB=CD, 因为 M 是 AE 的中点, EC⊥BD. 所以 MN∥BE.

(1)求证:BE=DE;

又 MN

平面 BEC,BE 平面 BEC,

(2) 若∠BCD = 120° , M 为线段 所以 MN∥平面 BEC. AE 的中点,求证: DM∥平面 又因为△ABD 为正三角形, BEC.
所以∠BDN=30° . 又 CB=CD,∠BCD=120° ,因
此∠CBD=30° . 所以 DN∥BC.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 直线与平面平行的判定与性质
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 (2012· 山东)

又 DN 平面 BEC,BC 平面 BEC, 如图,几何体 E- 所以 DN∥平面 BEC. ABCD 是四棱锥, 又 MN∩DN=N, △ABD 为正三角形,CB=CD, 所以平面 DMN∥平面 BEC. 又 DM 平面 DMN, EC⊥BD. 所以 DM∥平面 BEC. (1)求证:BE=DE; (2) 若∠BCD = 120° , M 为线段 方法二 如图, 延长 AD,BC 交于点 F, AE 的中点,求证: DM∥平面 连接 EF. BEC. 因为 CB=CD,∠BCD=120° ,
所以∠CBD=30° .
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 直线与平面平行的判定与性质
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 (2012· 山东) 如图,几何体 E-

因为△ABD 为正三角形,

所以∠BAD=60° ,∠ABC=90° , ABCD 是四棱锥, 1 因为∠AFB=30° , 所以 AB= AF. 2 △ABD 为正三角形,CB=CD, 又 AB=AD, EC⊥BD. 所以 D 为线段 AF 的中点. (1)求证:BE=DE; 连接 DM,由于点 M 是线段 AE 的 (2) 若∠BCD = 120° , M 为线段 中点, AE 的中点,求证: DM∥平面 因此 DM∥EF. BEC. 又 DM 平面 BEC,EF 平面 BEC,
所以 DM∥平面 BEC.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 直线与平面平行的判定与性质
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 (2012· 山东) 如图,几何体 E- ABCD 是四棱锥,

判断或证明线面平行的常用方法: (1) 利 用 线 面 平 行 的 定 义 ( 无 公 共

△ABD 为正三角形,CB=CD, 点);(2)利用线面平行的判定定理(a EC⊥BD. α,b α,a∥b?a∥α);(3)利用面 (1)求证:BE=DE;

面 平 行 的 性 质 定 理 (α∥β , a α ?

(2) 若∠BCD = 120° , M 为线段 a∥β) ; (4) 利 用 面 面 平 行 的 性 质 AE 的中点,求证: DM∥平面 (α∥β,a β,a∥α?a∥β). BEC.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E,H 分别为棱 A1B1,D1C1 上的点,且 EH∥A1D1, 过 EH 的平面与棱 BB1,CC1 相交,交点分别为 F, G,求证:FG∥平面 ADD1A1.
证明 因为 EH∥A1D1,A1D1∥B1C1,

EH 平面 BCC1B1,B1C1 平面 BCC1B1,
所以 EH∥平面 BCC1B1.

又平面 FGHE∩平面 BCC1B1=FG, 所以 EH∥FG,即 FG∥A1D1. 又 FG 平面 ADD1A1,A1D1 平面 ADD1A1,
所以 FG∥平面 ADD1A1.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

平面与平面平行的判定与性质
如图,在三
思维启迪 解析 思维升华

棱柱 ABC—A1B1C1 中,E,F,G,H 分 别是 AB,AC,A1B1, A1C1 的中点,求证: (1)B,C,H,G 四点共面; (2)平面 EFA1∥平面 BCHG.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

平面与平面平行的判定与性质
如图,在三
思维启迪 解析 思维升华

棱柱 ABC—A1B1C1 中,E,F,G,H 分 别是 AB,AC,A1B1, A1C1 的中点,求证: (1)B,C,H,G 四点共面; (2)平面 EFA1∥平面 BCHG.

