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(新课标)高中数学2.5等比数列的前n项和第1课时等比数列的前n项和课件新人教A版必修5


2.5 等比数列的前n项和 第1课时 等比数列的前n项和 传说在很久以前,古印度舍罕王在宫廷单调 的生活中,发现了64格棋(也就是现在的国际象 棋)的有趣和奥妙, 决定要重赏发明人— —他的宰相西萨?班? 达依尔,让他随意选 择奖品. 宰相要求的赏赐是:在棋盘的第一格内赏他一 粒麦子,第二格内赏他两粒麦子,第三格内赏他 四粒麦子……依此 ? 类推,每一格上的 麦子数都是前一格 的两倍,国王一听, 几粒麦子,加起来 也不过一小袋,他 就答应了宰相的要 求.实际上国王能 满足宰相的要求吗? 1.掌握等比数列的前n项和公式.(重点) 2.掌握前n项和公式的推导方法.(重点) 3.对前n项和公式能进行简单应用.(难点) 探究:等比数列的前n项和公式 S1=a1 S2=a1+a2=a1+a1q =a1(1+q) S3=a1+a2+a3=a1+a1q +a1q2 =a1(1+q+q2) S4=a1+a2+a3+a4=a1+a1q+a1q2+a1q3 =a1(1+q+q2+q3) 观察: S2 ? a1 (1 ? q )(1 ? q ) 1? q 2 a1 (1 ? q 2 ) ? 1? q S3 ? a1 (1 ? q ? q )(1 ? q ) 1? q a1 (1 ? q ) ? 1? q 3 a1 (1 ? q n ) 猜想得:Sn ? (q ? 1) 1? q Sn= a1+a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-2+a1qn-1 qSn= a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-2+a1qn-1 +a1qn ①-②得: Sn(1-q)=a1-a1qn ① ② a1 (1 ? q ) . 当q≠1时,Sn ? 1? q n , q ?1 ? na1 ? 等比数列{an}的前n项和 Sn ? ? a1 (1 ? q n ) ? 1? q . q ? 1 ? 有了上述公式,就可以解决开头提出的问题了, 问题1:a1=1,q=2,n=64.可得: 1 ? (1-264 ) 64 =2 -1(粒 )=18 446 744 073 709 551 615( 粒) S64= 1-2 估计千粒麦子的质量约为40g,那么麦粒的总质量超 过了7 000亿吨,因此,国王不能实现他的诺言. , q ?1 ? na1 ? Sn ? ? a1 (1 ? q n ) ? 1? q . q ? 1 ? 1.注意q=1与q≠1两种情形 a1 ( 1 ? q n ) a1 ? an q Sn ? ? 2.q≠1时, 1? q 1? q 3.五个量n,a1,q,an,Sn中,解决“知三求二” 问题. 例 求下列等比数列前8项的和: 1 1 1 (1) , , , ??. 2 4 8 1 (2)a1=27,a 9= ,q < 0. 243 1 1 解 :?1?因为a1 = ,q = ,n = 8, 2 2 8 8 ? ? ? 1 1 ?1? ?1? ? ?1- ? ? ? ?1- ? ? ? 8 2? 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? 255 ? ? ? ? 所以S8 = = = 1- ? ? = . 1 1 2 ? 256 ? 12 2 1 1 8 2 由a = 27,a = ,可得 =27× q , ? ? 1 9 243 243 又由q < 0,可得 1 q=- , 3 ? ? 1 ?8 ? 27 ?1- ? - ? ? ? 3? ? 1 640 ? ? ? 于是当n = 8时,S8

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