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陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第三章 用数形结合法解一元二次不等式要点解读素材 北师大版必修5


一元二次不等式解法的启示 ——数形结合解不等式
相信同学们都熟知,在教材中有一个图表,这个图表深刻地揭示了:一元二次不等式 的解集与一元二次方程的根及一元二次函数的图像三者的密切关系。 对这个图表, 很多老师 可能就是要求同学们熟记其中的结论而没有更多的指导, 因此同学们也就机械地进行硬背这 个图表的结论。 然而没有理解又怎么能记得牢固呢?也很少同学会从这种利用二次方程的根 及二次函数的图像来解一元二次不等式的方法中得到什么启示。 我认为在这个图表中,我们的重点应该是看二次函数的图像:在图(1)中函数 y 的图像被 x 轴分成两部分:在 x 轴上方即 y ? 0 对应着 x ? x1 或 x ? x2 ,在 x 轴下方 即 y ? 0 对应着 x1 ? x ? x2 ;因此由图像直观地有一元二次不等式( a ? 0 ) x1 O x2 x 图(1)

y ? ax2 ? bx ? c ? 0 的解为 x ? x1 或 x ? x2 ,而不等式( a ? 0 ) y ? ax2 ? bx ? c ? 0 的解为 x1 ? x ? x2 。在另两个图中情况类似。
如果我们把 x 轴看成函数 y ? 0 , x ? R ,那么就可以从上面这种一元二次不等式的解 法得到启示,并把这种方法推广用到解其它的不等式中去。即一般地有:在同一直角坐标系 中,画出两个函数 y1 ? f1 ( x) 和 y2 ? f 2 ( x) 的图像,则①两图像的交点的 x 坐标就是方程

f1 ( x) ? f 2 ( x) 的解,其中有几个交点就有几个解,没有交点就没有解;②在某些区间内均
有 y1 ? f1 ( x) 的图像在 y2 ? f 2 ( x) 的上(下)方,那么这些区间就是不等式 f1 ( x) ? f 2 ( x) (或 f1 ( x) ? f 2 ( x) )的解。下面我们来看几个例子: 例 1、解不等式 ? x ? 5x ? 6 。
2

y 6

解:易知方程 ? x ? 5x ? 6 的解为 x1 ? 2 , x2 ? 3
2

图(2) 又函数 y1 ? ? x ? 5x 和函数 y 2 ? 6 的图像草图如图(2)则直观地有原不
2

O

2

3

等式的解为 2 ? x ? 3 。 评注: 这里我们只需解方程并画函数的图像草图即可直观地得出不等式的解。 按常规的
2 解法需要把原不等式化为标准式 ax ? bx ? c ? 0 其中 a ? 0 ,这是常规方法解一元二次不

x

等式的关键步骤。 而很多同学容易在这关键步骤中出两方面的错误: 一是没有注意到要化二

1

次项系数大于零; 二是在化二次项系数大于零的过程中没有注意到不等式要改变不等号, 或 是在最后写出不等式的解时仍套用原不等号时的不等式的情况。 例 2、解不等式 3x ? 4 ? 解:易知方程 3x ? 4 ?

x ? 3 ? 0。 x ? 3 ? 0 无解。又函数 y1 ? 3x ? 4 和函数

y

y2 ? x ? 3 的图像草图如图(3)则直观地有原不等式的解为 x ? 3 。
评注: 同样这里我们只需解方程并画函数的图像草图即可直观地得出不等式

O 4/3

3

x

图(3)

的解。而不用像常规方法一样先去解被开方数大于零的不等式组, (这一步骤往往是同学们 容易忘记的)再两边平方(很多同学往往也不注意不等式两边能够平方的条件)把无理式化 成整式,最后还要取不等式的交集。
2 例 3、解不等式 x ? 5 x ? 6 2 解:易知方程 x ? 5 x ? 6 的解为 x1 ? ?1 , x2 ? 2 , x3 ? 3 , x4 ? 6 。 2 又函数 y1 ? x ? 5 x 和函数 y 2 ? 6 的图像草图如图(4)则直观地有不等式

y 6

的解为 x ? ?1 或 2 ? x ? 3 或 x ? 6 。 例 4、解不等式

2x ? 1 ? x ? 2 。

-1

O

2

3

6

x

图(4) 解:容易知不等式等价于 y

x ? 2 ? 2 x ? 1 ? x ? 2 ,方程 x ? 2 ? 2x ? 1 的解为 x ? 5 ,而方程
又函数 y1 ? x ? 2 ,y2 ? 2x ? 1 , y3 ? x ? 2 的 2 x ? 1 ? x ? 2 无解; 图像草图如图(5)则直观地有原不等式的解为 O 1/2 5 x

1 ? x ? 5。 2

图(5)

评注:例 3、例 4 中与常规方法比较均避免了解繁琐的不等式组。 例 5、解不等式 x ? 1 ? ax ? 1。
2

a>1 a=1 y 0<a<1

解: 容易知方程 x 2 ? 1 ? ax ? 1的解为 x1 ? 0 ,x 2 ? 时仅有一解) ,又函数 y1 ?

2a (当 a ? 1 1? a2
O 2a/(1-a2) 图(6) x

x 2 ? 1 , y2 ? ax ? 1 的图像草图如图(6)则

直观地有原不等式的解为当 a ? 1 时是 x ? 0 ,当 0 ? a ? 1 时是

0? x?

2a 。 1? a2

评注:虽然避免不了对参数 a 讨论,但利用函数的图像使讨论非常直观,且避免了解

2

繁琐的不等式组。 数形结合是数学的重要思想、 方法之一, 这里利用函数的图像解不等式就是数形结合的 一种具体运用。 最后指出利用这种方法解不等式要对基本函数的图像比较熟练, 包括基本函 数图像的平移、伸缩、对称、翻转等变换。

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