要证四点共面, 只需证 GH∥BC; 要证面面平行,可证一个平面内 的两条相交直线和另一个平面平 行.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

平面与平面平行的判定与性质
如图,在三
思维启迪 解析 思维升华

棱柱 ABC—A1B1C1 中,E,F,G,H 分 别是 AB,AC,A1B1, A1C1 的中点,求证: (1)B,C,H,G 四点共面; (2)平面 EFA1∥平面 BCHG.

证明

(1)∵GH 是△A1B1C1 的中位

线,∴GH∥B1C1.
又∵B1C1∥BC,∴GH∥BC,

∴B,C,H,G 四点共面.
(2)∵E、F 分别为 AB、AC 的中点,

∴EF∥BC,

∵EF

平 面 BCHG , BC 平 面

BCHG,
∴EF∥平面 BCHG.∵A1G 綊 EB,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

平面与平面平行的判定与性质
如图,在三
思维启迪 解析 思维升华

棱柱 ABC—A1B1C1 中,E,F,G,H 分 别是 AB,AC,A1B1, A1C1 的中点,求证: (1)B,C,H,G 四点共面; (2)平面 EFA1∥平面 BCHG.

∴四边形 A1EBG 是平行四边形,

∴A1E∥GB.
∵A1E BCHG. 平 面 BCHG , GB 平 面

∴A1E∥平面 BCHG.
∵A1E∩EF=E,

∴平面 EFA1∥平面 BCHG.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

平面与平面平行的判定与性质
如图,在三
思维启迪 解析 思维升华 证明面面平行的方法:

棱柱 ABC—A1B1C1 中,E,F,G,H 分 别是 AB,AC,A1B1, A1C1 的中点,求证: (1)B,C,H,G 四点共面; (2)平面 EFA1∥平面 BCHG.

(1)面面平行的定义;

(2)面面平行的判定定理:如果一个 平面内有两条相交直线都平行于另 一个平面,那么这两个平面平行; (3)利用垂直于同一条直线的两个平
面平行; (4) 两 个 平 面 同 时 平 行于 第 三 个 平 面,那么这两个平面平行; (5) 利 用 “ 线 线 平 行 ” 、 “ 线 面 平 行”、“面面平行”的相互转化.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 如图, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, S 是 B1D1 的中点,E、F、G 分别是 BC、DC、SC 的中点,求证: (1)直线 EG∥平面 BDD1B1; (2)平面 EFG∥平面 BDD1B1.
证明 (1)如图,连接 SB, ∵E、G 分别是 BC、SC 的中点,∴EG∥SB. 又∵SB 平面 BDD1B1,EG 平面 BDD1B1, ∴直线 EG∥平面 BDD1B1. (2)连接 SD,∵F、G 分别是 DC、SC 的中点,∴FG∥SD.
又∵SD 平面 BDD1B1,FG 平面 BDD1B1, ∴FG∥平面 BDD1B1,且 EG 平面 EFG,FG 平面 EFG,EG∩FG=G, ∴平面 EFG∥平面 BDD1B1.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

平行关系的综合应用
如图所示,在四面体
思维启迪 解析 思维升华

ABCD 中, 截面 EFGH 平行于对 棱 AB 和 CD, 试问截面在什么位 置时其截面面积最大?

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

平行关系的综合应用
如图所示,在四面体
思维启迪 解析 思维升华

ABCD 中, 截面 EFGH 平行于对 棱 AB 和 CD, 试问截面在什么位 置时其截面面积最大?

利用线面平行的性质可以得到 线线平行,可以先确定截面形 状,再建立目标函数求最值.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

平行关系的综合应用
如图所示,在四面体
思维启迪 解析 思维升华

ABCD 中, 截面 EFGH 平行于对 解 ∵AB∥平面 EFGH, 棱 AB 和 CD, 试问截面在什么位 平面 EFGH 与平面 ABC 和平面 ABD 置时其截面面积最大?
分别交于 FG、EH.

