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四川省宜宾市第一中学2015-2016学年高二上学期第十七周周考数学试题


四川省宜宾市一中 2015-2 016 学年上期高二数学第十七周考试题(人教 A 版)

注意事项: 1.本试卷共 150 分,考试时间 120 分钟; 2.答题前,务必将自己的姓名、考试号写在答卷纸的密封线内. 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共计 60 分,请把答案的代号直接填写在答 . 题纸相应的位置 上. ....... 2 1.

x ? 2 是 x ? 3x ? 2 ? 0 成立的 A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0) 的离心率为 2 ,则 a 的值为 a2 1 ? a2 1 1 3 2 A. B. C. D. 2 3 3 2 11 3.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序. 若输出的 S 为 ,则判断框中填写的内容可 12
2.已知双曲线 以是 A. B. C. D.

n?6 n?6 n≤6 n≤8

4.用与球心距离为 1 的平面去截球,所得的截面面积为 π,则球的体积为 8π A. 3 8 2π B. 3 C.8 2π 32π D. 3

5.一只蚂蚁在边长分别为 3,4,5 的三角形区域内随机爬行,则其恰在离三个顶点 距离都大于 1 的地方的概率为 A、

? 12

B、 1 ?

? 3

C、 1 ?

? 6

D、 1 ?

?
12

6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 A、

10 3

B、

5 3

C、

20 3

D、 4

7.采用系统抽样方法从 1000 人中抽取 50 人做问卷调查,将他们随机编号 1,2,…,1000。

适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 8,抽到的 50 人中,编号落入区 间 1, 400 的人做问卷 A ,编号落入区间 则抽到的人中,做问卷 C 的人数为 A、12 B、13

?

?

B,其余的人做问卷 C, 0 ?4 0 1, 7 ?5的人做问卷 C、14 D、15

8.右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该 程序框图,若输入的 a , b 分别为 14,18,则输出的 a 为 A、0 B、2 C、4 D、14

9.已知 MOD 函数是一个求余函数,其格式为 MOD(n, m) ,其结果为 n 除以 m 的余数,例 如 MOD(8,3) ? 2 . 下面是一个算法的程序框图,当输入的值为 25 时,则输出的结果为
开始

输 入

n

i?2


MOD(n, i) ? 0?


输出 i

i ? i ?1

结束

A、4 B、5 C、6 D、7 2 10.若命题“ ? x0∈R,使得 x0+mx0+2m-3<0”为假命题,则实数 m 的取值范围是 A.[2,6] 11.已知双曲线 C : B.[-6,-2] C.(2,6) D.(-6,-2)

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,过点 F1 作直线 l ? x 轴 a 2 b2

交双曲线 C 的渐近线于点 A, B .若以 AB 为直径的圆恰过点 F2 ,则该双曲线的离心率为 A. 2 B. 3 C.2 D. 5 9.D

12. 设双曲线的一个焦点为 F,虚轴的一个端点为 B,焦点 F 到一条渐近线的距离为 d,若

| FB |? 3d ,则双曲线离心率的取值范围是
A. (1, 2] B. [ 2, ??) C. (1,3] D. [ 3, ??)

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共计 20 分,请把答案直接填写在答题 纸相应 .. ... 的位置 上. ... 13.先后抛掷两枚质地均匀的骰子,设出现的点数之和是 12,11,10 的概率依次是 P1,P2,P3, 则 P1,P2,P3,的大小关系 ________. 14.已知正方形 ABCD,则以 A,B 为焦点,且过 C,D 两点的椭圆的离心率为________. 15. 考查下列三个命题, 在“________”处都缺少同一个条件, 补上这个条件使其构成真命题(其 中 l,m 为直线,α,β 为平面),则此条件为________. m? α ? ? l∥m ?? l∥α;② l∥m ? ? m∥α ?? l∥α;③ l⊥β



? ?

? ?

? ? α⊥β ?? l∥α. ? ?

16.如图所示是一几何体的平面展开图,其中 ABCD 为正方形,E,F,分别为 PA,PD 的中点, 在此几何体中,给出下面四个结论:

①直线 BE 与直线 CF 异面; ②直线 BE 与直线 AF 异面; ③直线 EF∥平面 PBC; 其中正确的是______. 三、解答题:本大题共 6 小题,计 70 分。解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内 . 17. (本小题满分 12 分)已知 p:指数函数 f(x)=(2a-6)x 在 R 上是单调减函数;q:关于 x 的方 程 x2-3ax+2a2+1=0 的两根均大于 3,若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 a 的取值范围. ④平面 BCE⊥平面 PAD.

x 18. (本小题满分 12 分)设 F 1 , F2 分别是椭圆 C: 2 ?
2

a

y2 ? 1? a ? b ? 0? 的左,右焦点,M 是 C b2

上一点且 MF2 与 x 轴垂直,直线 MF 1 与 C 的另一个交点为 N. (Ⅰ)若直线 MN 的斜率为 3 ,求 C 的离心率;

4

(Ⅱ)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且 MN ? 5 F 1 N ,求 a, b. . 19. (本小题满分 12 分)为了了解某年龄段 1000 名学生的百米成绩情况,随机抽取了若干学生 的百米成绩, 成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间, 将成绩按如下方式分成五组: 第一组[13, 14) , 第二组[14,15) ,…,第五组[17,18],得到如下图所示的频率分布直方图.已知图中从左到 右的前 3 个组的频率之比为 3∶8∶19,且第二组的频数为 8.

