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变化率与导数、导数的计算高考数学第一轮考点复习课件12


考纲 要求

热点 提示

1.了解导数概念的实际背景. 2.理解导数的几何意义. 3.能根据导数定义求函数 y=c,y=x,y=x2,y=x3, 1 y=x ,y= x的导数. 4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的 四则运算法则求简单函数的导数. 能求简单的复合函 数(仅限于形如 f(ax+b)的复合函数)的导数. 1.导数的几何意义是高考考查的重点内容,常以选择 题、填空题的形式出现,有时也出现在解答题中. 2.导数的运算每年必考,一般不单独考查,在考查 导数应用的同时考查导数的运算.

1.导数的概念 (1)函数y=f(x)在x=x0处的导数 一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是

(2)导函数 当x变化时,f′(x)称为f(x)的导函数,则f′(x)=

注意f′(x)及f′(x0)的区别,f′(x)是一个函数,f′(x0)是 常数,f′(x0)是函数f′(x)在点x0处的函数值. 导数研究在x=x0处及其附近函数的改变量Δy与自变量

的改变量Δx之比的极限,它是一个局部性的概念,若
存在,则函数y=f(x)在x=x0处就有导数,否则

就没有导数.

2.导数的几何意义 函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义,就是 曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线的 斜率 ,过 点P的切线方程为: y-y0=f′(x0)(x-x0) .

3.基本初等函数的导数公式 (1)c′= 0 (c为常数); n)′= nxn-1 (2)(x (n∈N*); (3)(sinx)′= cosx ; (4)(cosx)′= -sinx ; (5)(ex)′= ex ; (6)(ax)′= axlna ; (7)(lnx)′= (8)(logax)′= ; .

4.导数运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x) ; (2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)



关于导数的加减法则,可推广到有限多个的情 况,如[f(x)+g(x)+h(x)]′=f′(x)+g′(x)+ h′(x)等.

5.复合函数的导数 设函数u=φ(x)在点x处有导数u′=φ′(x), 函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数y′= f′(u),则复合函数y=f(φ(x))在点x处也有 导数,且y′x= y′u·u′x 或写作 f′x(φ(x))= f′(u)·φ′(x) .

1.下列求导运算正确的是 1 1 A.(x+ )′=1+ 2 x x 1 B.(log2x)′= xln2 C.(3x)′=3x· 3e log D.(x2cosx)′=-2xsinx

(

)

1 1 解析:根据求导公式(x+ )′=1- 2 ,(3x)′=3x· ln3, x x 1 2 2 (x cosx)′=2xcosx-x sinx,(log2x)′= ,只有 B 正确. xln2

答案:B

1 3 2 2. 曲线 y= x -x +5 在 x=1 处的切线的倾斜角为( 3 π 3π A. B. 6 4 π π C. D. 4 3

)

解析:y′=x2-2x,∴y′|x=1=-1.∴切线 的倾斜角为 . 答案:B

3.设y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两个相 等实根且f′(x)=2x+2,则y=f(x)的表达式是 ________. 解析:根据题意,知方程f(x)=0有两个相等实 根,可设f(x)=a(x+b)2, ∴f′(x)=2a(x+b).∴2a(x+b)=2x+2. ∴2a=2,2ab=2. ∴a=1,b=1.∴f(x)=(x+1)2. 答案:f(x)=(x+1)2

4.函数y=

的导数为________.

5.求下列函数的导数: 1-sinx (1)y= ; 1+cosx x5+ x+sinx (2)y= ; x2 1+ x 1- x (3)y= + ; 1- x 1+ x (4)y=x· tanx.

-cosx· (1+cosx)+(1-sinx)sinx 解:(1)y′= (1+cosx)2 sinx-cosx-1 = 2 . (1+cosx)

(1+ x)2+(1- x)2 (3)y= (1- x)(1+ x) 2(1+x) = (x≥0 且 x≠1), 1-x (1+x)′(1-x)-(1+x)(1-x)′ ∴y′=2· (1-x)2 4 = 2(x≥0 且 x≠1). (1-x)

sinx (4)∵(tanx)′=( )′ cosx (sinx)′cosx-sinx(cosx)′ 1 = =cos2x, cos2x x ∴y′=x′tanx+x(tanx)′=tanx+cos2x.