∴AB∥FG,AB∥EH,
∴FG∥EH,同理可证 EF∥GH,

∴截面 EFGH 是平行四边形.
设 AB=a,CD=b,∠FGH=α (α 即为异面直线 AB 和 CD 所成的角 或其补角).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

平行关系的综合应用
如图所示,在四面体
思维启迪 解析 思维升华

ABCD 中, 截面 EFGH 平行于对 又设 FG=x,GH=y, x CG 棱 AB 和 CD, 试问截面在什么位 则由平面几何知识可得 = , a BC 置时其截面面积最大? y BG x y b=BC ,两式相加得a+b=1, b 即 y=a(a-x), ∴S?EFGH=FG· GH· sin α
b bsin α =x· (a-x)· sin α= a x(a-x). a· ∵x>0,a-x>0 且 x+(a-x)=a 为 定值,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

平行关系的综合应用
如图所示,在四面体
思维启迪 解析 思维升华

ABCD 中, 截面 EFGH 平行于对 ∴当且仅当 x=a-x 时, 棱 AB 和 CD, 试问截面在什么位 bsin α absin α x(a-x)= , a 4 置时其截面面积最大? a b 此时 x= ,y= . 2 2
即当截面 EFGH 的顶点 E、F、G、 H 为棱 AD、AC、BC、BD 的中点时 截面面积最大.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

平行关系的综合应用
如图所示,在四面体
思维启迪 解析 思维升华

ABCD 中, 截面 EFGH 平行于对

可以实现 棱 AB 和 CD, 试问截面在什么位 利用线面平行的性质,
置时其截面面积最大?

与线线平行的转化, 尤其在截面 图的画法中, 常用来确定交线的 位置, 对于最值问题, 常用函数 思想来解决.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 如图所示,四棱锥 P-ABCD 的底面是边 长为 a 的正方形,侧棱 PA⊥底面 ABCD,在侧面 PBC 6 内,有 BE⊥PC 于 E,且 BE= a,试在 AB 上找一 3 点 F,使 EF∥平面 PAD.

解 在平面 PCD 内,过 E 作 EG∥CD 交 PD 于 G,
连接 AG,在 AB 上取点 F,使 AF=EG,
∵EG∥CD∥AF,EG=AF,
∴四边形 FEGA 为平行四边形,∴FE∥AG.

又 AG 平面 PAD,FE

平面 PAD,

∴EF∥平面 PAD.
∴F 即为所求的点.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 如图所示,四棱锥 P-ABCD 的底面是边 长为 a 的正方形,侧棱 PA⊥底面 ABCD,在侧面 PBC 6 内,有 BE⊥PC 于 E,且 BE= a,试在 AB 上找一 3 点 F,使 EF∥平面 PAD.

又 PA⊥面 ABCD,∴PA⊥BC,
又 BC⊥AB,∴BC⊥面 PAB.∴PB⊥BC.

∴PC2=BC2+PB2=BC2+AB2+PA2.
设 PA=x 则 PC= 2a2+x2,

6 由 PB· BC=BE· PC 得: a +x · a= 2a +x ·3 a,
2 2 2 2

∴x=a,即 PA=a,∴PC= 3a.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 如图所示,四棱锥 P-ABCD 的底面是边 长为 a 的正方形,侧棱 PA⊥底面 ABCD,在侧面 PBC 6 内,有 BE⊥PC 于 E,且 BE= a,试在 AB 上找一 3 点 F,使 EF∥平面 PAD.

又 CE=

a2-?

6 2 3 a? = a, 3 3

PE 2 GE PE 2 ∴PC=3,∴CD=PC=3,
2 2 2 即 GE=3CD=3a,∴AF=3a.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板系列7 立体几何中的探索性问题
典例:(12 分)如图,在四面体 PABC 中,PC⊥AB,PA⊥BC,点 D, E,F,G 分别是棱 AP,AC,BC,PB 的中点. (1)求证:DE∥平面 BCP; (2)求证:四边形 DEFG 为矩形; (3)是否存在点 Q,到四面体 PABC 六条棱的中点的距离相等?说明理由.