(1)求本次调查一共抽取了多少名学生的百米成绩? (2)若从第一、五组中随机取出两个成绩,求这两个成绩之差的绝对值大于 1 秒的概率.

20.(本小题满分 12 分)如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面是边长为 2 的正三角形,E,F 分别是 BC,CC1 的中点.

(Ⅰ)证明: 平面AEF ? 平面B1BCC1 ; (Ⅱ)若直线 A1C 与平面 A1ABB1 所成的角为 45°,求三棱锥 F ? AEC 的体积. x2 y2 21. (本小题满分 12 分)已知 A(1,1)是椭圆 2 + 2=1(a>b>0)上一点,F1、F2 是椭圆的两焦点, a b 且满足|AF1|+|AF2|=4. (1)求椭圆的标准方程; (2)设点 C、D 是椭圆上两点,直线 AC、AD 的倾斜角互补,求直线 CD 的斜率.

22. (本小题满分 12 分)如图,在多面体 ABCDEF 中,底面 ABCD 是边长为 2 的 正方形,四边形 BDEF 是矩形,平面 BDEF⊥平面 ABCD,BF=3,G 和 H 分别 是 CE 和 CF 的中点. (Ⅰ)求证:AC⊥平面 BDEF;

(Ⅱ)求二面角 G ? BD ? C 大小的正切值(或余弦值).

四川省宜宾市一中 2015-2016 学年上期高二数学第十七周考试 题答案 一、选择题: 1. A;2. B ;3.C;4.B;5.D;6. B;7.A; 8.B;9.B;10. A;11.D;12.A. 一、填空题: 13. P1<P2<P3;14. 2-1;;15. l ? ? ;16. 三、解答题: 7 17.解:p 真,则指数函数 f(x)=(2a-6)x 的底数 2a-6 满足 0<2a-6<1,所以 3<a< . 2 q 真,令 g(x)=x2-3ax+2a2+1,其为开口向上的二次函数. 因为 x2-3ax+2a2+1=0 的两根均大于 3, 所以①Δ=(-3a)2-4(2a2+1)=a2-4>0, a<-2 或 a> 2; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4 分 -3a 3a ②对称轴 x=- = >3; 2 2 5 ③g(3)>0,即 32-9a+2a2+1=2a2-9a+10>0,所以(a-2)(2a-5)>0.所以 a<2 或 a> . 2

②③.



? ?3a>3, ?2 5 ? ?a<2或a>2,

a<-2或a>2, 得

5 a> . 2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 7 5 p 真 q 假,由 3<a< 及 a≤ ,得 a∈?. 2 2

7 5 5 7 p 假 q 真,由 a≤3 或 a≥ 及 a> ,得 <a≤3 或 a≥ . 2 2 2 2 5 7 综上所述,实数 a 的取值范围为( ,3]∪[ ,+∞) 2 2 分 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10

b2 1 3 18.解: (Ⅰ) tan ?MF1F2 ? a ? ,解得 e ? · 2 2c 4

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分

(Ⅱ)依据题意,原点 O 为 F1F2 的中点, MF2 与 x 轴垂直,所以直线 MF 1 与 y 轴的交点 P(0, 2) 是线段 MF 1 的中点,故 MF2 ? 由 MN ? 5 F 1 N ,得 PF 1 ?2 F 1N 设 N ( x1 , y1 ) ,且 F1 (?c,0) ,易知 y1 ? 0 ,则

b2 ? 4 ,即 b2 ? 4a · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 a

3 ? ?2(?c ? x1 ) ? c ? x1 ? ? c 9c 2 1 ?? 2 ,代入椭圆方程得 2 ? 2 ? 1 ? 4a b ??2 y1 ? 2 ? ? y1 ? ?1
又 b ? 4a, c ? a ? b 代入上式,解得 a ? 7, b ? 2 7 .
2 2 2 2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12

分 19 解: (1)设图中从左到右前 3 个组的频率分别为 3 x , 8 x , 19 x 依题意,得 3x ? 8 x ? 19 x ? 0.32 ? 1 ? 0.08 ? 1 ? 1 解得, x ? 0.02 设调查一共抽取了 n 个学生的百米成绩,则 8 ? 0.02 ?