【例1】 一物体在某一受力状态下的位移 s(t)(单位:m)与运动时间t(单位:s)的关系为: s(t)=t3(t>0). (1)利用导数的定义求s′(t); (2)求该物体在t=2秒时的瞬时速度v(2).

(1)会根据定义求导数. (2)注意导数的意义的应用,如导数的几何意义 是切线的斜率;位移关于时间t的导数为瞬时速 度;速度v(t)关于时间t的导数为加速度.

变式迁移 1 用导数的定义求函数y=x2 +ax+b(a,b为常数)的导数.

【例 2】

求下列函数的导数:

x+cosx (1)y= ; x+sinx (2)y=(2x-3)5; (3)y= 3-x; (4)y=ln(x+ 1+x2).

思路分析: 先正确地分析函数是由哪些基本函 数经过怎样的顺序复合而成;求导时,可设出 中间变量,注意要逐层求导不能遗漏,每一步 对谁求导,不能混淆.
解:(1)y′= (x+cosx)′(x+sinx)-(x+cosx)(x+sinx)′ (x+sinx)2 (1-sinx)(x+sinx)-(x+cosx)(1+cosx) = (x+sinx)2 -xcosx-xsinx+sinx-cosx-1 = (x+sinx)2

(2)设u=2x-3,则y=(2x-3)5 由y=u 5与u=2x-3复合而成, ∴y′=f′(u)·u′(x)=(u5)′(2x-3)′=5u4·2 =10u4=10(2x-3)4.

(4)∵y=ln(x+ 1+x2) 1 ∴y′= · (x+ 1+x2)′ x+ 1+x2 (1+x2)′ 1 = [1+ 2· 2] x+ 1+x 2 1+x 1 2x = [1+ 2· 2] x+ 1+x 2 1+x 1+x2+x 1 = 2· x+ 1+x 1+x2 1 = 2. 1+x

变式迁移 2

求下列函数的导数:

(1)y=(3x3-4x)(2x+1); (2)y=3xex-2x+e; lnx (3)y= 2 ; x +1 (4)y=sin2x;

解:(1)∵y=(3x3-4x)(2x+1) =6x4+3x3-8x2-4x, ∴y′=24x3+9x2-16x-4. 或y′=(3x3-4x)′(2x+1)+(3x3-4x)(2x+1)′ =(9x2-4)(2x+1)+(3x3-4x)·2 =24x3+9x2-16x-4. (2)y′=(3xex)′-(2x)′+(e)′ =(3x)′ex+3x(ex)′-(2x)′ =3xln3·ex+3xex-2xln2 =(ln3+1)(3e)x-2xln2.

(lnx)′(x2+1)-lnx· 2+1)′ (x (3)y′= (x2+1)2 1 2 (x 2x x· +1)-lnx· x2+1-2x2lnx = = . (x2+1)2 x(x2+1)2 (4)y′=(sin2x)′=(cos2x)· (2x)′=2cos2x.

【例3】 已知函数f(x)=x3+x-16. (1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程; (2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求 直线l的方程及切点坐标; (3)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=- x +3垂直,求切点坐标与切线的方程.

解:(1)可判定点(2,-6)在曲线y=f(x)上. ∵f′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1, ∴f′(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为k=f′(2) =13. ∴切线的方程为y=13(x-2)+(-6), 即y=13x-32.