思 维 启 迪

规 范 解 答

答 题 模 板

温 馨 提 醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板系列7 立体几何中的探索性问题
典例:(12 分)如图,在四面体 PABC 中,PC⊥AB,PA⊥BC,点 D, E,F,G 分别是棱 AP,AC,BC,PB 的中点. (1)求证:DE∥平面 BCP; (2)求证:四边形 DEFG 为矩形; (3)是否存在点 Q,到四面体 PABC 六条棱的中点的距离相等?说明理由.

思 维 启 迪

规 范 解 答

答 题 模 板

温 馨 提 醒

(1)利用 DE∥PC 证明线面平行; (2)利用平行关系和已知 PC⊥AB 证明 DE⊥DG; (3)Q 应为 EG 中点.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板系列7 立体几何中的探索性问题
典例:(12 分)如图,在四面体 PABC 中,PC⊥AB,PA⊥BC,点 D, E,F,G 分别是棱 AP,AC,BC,PB 的中点. (1)求证:DE∥平面 BCP; (2)求证:四边形 DEFG 为矩形; (3)是否存在点 Q,到四面体 PABC 六条棱的中点的距离相等?说明理由.

思 维 启 迪
(1)证明
(2)证明

规 范 解 答

答 题 模 板

温 馨 提 醒

因为 D,E 分别是 AP,AC 的中点, 所以 DE∥PC.

又因为 DE

平面 BCP,

所以 DE∥平面 BCP.

3分

因为 D,E,F,G 分别为 AP,AC,BC,PB 的中点,

所以 DE∥PC∥FG,DG∥AB∥EF. 所以四边形 DEFG 为平行四边形.

又因为 PC⊥AB,

所以 DE⊥DG.

所以四边形 DEFG 为矩形.

7分

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板系列7 立体几何中的探索性问题
典例:(12 分)如图,在四面体 PABC 中,PC⊥AB,PA⊥BC,点 D, E,F,G 分别是棱 AP,AC,BC,PB 的中点. (1)求证:DE∥平面 BCP; (2)求证:四边形 DEFG 为矩形; (3)是否存在点 Q,到四面体 PABC 六条棱的中点的距离相等?说明理由.

思 维 启 迪
(3)解

规 范 解 答

答 题 模 板
8分

温 馨 提 醒

存在点 Q 满足条件,理由如下:

1 由(2)知,DF∩EG=Q,且 QD=QE=QF=QG=2EG. 分别取 PC,AB 的中点 M,N,连接 ME,EN,NG,MG,MN.

连接 DF,EG,设 Q 为 EG 的中点,

与(2)同理,可证四边形 MENG 为矩形,其对角线交点为 EG 的中点 Q, 1 且 QM=QN= EG, 所以 Q 为满足条件的点. 12分 2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板系列7 立体几何中的探索性问题
典例:(12 分)如图,在四面体 PABC 中,PC⊥AB,PA⊥BC,点 D, E,F,G 分别是棱 AP,AC,BC,PB 的中点. (1)求证:DE∥平面 BCP; (2)求证:四边形 DEFG 为矩形; (3)是否存在点 Q,到四面体 PABC 六条棱的中点的距离相等?说明理由.

思 维 启 迪

规 范 解 答

答 题 模 板

温 馨 提 醒

解决立体几何中的探索性问题的步骤: 第一步:写出探求的最后结论. 第二步:证明探求结论的正确性. 第三步:给出明确答案. 第四步:反思回顾,查看关键点、易错点和答题规范.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板系列7 立体几何中的探索性问题
典例:(12 分)如图,在四面体 PABC 中,PC⊥AB,PA⊥BC,点 D, E,F,G 分别是棱 AP,AC,BC,PB 的中点. (1)求证:DE∥平面 BCP; (2)求证:四边形 DEFG 为矩形; (3)是否存在点 Q,到四面体 PABC 六条棱的中点的距离相等?说明理由.

