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一次函数图像与性质


一次函数图像与性质

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? 1.若正比例函数 若正比例函数y=kx(k≠0)经过点(-1,2), ( )经过点( , ), 若正比例函数 y=-2x 则该正比例函数的解析式为y=___________. 则该正比例函数的解析式为 ? 2.如图,一次函数 如图, 的图象经过A 两点, 如图 一次函数y=ax+b的图象经过 、B两点, 的图象经

过 两点 ? 则关于 的不等式 则关于x的不等式 的不等式ax+b<0的解集是 x<2 的解集是 . ?

? 3. 一次函数的图象经过点(1,2),且y随x的增 一次函数的图象经过点( , ), ),且 随 的增 大而减小, 大而减小,则这个函数的解析式可以是 y=-2x+3(等) ( . 任写出一个符合题意即可) (任写出一个符合题意即可)

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? 4.一次函数y=2x-1的图象大致是( B ) .一次函数 的图象大致是( 的图象大致是
y y y y

O O
A.

x
B.

x

O
C.

x

O
D.

x

? 5.如果点 在直线 如果点M在直线 如果点 在直线y=x-1上,则M点的坐标可以是 上 点的坐标可以是 ( C) A.(- ,0) B.( ,1) .(-1, ) .( .(0, ) .(- C.( ,0) D.( ,- ) .(1, ) .( ,-1) .(1,- .(

一、一次函数的定义: 一次函数的定义:
1、一次函数的概念:函数y=_______(k、b为常 、一次函数的概念:函数 kx +b 、 为常 ≠0 叫做一次函数 =0 时 0 叫做一次函数。 0 数,k______)叫做一次函数。当b_____时,函数 kx ≠0 叫做正比例函数 y=____(k____)叫做正比例函数。 0 叫做正比例函数。





y=k xn +b为一次函数的条件是什么? 为一次函数的条件是什么 指数n=1 一. 指数 二. 系数 k ≠0

解析式

正 比 例 函 数 y = k x ( k≠0 ) k>0 k<0

一 次 函 数 为常数, y=k x + b(k,b为常数,且k ≠0) ( 为常数 k>0 y
k>0,b>0

k<0 y x
k<0,b>0

图 象

y o x o

y x
k>0,b<0

o y o

o y

x
k<0,b<0

x

o

x

性 质

k>0时,在Ⅰ, Ⅲ象限 时在 象限; k<0时,在Ⅱ, Ⅳ象限 象限. 时在
正比例函数是特殊的一次函数

k>0,b>0时在Ⅰ, Ⅱ,Ⅲ象限 时在Ⅰ 时在 Ⅲ象限; k>0,b<0时在Ⅰ, Ⅲ, Ⅳ 象限 时在Ⅰ 时在 k<0, b>0时,在Ⅰ,Ⅱ, Ⅳ象限 时 在 Ⅱ 象限. k<0, b<0时,在Ⅱ, Ⅲ, Ⅳ象限 时在
平行于 y = k x ,可由它平移而得 可由它平移而得

当k>0时,y随x的增大而增大 当k<0时,y随x的增大而减小 时 随 的增大而增大; 时 随 的增大而减小. 的增大而增大 的增大而减小

应 用

(1). 待定系数法 待定系数法;

(2).实际问题的应用 实际问题的应用

一、基础问题
填空题: 例1 填空题: (1) 有下列函数:① y = 6x ?5 , 有下列函数: ③ ② y=5x ,

y = x +4 , ④ y = ?4x +3 。其中过原点的直

线是_____;函数 随 的增大而增大的是 的增大而增大的是___________; 线是 ② ;函数y随x的增大而增大的是 ①、②、③ ; 函数y随 的增大而减小的是 的增大而减小的是______;图象过第一、 函数 随x的增大而减小的是 ④ ;图象过第一、二、 三象限的是_____。 三象限的是_____。 ③ (2)、如果一次函数y=kx-3k+6的图象经过原点,那么 、如果一次函数 的图象经过原点, 的图象经过原点 k的值为 k=2 。 的值为________。 的值为 (3)、已知y-1与x成正比例,且x=-2时,y=4,那么 与 、已知 与 成正比例 成正比例, - 时 ,那么y与 3 x之间的函数关系式为y = ? x +1 之间的函数关系式为_________________。 之间的函数关系式为 。 2 方法:待定系数法: 方法:待定系数法:①设;②代;③解;④还原

