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2.1.1向量的物理背景与概念及向量的几何表示


2.1.1

向量的物理背景与概念

2.1.2
2.1.3

向量的几何表示
相等向量与共线向量

猫能捉住老鼠吗?
?老鼠由A向东北方向以6m/s 的速度逃窜,而猫由B向东南 方向10m/s的速度追. 问猫能 否抓到老鼠?

嘻嘻!大笨猫!

C

A

唉, 哪儿去了 ?

B

D

情境设置
老鼠由A向西北逃窜,猫在B处向东追 去,设问:猫能否追到老鼠?

C

结论:
猫的速度再快 也没用,因为方向 错了.

A

B

D

一、向量的实际背景及概念。
在物理学中,我们学过位移是既有大少 又有方向的量,那么在物理中还有没有其 它这样的量吗?例如,力既有大小又有方 向,如下面图: F

G

你还能举出物理 学中的一些实例 吗?

例如:速度、加速度、 动量、相位等。

实际上在生活中我们已经遇到过一种只有大 小的量,例如,一棵树、一本书、一支笔、温 度、路程、密度等,我们曾把这种量称为数量.
现在像位移、力…….这些既有大小又有方 向的量数学中对它进行抽象得到一种新的量 既有大小,又有方向的量叫做向量(物理学 中称为矢量)

只有大小,没有方向的量(如年龄、身高 长度等)叫做数量(物理学中称为标量)

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1. 向量的概念: 我们把既有大小又有方向的量叫向量.

由于实数与数轴上的点一一对应,所以数量 常常用数轴上的一个点表示,如3,2,-1,… 而且不同的点表示不同的数量。
-1 0 1 2 3

对于向量,我们常用带箭头的线段来表示,线段 按一定比例(标度)画出,它的长度表示向量的 大小,箭头表示向量的方向。

B(终点)

A(起点)

有向线段:在线段AB的两个端 点中,规定一个顺序,假设A为 起点,B为终点,我们就说线段 AB具有方向。具有方向的线段 叫做有向线段。

有向线段的三个要素:起点、方向、长度

1、向量的几何表示:用有向线段表示。
向量AB的大小,也就是向量AB的长度 (或称模),记作|AB|。
长度为0的向量叫做零向量.记作0。

长度等于1个单位的向量,叫做单位向量。
2、向量的字母表示:1) a, b, c ,...

(2)用表示向量的有向线段的起点和终点字母 思考: “向量就是有

向线段 有向线段就 表示,例如, AB,,CD

是向量.”的说法对吗

判断题

1.温度含零上和零下温度,所以温度是向量(



2.向量的模是一个正实数。(
3.若|a|>|b| ,则a > b (



)

注:向量不能比较大小

(1)平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。 如: a b c 平行向量又叫做共线向量 记作 a ∥b ∥c

规定:0与任一向量平行。 C OA = a A B

. o

l

OB = b

OC = c

问:把一组平行于直线l的向量的起点平移到直线l上 的一点O ,这时它们是不是平行向量? 各向量的终点与直线l之间有什么关系?

1.若非零向量AB//CD ,那么AB//CD吗?
2.若a//b ,则 a与b的方向一定相同或相反吗?

(2)相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
D A C

记作:a = b
B
A

规定:0 = 0

a b

. o

B

D

C

相等向量一定是平行向量吗?

平行向量一定是相等向量吗?

向量相等

向量平行

例1.如图设O是正六边形ABCDEF的中心,写出图中 与向量OA相等的向量。
OA = DO = CB

变式 :与向量OA长度相等的


向量有多少个?
11个 变式二:是否存在与向量OA长度相等,方向 相反的向量?

存在,为 FE
变式三:与向量OA长度相等的共线向量有哪些?