思 维 启 迪

规 范 解 答

答 题 模 板

温 馨 提 醒

(1)立体几何中的探索性问题主要是对平行、 垂直关系的探究, 对条件和结论 不完备的开放性问题的探究,解决这类问题一般根据探索性问题的设问,假 设其存在并探索出结论,然后在这个假设下进行推理论证,若得到合乎情理 的结论就肯定假设,若得到矛盾就否定假设.
(2) 这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤:从结论出发“要 使??成立”,“只需使??成立”.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高
1.平行问题的转化关系

方 法 与 技 巧

2.直线与平面平行的主要判定方法 (1)定义法; (2)判定定理; (3)面与面平行的性质.
3.平面与平面平行的主要判定方法 (1)定义法;(2)判定定理;(3)推论; (4)a⊥α,a⊥β?α∥β.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高
1.在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否 则,会出现错误.

失 误 与 防 范

2.在解决线面、面面平行的判定时,一般遵循从“低 维”到“高维”的转化,即从“线线平行”到“线 面平行”,再到“面面平行”;而在应用性质定理 时,其顺序恰好相反,但也要注意,转化的方向总 是由题目的具体条件而定, 决不可过于“模式化”.
3.解题中注意符号语言的规范应用.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

10

1.若直线 a 平行于平面 α,则下列结论错误的是 A.a 平行于 α 内的所有直线 B.α 内有无数条直线与 a 平行 C.直线 a 上的点到平面 α 的距离相等 D.α 内存在无数条直线与 a 成 90° 角

( A )

解析 若直线 a 平行于平面 α,则 α 内既存在无数条直线与 a 平行, 也存在无数条直线与 a 异面且垂直, 所以 A 不正确, B、D 正确.
又夹在相互平行的线与平面间的平行线段相等,所以 C 正 确.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

2.若直线 m 平面 α,则条件甲:“直线 l∥α”是条件乙: “l∥m”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ( D )

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

3.已知 a,b 是两条不重合的直线,α,β 是两个不重合的平面, 则下列命题中正确的是 A.a∥b,b α,则 a∥α B.a,b α,a∥β,b∥β,则 α∥β C.a⊥α,b∥α,则 a⊥b D.当 a α,且 b α 时,若 b∥α,则 a∥b ( C )

解析 A 选项是易错项,由 a∥b,b α,也可能推出 a α;
B 中的直线 a,b 不一定相交,平面 α,β 也可能相交; C 正确; D 中的直线 a,b 也可能异面.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

4.在空间四边形 ABCD 中,E,F 分别为 AB,AD 上的点, 且 AE∶EB=AF∶FD=1∶4,又 H,G 分别为 BC,CD 的中点,则 ( )

A.BD∥平面 EFG,且四边形 EFGH 是平行四边形 B.EF∥平面 BCD,且四边形 EFGH 是梯形 C.HG∥平面 ABD,且四边形 EFGH 是平行四边形 D.EH∥平面 ADC,且四边形 EFGH 是梯形

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

1 解析 如图,由题意得,EF∥BD,且 EF= BD. 5 1 HG∥BD,且 HG=2BD.
∴EF∥HG,且 EF≠HG. ∴四边形 EFGH 是梯形. 又 EF∥平面 BCD,而 EH 与平面 ADC 不平行. 故选 B.

答案 B
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

5.下列四个正方体图形中,A,B 为正方体的两个顶点,M,N, P 分别为其所在棱的中点,能得出 AB∥平面 MNP 的图形的 序号是 ( )

A.①③
基础知识

B.①④
题型分类

C.②③
思想方法

D.②④
练出高分

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

解析 ①中易知 NP∥AA′,MN∥A′B, ∴平面 MNP∥平面 AA′B 可得出 AB∥平面 MNP(如图).

④中,NP∥AB,能得出 AB∥平面 MNP. 答案 B
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6.过三棱柱 ABC—A1B1C1 任意两条棱的中点作直线,其中与平

6 面 ABB1A1 平行的直线有________ 条.

解析 E、F、G、H 分别是 A1C1、B1C1、BC、AC 的中 点,

则与平面 ABB1A1 平行的直线有 EF,GH,FG,EH,EG, FH 共 6 条.