例2、已知一次函数y=kx+b(k≠0)在x=1时,y=5,且 已知一次函数 在 时 , 它的图象与x轴交点的横坐标是6,求这个一次函数的 它的图象与 轴交点的横坐标是6 轴交点的横坐标是 解析式。 解析式。 解:设一次函数解析式为y=kx+b, 设一次函数解析式为 , 把x=1时, y=5;x=6时,y=0代入解析式,得 时 ; 时 代入解析式, 代入解析式

?k + b = 5 解得 ?k = ?1 ? ? ?b = 6 ?6k + b = 0
∴一次函数的解析式为 y= - x+6。 。 方法:待定系数法: 方法:待定系数法:①设;②代;③解;④还原

?

二、图像辨析
1.已知一次函数 已知一次函数y=kx+b,y随着 的增大而减小,且kb<0, 随着x的增大而减小 且 已知一次函数 随着 的增大而减小 则在直角坐标系内它的大致图象是( ) A 则在直角坐标系内它的大致图象是

(A)

(B)

(C) )

(D) )

2.一次函数 一次函数y=ax+b与y=ax+c(a>0)在同一坐标系中的 与 在同一坐标系中的 一次函数 图象可能是( 图象可能是( A)
y y y y

o

x

o

x

o

x

o

x

A

B

C

D

3.直线y1=kx与直线y2=kx-k在同一坐标系内的大致 图象是( C )

(A)

(B)

(C)

(D)

k>0 k>0 -k>0

k<0 k<0 -k<0

k<0 k<0 -k>0 不平行

三、能力提升1 能力提升
.1、柴油机在工作时油箱中的余油量 千克)与工作时间 (小时) 柴油机在工作时油箱中的余油量Q(千克 与工作时间t(小时) 柴油机在工作时油箱中的余油量 千克) 成一次函数关系,当工作开始时油箱中有油40千克 工作3.5小时 千克, 成一次函数关系,当工作开始时油箱中有油 千克,工作 小时 油箱中余油22.5千克 后,油箱中余油 千克 (1)写出余油量 与时间 的函数关系式 (2)画出这个函数的图象。 写出余油量Q与时间 的函数关系式;( )画出这个函数的图象。 写出余油量 与时间t的函数关系式 :(1 Q=kt+ 。 解:(1)设Q= +b。把t=0,Q=40;t=3.5,Q=22.5 , ; , 分别代入上式, 分别代入上式,得 ?b = 40

? ?22.5 = 3.5k + b

解得

?k = ?5 ? ?b = 40
Q 40

解析式为: =- =-5 解析式为:Q=-5t+40

(0≤t≤8)

图象是包括 两端点的线段

),B( , ) (2)取点A(0,40), (8,0), 取点A(0 A( ), 线段AB,即是所求的图形。 即是所求的图形。 然后连成 线段 即是所求的图形

点评:画函数图象时, 点评 画函数图象时,应根据函数自变量的 画函数图象时 取值范围来确定图象的范围,比如此题中, 取值范围来确定图象的范围,比如此题中, 因为自变量0≤t≤8,所以图像是一条线段。 0 图像是一条线段。 因为自变量 ,所以图像是一条线段