AO

CB、DO、FE

BC、OD、EF

概念辨析:

× (2)若 a和b都是单位向量,则 a = b; × (3)任一向量与它的相反向量(长度相同, × 方向相反的向量)都不相等; (4)共线的向量,若起点不 同,则终点也不同; × (5)若AB//CD,则AB//CD; × (6)若AB//CD,则AB//CD ; √ (7)与 a b共线, b 与 c 共线,则 a与 c也共线; ×
(1)模相等的两个平行向量是相等的向量;

√ (8)向量a与b不共线,则a与b都不是非零向量;

例2:在图中的4×5方格纸中有一个向量AB, 分别以图中的格点为起点和终点作向量, (1)其中与AB相等的向量有多少个? (2)与AB长度相等的共线向量有多少个? (AB除外)
B

(1)共有7个向量与AB相等
A

(2)共有15个向量与AB共线

2.下面几个命题:
(1)若a = b,b = c,则a = c。

(2)若|a|=0,则a = 0
(3)若|a|=|b|,则a = b (4)两个向量a、b相等 的充要条件是 |a|=|b| a ∥b (5)若A、B、C、D是不共线的四点,则AB=DC

的充要条件是 四边形ABCD是平形四边形。
其中正确的个数是( A.0 B. 1 C. 2
D C

)
C

D. 3

D

变:若 a ∥ b, b ∥ c, 则a ∥c
A B B

当b ≠ 0时成立。
A

合作探究:
如图:以1×1方格纸中的格点为起点和 终点的所有向量中,可得到多少种不同 的模?有多少种不同的向量?

向量的概念:
向量的表示方法: 零向量、单位向量概念: 平行向量定义: 相等向量定义:

共线向量与平行向量关系:

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2. 数量与向量的区别: 数量只有大小,是一个代数量,可以 进行代数运算、比较大小;向量有方向, 大小,双重性,不能比较大小.
a A(起点) B (终点)

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3. 向量的表示方法: ①用有向线段表示;

②用字母a、b(黑体,印刷用)等表示;
③用有向线段的起点与终点字母: AB ; 向量 AB 的大小——长度称为向量的模,

记作 AB .

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4. 有向线段: 具有方向的线段就叫做有向线段, 三个要素:起点、方向、长度.

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4. 有向线段: 具有方向的线段就叫做有向线段, 三个要素:起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别:

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4. 有向线段: 具有方向的线段就叫做有向线段, 三个要素:起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别: (1)向量只有大小和方向两个要素,与起点 无关,只要大小和方向相同,这两个向 量就是相同的向量; (2)有向线段有起点、大小和方向三个素, 起点不同,尽管大小和方向相同,也是 不同的有向线段.

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5. 零向量、单位向量概念: ①长度为0的向量叫零向量,记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别.

②长度为1个单位长度的向量, 叫单位向量.

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5. 零向量、单位向量概念: ①长度为0的向量叫零向量,记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别.

②长度为1个单位长度的向量, 叫单位向量.

说明:
零向量、单位向量的定义都只是限制 了大小.

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6.平行向量定义:

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量; ②我们规定0与任一向量平行. a
b c

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6.平行向量定义:

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量; ②我们规定0与任一向量平行. a
b c

说明:
(1) 综合①、②才是平行向量的完整定义; (2) 向量a、b、c平行,记作a∥b∥c.

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例1. 如图,试根据图 中的比例尺以及三地 的位置,在图中分别

A
B C

用向量表示A地至B、
C两地的位移,并求

出A地至B、C两地的
实际距离(精确到1km).

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例2. 判断: (1) 平行向量是否一定方向相同?

(2) 与任意向量都平行的向量是什么向量? (3) 若两个向量在同一直线上,则这两个向
量一定是什么向量?

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例2. 判断: (1) 平行向量是否一定方向相同? 不一定

(2) 与任意向量都平行的向量是什么向量? (3) 若两个向量在同一直线上,则这两个向
量一定是什么向量?

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例2. 判断: (1) 平行向量是否一定方向相同? 不一定

(2) 与任意向量都平行的向量是什么向量?
零向量

(3) 若两个向量在同一直线上,则这两个向
量一定是什么向量?

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例2. 判断: (1) 平行向量是否一定方向相同? 不一定

(2) 与任意向量都平行的向量是什么向量?
零向量

(3) 若两个向量在同一直线上,则这两个向
量一定是什么向量? 平行向量

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例2. 判断: (1) 平行向量是否一定方向相同? 不一定

(2) 与任意向量都平行的向量是什么向量?
零向量

(3) 若两个向量在同一直线上,则这两个向
量一定是什么向量? 平行向量

练习.教材P.77练习第1、2、3题.

课堂小结
1.描述向量的两个指标:模和方向. 2. 平面向量的概念和向量的几何表示; 3. 向量的模、零向量、单位向量、平行

向量等概念.

课后作业
1. 阅读教材P.74-P.76; 2.《学案》P.49的学法引导;

3.《学案》P.44的单元检测卷.


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