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正弦定理第一课时


话题一:工人师傅的一个三角形的模型坏了,只剩下 如下图所示的部分,∠A=47°,∠B=53°,AB长为 1m,想修好这个零件,但他不知道AC和BC的长度是 多少好去截料,你能帮师傅这个忙吗?

一般地,把三角形的三个角A,B,C和它的对边a,b,c叫 做三角形的元素已知三角形的几个元素求其他元素的过 程叫做解三角形

话题二: 解三角形

,需要用到许多三角形的知识,你对任 意三角形中的边和角关系知道多少?

1、边的关系: 1)两边之和大于第三边;两边之差小于第三边 2)在直角三角形中:a2+b2=c2 2、角的关系: 1)A+B+C=1800 A? B C ? cos 2) sin( A ? B) ? sin C cos(A ? B) ? ? cosC sin
2 2

3、边角关系: 1)大边对大角,大角对大边,等边对等角

2)在直角三角形ABC中,C=900,则

sin A ?

a b , cos A ? c c

能否更深刻地、从定量的角度进行研究?

教学目标
1、知识与技能:
引导学生发现正弦定理的内容,探索证明正弦定理的 方法;简单运用正弦定理解三角形。

2、过程与方法:
通过对定理的探究,培养学生发现数学规律的思维方法 与能力; 通过对定理的证明和运用,培养学生独立解决问题的能 力、体会分类讨论和数形结合的思想方法。

3、情感态度与价值观:
通过对三角形边角关系的探究学习,经历数学探究活 动的过程,体会由特殊到一般再由一般到特殊的认识事物 的规律,培养学生探索精神和创新意识,体会数学的应用价 值。

话题三 : 如果从定量的角度考察三角形中边和对角的 关系,猜想可能存在哪些关系?

a b c = = , A B C

a b c = = , sinA sinB sinC
a b c = = , cosA cosB cosC
a b c = = tanA tanB tanC
……

话题四: 算算看 ,任意三角形边长和对角或对角 三角函数比相等吗?
A A

A

60?
c b c

45?
b

30?

60?
B a

60?
C

B

45?
a

90?

C

60?
B

90?
C

话题五 :我们已经学习了锐角三角函数,不妨在直 A 角三角形中看看?

a ? c sin A b ? c sin B
b c

a b ? ?c sin A sin B

C

a

B

sinC ? 1

a b c ? ? sin A sin B sin C

话题六:这一关系式在任意三角形中是否成 立呢?

话题七: 你会证明吗?
c

A b

直角三角形 锐角三角形 钝角三角形

已证

成立?如何证明? 成立?

B

a D A c

C

(1)可不可以采取转化的方法?
B

b C

证法一:作高法 在锐角?ABC 中, 过点C作CD⊥AB于D, 此时有 sin B ?
CD a
B a

C

b

a b c ?    ? ? 所以CD=asinB=bsinA, 即 sin A sin B sin C

, sin A ? CD b

D

A

a c ? 同理可得 sin A sin C

a b c ? ? ? . sin A sin B sin C
(2)你还想到别的证明方法了吗?

证法一:作高法 在钝角 ?ABC 中,角C是钝角 过点A作AD⊥BC, 交BC延长线于D, 此时也有 sin B ? AD
c (? ? C) ? AD ? sin C 且 sin b a b c 可得 sin A ? sin B ? sin C

A

c
C

b
D

B

(2)你还想到别的证明方法了吗?

证明二(向量法)
1、当?ABC为锐角三角形时,如图

? ??? ? 过A作单位向量 j ^ AC , ? ?? ? 90 则 j与AC 的夹角为________, ? ?? ? - A 90 的夹角为 ________, j与AB
O
0

B c j A a

? ?? ? 90 - C__. j与CB 的夹角为______
0

\ j? ( AC + CB) = j ?AB. ? ??? ? ? ??? ? ? ??? ? 即 j?AC + j ? CB = j ?AB.

??? ? ??? ? ??? ? ? AC + CB?= AB ? ??? ? ??? ? ??? ?

b

C

? ???? ? ??? ? ? ???? ? 0 0 \ | j || AC | cos90 + | j || CB | cos(90 - C) = | j || AB |COS (900 - A).

? a sin C ? c sin A a c ? ? . sin A sin C b c 同理可得 sin B ? sin C .

a b c ? ? ? . sin A sin B sin C

证明二(向量法)
2、若三角形是钝角三角形,如图所示,以A为原点, 以射线AB的方向为x轴正方向建立直角坐标系,C点在y y 轴上的射影为 C?
因为向量 AC与BC在y轴上的射影均为 OC? ,即 C

OC ? ? AC cos A ? 90? ? b sin A, OC ? ? BC sin B ? a sin B
O(A) B

?

?

C?

x
x

所 以a sin B ? b sin A,即 a c 同理可得, ? sin A sin C

a b ? sin A sin B

a b c ?    ? ? sin A sin B sin C

这就是说,对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 来说,上面的关系式均成立.因此.我们得到下面的定理.

正弦定理
在一个三角形中,各边和它所对的角的正弦的比相等,即

a b c ? ? sin A sin B sin C
定理的特点 1.对称美 2.三个等式
a b ? sin A sin B

b c ? sin B sin C

a c ? sin A sin C

3.两边对角知三求一

例1 在△ABC中,已知 A ? 30 , B ? 135 , a ? 2 , 求b,c和C.
0 0

通过例题你发现了什么一般性结论吗?
小结:知道三角形的两个内角 和任何一边,利用正弦定理可 以求出三角形中的其它元素。

例2.工人师傅的一个三角形的模型坏了,只剩下如下 图所示的部分,∠A=47°,∠B=53°,AB长为1m,求 AC和BC的长度

课内练习
在△ABC中,已知下列条件,解三角形 1、A=45°,C=120°,c=10cm 2、A=60°,B=45°,c=20cm

1.在这节课中,学习了哪些知识?
(1)正弦定理及其发现和证明
(2)正弦定理的初步应用

2.包含了哪些数学思想和数学方法?
(1)运用从特殊到一般,一般到特殊的转化思想 (2)运用“观察、猜想、实验、证明”解决问题的 方法 (3)运用向量的方法

1.课后作业: P47练习1:1,2,P52习题2-1,A组:7 2.课后探究: (1)你还可以用其它方法证明正弦定理吗?

a b c ? ? ?k (2) sin A sin B sin C
那么这个k值是什么呢?你能用一个和三角形有 关的量来表示吗?


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