8

t

能力提升2 能力提升
2.某医药研究所开发了一种新药,在实际验药时发现,如果成人按 某医药研究所开发了一种新药,在实际验药时发现, 某医药研究所开发了一种新药 规定剂量服用,那么每毫升血液中含药量y(毫克)随时间x( 规定剂量服用,那么每毫升血液中含药量 (毫克)随时间 (时) 的变化情况如图所示,当成年人按规定剂量服药后。 的变化情况如图所示,当成年人按规定剂量服药后。 达到每毫升_______毫克。 毫克。 (1)服药后 2 时,血液中含药量最高 达到每毫升 6 )服药后____时 血液中含药量最高,达到每毫升 毫克 毫克。 (2)服药 时,血液中含药量为每毫升 3 毫克。 )服药5时 血液中含药量为每毫升____毫克 之间的函数关系式是_____。 (3)当x≤2时,y与x之间的函数关系式是 y=3x ) 时 与 之间的函数关系式是 。 之间的函数关系式是_________。 (4)当x≥2时,y与x之间的函数关系式是 y=-x+8 。 ) 时 与 之间的函数关系式是 (5)如果每毫升血液中含药量 毫克 )如果每毫升血液中含药量3毫克 y/毫克 毫克 毫克以上时, 或3毫克以上时,治疗疾病最有效, 6 毫克以上时 治疗疾病最有效, 那么这个有效时间是___ 小时。 那么这个有效时间是 4 小时。.
点评( ) 点评(1)根据图像反映的信息解答有关问 题时,首先要弄清楚两坐标轴的实际意义, 题时,首先要弄清楚两坐标轴的实际意义,抓 O 2 5 住几个关键点来解决问题; 住几个关键点来解决问题; x/时 问中由y=3对应的 值有两个; 对应的x值有两个 (2)特别注意,第5问中由 )特别注意, 问中由 对应的 值有两个; (3)根据函数图像反映的信息来解答有关问题,比较形象、直观,从中能 )根据函数图像反映的信息来解答有关问题,比较形象、直观, 进一步感受“数形结合思想” 进一步感受“数形结合思想”。

3

3.如图,矩形ABCD中,AB=6,动点P以2个单位/s速度沿 如图,矩形ABCD ABCD中 =6, 个单位/s /s速度沿 的路径移动,相应的△ABP的面 图甲的边框按B→C→D→A的路径移动,相应的△ABP的面 的函数图象如图乙.根据下图回答问题: 积s关于时间t的函数图象如图乙.根据下图回答问题:
问题:(1)P点在整个的移动过程中△ABP的面积是怎样变化的? 问题: 点在整个的移动过程中△ABP的面积是怎样变化的 的面积是怎样变化的?
A

能力提升3 能力提升

s(cm2) D 30a p 10cm
P 图甲 C

B

o

5 8
图乙



t(s)

(2)图甲中BC的长是多少? 图甲中BC的长是多少? BC的长是多少 (3)图乙中的a在图甲中具有什么实际意义?a的值是多少? 图乙中的a在图甲中具有什么实际意义? 的值是多少?

解:(1) P点在整个的移动过程中△ABP的面积 点在整个的移动过程中△ 点在整个的移动过程中 的面积 先逐渐从0增大到 增大到30,然后在3分钟内保持 不变, 分钟内保持30不变 先逐渐从 增大到 ,然后在 分钟内保持 不变, 再从30逐渐减小 逐渐减小; 再从 逐渐减小; (2)BC=10; ) (3)a=30. a的值表示点 在CD边上运动时, 的值表示点P在 边上运动时 边上运动时, 的值表示点 的面积; △ABP的面积 的面积

点评:此类动点问题中,应根据点 的不同运动路线 的不同运动路线, 点评:此类动点问题中,应根据点P的不同运动路线,找出对应 的函数图像以及每段图像对应的自变量取值范围, 的函数图像以及每段图像对应的自变量取值范围,抓住几个关键 并理解函数图像中横、纵坐标的实际意义。 点,并理解函数图像中横、纵坐标的实际意义。

1.下列函数中,不是一次函数的是 下列函数中, 下列函数中
x A. y = 6 B.y = 1 ? x 10 C .y = x

(C )
D . y = 2 ( x ? 1)
y 3 A

2.如图,正比例函数图像经过点A, 如图,正比例函数图像经过点 , 如图 3 y= x 该函数解析式是______ 该函数解析式是 2

x o 2

3.一次函数 一次函数y=x+2的图像不经过第 四 象限 的图像不经过第____象限 一次函数 的图像不经过第 4.点P(a,b)点Q(c,d)是一次函数 点 ( ) ( )是一次函数y=-4x+3图像 图像 上的两个点, 的大小关系是____ 上的两个点,且a<c,则b与d的大小关系是 b>d , 与 的大小关系是