8 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4 n

分 解得 n ? 50 ,即本次调查一共抽取了 50 名学生的百米成绩. (2)百米成绩在第一组的学生数有 3 ? 0.02 ? 1 ? 50 ? 3 ,记他们的成绩为 a, b, c ; 百 米 成 绩 在 第 五 组 的 学 生 数 有 0.08 ? 1 ? 50 ? 4 , 记 他 们 的 成 绩 为 m , n, p , q . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 则从第一、五组中随机取出两个成绩包含的基本事件有:

?a, b?, ?a, c?, ?b, c?, ?m, n?, ?m, p?, ?m, q?, ?n, p?, ?n, q?, ?p, q?, ?a, m?, ?a, n?, ?a, p?, ?a, q?, ?b, m?, ?b, n?, ?b, p?, ?b, q?, ?c, m?, ?c, n?, ?c, p?, ?c, q? 共 21 个. ··········································8 分 其中,成绩之差的绝对值大于 1 秒所包含的基本事件有 ?a, m?, ?a, n?, ?a, p?, ?a, q? ?b, m?, ?b, n?, ?b, p?, ?b, q?, ?c, m?, ?c, n?, ?c, p?, ?c, q?共 12 个.
所以,成绩之差的绝对值大于 1 秒的 P ?

12 4 ? . 21 7

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分

20 解: (Ⅰ)如图 a,因为三棱柱 ABC - A 1B 1C1 是直三棱柱,

所以 AE ? BB1 . 又 E 是正三角形 ABC 的边 BC 的中点,所以 AE ? BC . 因此 AE ? 平面B1BCC1 .

而 AE ? 平面AEF ,所以, 平面AEF ? 平面B1BCC1 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 (Ⅱ)设 AB 的中点为 D ,连接 A1D, CD . 因为 ?ABC 是正三角形,所以 CD ? AB . 又三棱柱 ABC - A 1B 1C1 是直三棱柱,所以 CD ? AA 1. 因此 CD ? 平面A 1 ABB 1, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分

于是 ?CA 1 与平面 A 1D 为直线 AC 1 ABB 1 所成的角. 由题设, ?CA 1 D ? CD ? 1 D ? 45? ,所以 A

3 AB ? 3 . 2

AA1 ? 在 Rt?AA 1D 中,
所以 FC ?

A1 D 2 ? AD 2 ? 3 ? 1 ? 2 ,

1 2 AA1 ? . 2 2

故三棱锥 F - AEC 的体积

1 1 3 2 6 V ? S?ABC · FC ? ? ? ? . 3 3 2 2 12
x2 y2 即椭圆方程为 + 2=1 ① 4 b 1 1 4 把 A(1,1)代入①式得 + 2=1,所以 b2= , 4 b 3

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分

21 解: (1)由椭圆定义知|AF1|+|AF2|=2a=4,所以 a=2,

x2 y2 所以椭圆的标准方程为 + =1 4 4 3

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分

(2)由题意知,AC 的倾斜角不为 90° ,故设直线 AC 的方程为 y=k(x-1)+1, y=k? x -1?+1,? ? ? 2 联立方程得?x 3 2 消去 y, ? 4 +4y =1 ? 得(1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0. 6k2-6k ∵点 A、C 在椭圆上,∴1+xC= . 1+3k2 3k2-6k-1 ∴xC= . 3k2+1 ∵直线 AC、AD 的倾斜角互补, ∴直线 AD 的方程为 y=-k(x-1)+1. 3k2+6k-1 同理 xD= . 3k2+1 -12k 6k2-2 ∴xC-xD= 2 ,xC+xD= 2 . 3k +1 3k +1 又 yC=k(xC-1 )+1,yD=-k(xD-1)+1, yC-yD 1 ∴yC-yD=k(xC+xD)-2k.∴ = . xC-xD 3 1 ∴直线 CD 的斜率为 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 3 [来 x22.解: (Ⅰ)证明:因为四边形 ABCD 是正方形, 所以 AC ? BD . 又因为平面 BDEF ? 平面 ABCD , 且平面 BDEF ? 平面 ABCD ? BD , 且 AC ? 平面 ABCD , 所以 AC ? 平面 BDEF . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分

(Ⅱ)由图形的对称性可作如下求解. 设 AC ? BD ? O ,取线段 GH 的中点 I . 其射影落在线段 OC 的中点 J .

1 3 1 2 ? IJ ? FB ? . JO ? AC ? . 2 2 4 2

? BD ? OJ , BD ? IO.

??IOJ 是二面角 G ? BD ? C 的平面角.
在 Rt ?IOJ 中, tan ?IOJ ?

IJ 3 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 ? .· JO 2 22 . 也给分 11

解法二:空间直角坐标系法,求出 cos ?IOJ ?


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