基础知识

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7.如图所示,ABCD—A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方 体, M、 N 分别是下底面的棱 A1B1、 B1C1 的中点, a P 是上底面的棱 AD 上的一点, AP= , 过 P、 M、 3 N 的平面交上底面于 PQ,Q 在 CD 上,则 PQ=
2 2 a ________. 3

解析 ∵平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1,∴MN∥PQ.
a ∵M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点,AP=3, a 2a 2 2 ∴CQ=3,从而 DP=DQ= 3 ,∴PQ= 3 a.
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8.在四面体 ABCD 中,截面 PQMN 是正方形,则

③ 在下列结论中,错误的为________ .
①AC⊥BD; ③AC=BD;
解析

②AC∥截面 PQMN; ④异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45° .

∵PQMN 是正方形, ∴MN∥QP, 则 MN∥平面 ABC,

由线面平行的性质知 MN∥AC,则 AC∥截面 PQMN,

同理可得 MQ∥BD, 又 MN⊥QM, 则 AC⊥BD, 故①②正确.
又∵BD∥MQ,∴异面直线 PM 与 BD 所成的角即为∠PMQ =45° ,故④正确.
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专项基础训练
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9.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=AC= 5,BB1=BC=6,D,E 分别是 AA1 和 B1C 的中 点. (1)求证:DE∥平面 ABC; (2)求三棱锥 E-BCD 的体积.

(1)证明 取 BC 中点 G,连接 AG,EG.
因为 E 是 B1C 的中点, 1 所以 EG∥BB1,且 EG= BB1. 2

由直棱柱知, AA1 綊 BB1, 而 D 是 AA1 的中点, 所以 EG 綊 AD,
所以四边形 EGAD 是平行四边形.所以 ED∥AG.
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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

9.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=AC= 5,BB1=BC=6,D,E 分别是 AA1 和 B1C 的中 点. (1)求证:DE∥平面 ABC; (2)求三棱锥 E-BCD 的体积.
又 DE (2)解 平面 ABC,AG 平面 ABC, 所以 DE∥平面 ABC. 因为 AD∥BB1,所以 AD∥平面 BCE,

所以 VE-BCD=VD-BEC=VA-BCE=VE-ABC,

由(1)知,DE∥平面 ABC. 1 1 1 所以 VE-ABC=VD-ABC=3AD· AG=6×3×6×4=12. 2BC·
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专项基础训练
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10.如图 E、F、G、H 分别是正方体 ABCD- A1B1C1D1 的棱 BC、 CC1、 C1D1、 AA1 的中点. 求 证: (1)EG∥平面 BB1D1D; (2)平面 BDF∥平面 B1D1H.
证明 (1)取 B1D1 的中点 O,连接 GO,OB, 易证四边形 BEGO 为平行四边形,故 OB∥GE, 由线面平行的判定定理即可证 EG∥平面 BB1D1D.

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专项基础训练
5
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10.如图 E、F、G、H 分别是正方体 ABCD- A1B1C1D1 的棱 BC、 CC1、 C1D1、 AA1 的中点. 求 证: (1)EG∥平面 BB1D1D; (2)平面 BDF∥平面 B1D1H.
(2)由题意可知 BD∥B1D1. 如图,连接 HB、D1F, 易证四边形 HBFD1 是平行四边形, 故 HD1∥BF.
又 B1D1∩HD1=D1,BD∩BF=B,

所以平面 BDF∥平面 B1D1H.
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1

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专项能力提升
3 4 5

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专项能力提升
3 4 5

1.设 m,n 是平面 α 内的两条不同直线;l1,l2 是平面 β 内的两 条相交直线,则 α∥β 的一个充分而不必要条件是 A.m∥β 且 l1∥α C.m∥β 且 n∥β B.m∥l1 且 n∥l2 D.m∥β 且 n∥l2 ( B )