(2)解法一:设切点为(x0,y0),
2 则直线 l 的斜率为 f′(x0)=3x0+1, 3 ∴直线 l 的方程为 y=(3x2+1)(x-x0)+x0+x0-16, 0

又∵直线 l 过点(0,0), ∴0=(3x2+1)(-x0)+x3+x0-16, 0 0
3 整理得,x0=-8,∴x0=-2,

∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26, k=3×(-2)2+1=13. ∴直线 l 的方程为 y=13x,切点坐标为(-2,-26),

解法二:设直线 l 的方程为 y=kx,切点为(x0,y0), y0-0 x3+x0-16 0 则 k= = , x0 x0-0 又∵k=f′(x0)=3x2+1, 0 x3+x0-16 0 ∴ =3x2+1, 0 x0 解之得 x0=-2, ∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26, k=3×(-2)2+1=13. ∴直线 l 的方程为 y=13x,切点坐标为(-2,-26).

x (3)∵切线与直线 y=- +3 垂直, 4 ∴切线的斜率 k=4.
2 设切点的坐标为(x0,y0),则 f′(x0)=3x0+1=4,

∴x0=± 1,
?x =1, ? 0 ∴? ?y0=-14, ? ?x =-1, ? 0 或? ?y0=-18. ?

切线方程为 y=4(x-1)-14 或 y=4(x+1)-18. 即 y=4x-18 或 y=4x-14.

根据条件列方程或方程组是解决该问题的主要 方法,灵活运用x=x0处的导数就是该点处的切 线的斜率是解决有关切线问题的关键.由导数 的几何意义可知,点(x0,f(x0))处的切线方程为 y=f′(x0)(x-x0)+f(x0).

变式迁移 3 (2009·江苏卷)在平面直角 坐标系xOy中,点P在曲线C:y=x3-10x +3上,且在第二象限内,已知曲线C在点 P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为 ________.

解析:由曲线C:y=x3-10x+3,得y′= 3x2-10.又根据导数的几何意义,得3x2 -10=2,所以x=±2.又点P在第二象限 内,所以x=-2,即点P的横坐标为-2. 将x=-2代入曲线方程,得y=15,所以 点P的坐标为(-2,15).故填(-2,15). 答案:(-2,15)

【例 4】

x-a 设函数 f(x)= ,集合 M={x|f(x)<0},P= x-1 )

{x|f′(x)>0},M?P,则实数 a 的取值范围是( A.(-∞,1) C.(1,+∞) B.(0,1) D.[1,+∞)

x-a x-1+1-a 1-a 解析:y=f(x)= = =1+ . x-1 x-1 x-1 当 a<1 时,图象如下图 1 所示. 当 a>1 时,图象如下图 2 所示.

由图象可知,a>1 时,函数 y 在(1,+∞)上为增函数, 此时 f′(x)>0,同时 f(x)<0 的解集为(1,+∞)的真子集.故选 C.

答案:C

变式迁移 4 如图,函数f(x)的图象是折线段 ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0), (6,

答案:2 -2

1.根据导数的定义,求函数y=f(x)在点 x0处导数的方法
(1)求函数的增量 Δy=f(x0+Δx)-f(x0); Δy f(x0+Δx)-f(x0) (2)求平均变化率Δx= ; Δx

2.曲线的切线 (1)准确理解曲线的切线,需注意的两个方面 ①直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特 征,直线与曲线只有一个公共点,则直线不一 定是曲线的切线,同样,直线是曲线的切线, 则直线可能与曲线有2个以上的交点. ②曲线未必在其切线的“同侧”,如曲线y=x3 在其过(0,0)点的切线y=0的两侧.

(2)曲线的切线的求法 若已知曲线过点P(x0,y0),求曲线的切线则需 分点P(x0,y0)是切点和不是切点两种情况求 解. ①点P(x0,y0)是切点的切线方程y-y0=f′(x0)(x -x0). ②当点P(x0,y0)不是切点时可分以下几步完成: 第一步:设出切点坐标P′(x1,f(x1)). 第二步:写出过P′(x1,f(x1))的切线方程为y- f(x1)=f′(x1)(x-x1).

第三步:将点P的坐标(x0,y0)代入切线方程求 出x1. 第四步:将x1的值代入方程y-f(x1)=f′(x1)(x- x1)可得过点P(x0,y0)的切线方程.

曲线“在点P处的切线”是以点P为切点,而 “过点P的切线”,点P可能是切点,也可能不 是切点,点P也可能不在已知曲线上,切线可能 不只一条.


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