y

1.一次函数 y 1=kx+b与y 2=x+a的 一次函数 与 的 图像如图所示,则下列结论( ) 图像如图所示,则下列结论(1) k<0;(2)a>0;(3)当x<3时,y 1<y 2 当 时 正确的有____个 中,正确的有 1 个 2.如图,已知一次函数y=kx+b的 如图,已知一次函数 如图 的 图像,当x<1时,y的取值范围是 图像, 时 的取值范围是 y<-2 ____

y 2=x+a x o y o 2 3 y 1=kx+b x

-4

3.一个函数图像过点(-1,2),且y随x增大而减少, 一个函数图像过点( , ), ),且 随 增大而减少 增大而减少, 一个函数图像过点 则这个函数的解析式是___ y=-x+1 则这个函数的解析式是

1、直线y=2x+1与y=3x-1的交点 的坐标为(2, 5),点P到x轴的距 、直线 的交点P的坐标为 与 的交点 的坐标为____, 到 轴的距 离为_______,点P到y轴的距离为 2 。 轴的距离为______。 离为 到 轴的距离为 5 , 2.一次函数的图象过点(0,3) ,且与两坐标轴围成的三角形面 2.一次函数的图象过点(0,3) ,且与两坐标轴围成的三角形面 一次函数的图象过点 9/4,一次函数的解析式为_________________ _________________。 积为 9/4,一次函数的解析式为_________________。 y=±2x+3 ± 3.如图,将直线OA向上平移 个单位, 如图,将直线 向上平移1个单位 如图 向上平移 个单位, 得到一个一次函数的图像,那么这个一次 得到一个一次函数的图像, y=2x+1 函数的解析式是____________________ 函数的解析式是
y 4.正方形 1B1C1O,A2B2C2C1,A3B3C3C2, 正方形A 正方形 , …按如图所示的方式放置.点A1,A2,A3, 按如图所示的方式放置. 按如图所示的方式放置 …和点 1,C2,C3,…分别在直线 和点C 分别在直线y=kx+b A1 和点 分别在直线 (k>0)和x轴上,已知点 1(1,1), 轴上, > 和 轴上 已知点B , , ? (2n ? 1, 2n?1 ) B2(3,2),则Bn的坐标是 的坐标是_________. , , .
O

A3 A2 B1 C1 C2 B2

B3

C3

x

如图,在平面直角坐标系中, 的坐标是( , ), 如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标是(4,0), 的坐标是 点P在直线 在直线y=-x+m上,且AP=OP=4,求m的值。 上 求 的值。 在直线 的值
y

P

o A

x

如图1,在矩形中,动点 从点 出发, 从点N出发 如图 ,在矩形中,动点R从点 出发,沿N→P→Q→M 方向运动至点M处停止 设点R运动的路程为 处停止. 运动的路程为x, 方向运动至点 处停止.设点 运动的路程为 , 的面积为y,如果y关于 的函数图象如图2所示 关于x的函数图象如图 所示, △MRN的面积为 ,如果 关于 的函数图象如图 所示, 的面积为 则当x=9时,点R应运动到( ) 应运动到( 则当 时 应运动到 C A.N处 . 处 B.P处 . 处
Q

C.Q处 . 处
P R y

D.M处 . 处

M

N

(图1)

O

4

9

x

(图2)

若函数y=kx+b的图象平行于 -2x的图象且经 的图象平行于y= 的图象且经 若函数 的图象平行于 的图象且 过点( 则直线y=kx+b与两坐标轴围成 过点(0,4), 则直线 与两坐标轴围成 的三角形的面积是: 的三角形的面积是:
图象与y= - 2x图象平行 解:∵y=kx+b图象与 ∵ 图象与 图象平行 ∴k=-2 ∵图像经过点(0,4) 图像经过点( , ) ∴b=4 此函数的解析式为y= - 2x+4 ∴此函数的解析式为 ∵函数y= - 2x+4与两坐标轴的交点为 函数 与两坐标轴的交点为(0,4) 与两坐标轴的交点为 (2,0)

1 ∴S△= △ ×2 ×4=4 2


应用 应
线 线 用


线

一次函数 的概念、 图象、性 质

图象与 现实生 活的联 系

三个关系 : (1)概念与 k, b (2)图象与 k, b (3)面积与交点坐 标


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