解析 对于选项 A,不合题意; 对于选项 B, 由于 l1 与 l2 是相交直线, 而且由 l1∥m 可得 l1∥α,
同理可得 l2∥α,故可得 α∥β,充分性成立,而由 α∥β 不一 定能得到 l1∥m, 它们也可以异面, 故必要性不成立, 故选 B; 对于选项 C,由于 m,n 不一定相交,故是必要非充分条件;

对于选项 D,由于 n∥l2 可转化为 n∥β,同选项 C,故不符 合题意.综上选 B.
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1

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2

专项能力提升
3 4 5

2.已知平面 α∥平面 β,P 是 α、β 外一点,过点 P 的直线 m 与 α、β 分别交于 A、C,过点 P 的直线 n 与 α、β 分别交于 B、

24 24 或 5 . D 且 PA=6,AC=9,PD=8,则 BD 的长为________
解析 根据题意可得到以下如图两种情况:

24 可求出 BD 的长分别为 5 或 24.
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1

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2

专项能力提升
3 4 5

3.空间四边形 ABCD 的两条对棱 AC、BD 的长 分别为 5 和 4,则平行于两条对棱的截面四 边形 EFGH 在平移过程中, 周长的取值范围 (8,10) . 是________

DH GH AH EH 解析 设 DA = AC =k,∴DA=BD=1-k,
∴GH=5k,EH=4(1-k),

∴周长=8+2k. 又∵0<k<1,∴周长的范围为(8,10).
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1

B组
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专项能力提升
3 4 5

4.平面 α 内有△ABC,AB=5,BC=8,AC=7, 梯形 BCDE 的底 DE=2, 过 EB 的中点 B1 的平 面 β∥α,若 β 分别交 EA、DC 于 A1、C1,求 △A1B1C1 的面积.

解 ∵α∥β,∴A1B1∥AB,B1C1∥BC, 又因∠A1B1C1 与∠ABC 同向.
52+82-72 1 又∵cos∠ABC= =2, 2×5×8 ∴∠ABC=60° =∠A1B1C1.

∴∠A1B1C1=∠ABC.

又∵B1 为 EB 的中点,∴B1A1 是△EAB 的中位线,
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1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

4.平面 α 内有△ABC,AB=5,BC=8,AC=7, 梯形 BCDE 的底 DE=2, 过 EB 的中点 B1 的平 面 β∥α,若 β 分别交 EA、DC 于 A1、C1,求 △A1B1C1 的面积.
1 5 ∴B1A1= AB= , 2 2 同理知 B1C1 为梯形 BCDE 的中位线, 1 ∴B1C1= (BC+DE)=5. 2 1 15 3 25 S 则 ?A1B1C1 = A1B1· B1C1· sin 60° = ·· 5· = 3. 2 22 2 8 25 故△A1B1C1 的面积为 8 3.
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3 4 5 R

5.如图,四棱锥 P—ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,底面 ABCD 为矩形,PD=DC=4, AD=2,E 为 PC 的中点. (1)求三棱锥 A—PDE 的体积; (2)AC 边上是否存在一点 M,使得 PA∥平面 EDM?若 存在,求出 AM 的长;若不存在,请说明理由.

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(1)因为 PD⊥平面 ABCD,所以 PD⊥AD.

又因 ABCD 是矩形,所以 AD⊥CD. 因 PD∩CD=D,所以 AD⊥平面 PCD,
所以 AD 是三棱锥 A—PDE 的高. 因为 E 为 PC 的中点,且 PD=DC=4,
? 1 1 ?1 所以 S△PDE=2S△PDC=2×?2×4×4?=4. ? ?

1 1 8 又 AD=2,所以 VA—PDE=3AD· S△PDE=3×2×4=3.
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1

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专项能力提升
3 4 5 R

(2)取 AC 中点 M,连接 EM,DM,
因为 E 为 PC 的中点,M 是 AC 的中点, 所以 EM∥PA.

又因为 EM 平面 EDM,PA 平面 EDM, 所以 PA∥平面 EDM.
1 所以 AM=2AC= 5.
即在 AC 边上存在一点 M,使得 PA∥平面 EDM,AM 的长为 5.
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